Was sind Phononenfrequenzen in Festkörpern? Wie hängen sie mit den Wechselwirkungspotentialen zwischen den konstituierenden Atomen zusammen?

Obwohl die Wikipedia-Seite eine gute Einführung in das Konzept der Phononen gibt, führt sie sehr schnell in die Näherung der Wechselwirkungen zwischen den nächsten Nachbarn ein und gibt nicht einige wichtige Details darüber, wie die Phononenfrequenzen in Bezug auf die Wechselwirkungspotentiale berechnet werden.

Der zitierte Aufsatz von Rechtsman, Stillinger und Torquato erschien bei Phys Rev Lett, 95, 228301 (2005) und auch als Preprint . Weitere Details erscheinen in einem späteren Artikel derselben Autoren, Phys Rev E, 73, 011406 (2006) , der auch als Vorabdruck erhältlich ist . Dieselbe Gruppe hat diese Ideen in den Jahren seitdem weiterentwickelt.

Das Wechselwirkungspotential hängt nur vom Abstand zwischen den Atomen ab, hat aber eine unkonventionelle Form mit zwei Minima, die durch ein Maximum getrennt sind.

Die Idee ist, das Potenzial zu „maßzuschneidern“, um eine offene Kristallstruktur (in diesem Fall basierend auf einem Wabengitter) zu begünstigen. Tatsächlich hoffen sie, dass sich ein solches Gitter angesichts eines solchen Potenzials selbst zusammensetzt. Sie müssen also ein Gitter mit mehreren Atomen pro Einheitszelle handhaben, und das Potential erstreckt sich über mehr als die nächsten Nachbarn (obwohl es keine wirklich langreichweitigen elektrostatischen Terme gibt). Als Teil des Prozesses der "Überprüfung" des Potentials verlangen sie, dass alle Phononenfrequenzen real sind; mit anderen Worten, alle "Federkonstanten" sind positiv. Andernfalls würde eine einfache Verformung mit dem entsprechenden Wellenvektor die potentielle Energie verringern, sodass die vorgeschlagene Kristallstruktur mechanisch instabil wäre.

Eine genaue Beschreibung, "wie man die Phononen berechnet", wird in mehreren Büchern über Festkörperphysik gegeben, und in diesem zweiten Artikel beziehen sie sich tatsächlich auf N Ashcroft und ND Mermin Solid State Physics . Das Folgende ist nur eine Skizze.

Lassen Sie die Position des Atoms$k$in Elementarzelle$m$Sei

$$\mathbf{R}_{mk} = \mathbf{R}_m + \mathbf{r}_k + \mathbf{u}_{mk}$$ Wo$\mathbf{u}_{mk}$ist die momentane Verschiebung von der idealen Gitterposition, wobei letztere eine Summe des Basisvektors ist $\mathbf{r}_k$innerhalb der Zelle und die Zellenposition$\mathbf{R}_m$. Die quadratische Annäherung an die Gitterenergie ist $$\Phi = \Phi_0 + \frac{1}{2} \sum_{mk\alpha} \sum_{m'k'\alpha'} \Phi_{mkm'k'}^{\alpha\alpha'}\, u_{mk}^\alpha u_{m'k'}^{\alpha'}$$ Wo$\alpha,\alpha'=x,y,z$(oder nur$x,y$in 2D) und $$\Phi_{mkm'k'}^{\alpha\alpha'} = \left. \frac{\partial^2\Phi}{\partial u_{mk}^\alpha \partial u_{m'k'}^{\alpha'}} \right|_{0}$$ wird im Gleichgewicht ausgewertet, alle$u_{mk}^\alpha=0$. Es gibt keinen linearen Term, da im Gleichgewicht keine Nettokräfte auf Atome wirken. Die Summierung geht über alle Atompaare in einer großen (makroskopischen) Stichprobe, aber natürlich über die Terme$\Phi_{mkm'k'}^{\alpha\alpha'}$sind nur für Paare innerhalb des Wechselwirkungsbereichs ungleich Null; außerdem hängen sie nur von der Differenz der Elementarzellenpositionen ab$\mathbf{R}_m-\mathbf{R}_{m'}$, damit sie geschrieben werden können$\Phi_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{R}_m-\mathbf{R}_{m'})$. Dies hilft bei der Fourier-Transformation.

Einführung in Fourier-Modi$\mathbf{u}_{mk}\propto\sum_{\mathbf{q}}\mathbf{U}_{\mathbf{q}k} \exp(-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}_m)$vereinfacht die Energie zu

$$\Phi = \Phi_0 + \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{q}} \sum_{k\alpha} \sum_{k'\alpha'} D_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{q}) \, U_{\mathbf{q}k}^{\alpha} U_{-\mathbf{q}k'}^{\alpha'}$$ Wo $$D_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{q}) = \sum_{\mathbf{R}} \Phi_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{R}) \exp(-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{R})$$ Dies wird normalerweise durch einen Term normalisiert, der die Atommassen beinhaltet, um die dynamische Matrix zu erhalten , aber wenn die Atome alle dieselbe Masse haben, ist dies trivial. Wenn es gibt$K$Atome in der Elementarzelle, die Terme$D_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{q})$sind die Elemente einer Matrix$\mathbb{D}(\mathbf{q})$dessen Größe ist$3K\times3K$(oder$2K\times2K$in 2D). Bestimmung der Eigenwerte von$\mathbb{D}(\mathbf{q})$ist die Schlüsseloperation: Wenn einer von ihnen negativ ist, ist die entsprechende Phononenfrequenz imaginär und der Kristall wird instabil.

Berechnung$\Phi_{mkm'k'}^{\alpha\alpha'}$beinhaltet alles zu sehen$K$Atome in der Elementarzelle und Untersuchung der Wechselwirkung mit jedem anderen Atom im Bereich des Potentials$v(r)$. Natürlich,$\mathbb{D}(\mathbf{q})$muss für eine große Anzahl von Wellenvektoren in der Brillouin-Zone berechnet werden, aber dies ist handhabbar.