Was sind thermische Energieverteilungen?

ich erinnere mich gerade

Diese Ausdrücke stellen die durchschnittliche Anzahl von Teilchen dar, die einen Zustand mit Energie besetzen$E$. Das chemische Potential$\mu$ist nur ein Knopf, mit dem Sie die Gesamtdichte einstellen können. Sie können es sich auch (ungefähr) als die Energie vorstellen, die erforderlich ist, um dem System ein Teilchen hinzuzufügen. Um die Gesamtzahl der Teilchen im System zu finden, müssen Sie diese über alle Energieniveaus summieren. Sie können diese Informationen verwenden, um alle Arten von thermischen Durchschnittswerten zu finden. Zum Beispiel:

Dies ist im Wesentlichen das, was im Planckschen Gesetz vor sich geht, nur die Summe wird weggelassen. Das Plancksche Gesetz ist die Bose-Einstein-Verteilung (mit$\mu=0$weil Photonen frei erzeugt und zerstört werden können) multipliziert mit der Anzahl der Zustände mit einer Energie in einem kleinen Bereich ungefähr$E$. Dies sagt Ihnen, wie viel Energie in den Photonen mit Energien in diesem Bereich steckt.

Die Ableitung der thermischen Energieverteilungen ist so ziemlich nur eine Stirling-Näherung$\ln(x!)=x\ln(x)-x$, Lagrange-Multiplikatoren-Methode und viele Permutationen/Kombinationen. Sie können es unten sehen.

Thermische Energieverteilungen beinhalten klassische Modelle wie die Maxwell-Boltzmann-Statistik und quantenphysikalische Modelle wie die Bose-Einstein-Statistik und die Fermi-Dirac-Statistik.

Der "classical"Begriff bezeichnet Modelle wie Maxwell-Gleichungen, partielle Ableitungsmodelle, die den Begriff der Diskretisierung nicht enthalten – ein großer Unterschied zu QM-Modellen wie der Planckschen Regel$E=hf$wo die Energie von EM quantifiziert wird .

Licht ist ein Beispiel für EM-Strahlung. Maxwell erkannte dies, indem er frühere Studien von Weber und Kohlrausch hier analysierte und schloss$c_0=\frac 1 {\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$. Ein realistischeres Lichtmodell ist hier ein nicht-klassisches Modell , das nicht mit klassischem Mechanismus, sondern mit quantifiziertem elektromagnetischem Feld und Quantenmechanik beschrieben werden kann. Photon ist ein Boson, also gehorcht es der Bose-Einstein-Statistik, nicht der klassischen Näherung, dh der Maxwell-Boltzmann-Statistik, die nur bei extremen Temperaturen wie nahe dem absoluten Nullpunkt oder sehr hohen Temperaturen realistisch ist.

Fakten wie Photoeffekt, X-Emission (Gegenteil des Photoeffekts) und Compton-Streuung belegen die von QM beschriebene Diskretisierung der EM. Welle-Teilchen-Dualismus erklärt Ereignisse, bei denen Licht wie eine Welle und wie ein Teilchen wirkt. Dies ist mit Maxwell-Gleichungen nicht zu erklären. Beispiele für solche Veranstaltungen sind das Doppelspalt-Experiment und das Einzelspalt-Experiment.

Nun führt das Doppelspaltexperiment in die Erkenntnis der Ungewissheit. Sie können die Wellennatur nicht gleichzeitig mit der Teilchennatur sehen. Ein Beispiel dafür ist die Heisenbergsche Unschärferelation$\Delta p\Delta x \geq \frac{h}{4\pi}$Das bedeutet, dass Sie den Ort eines physischen Objekts und seinen Impuls nicht gleichzeitig kennen können - falls dies der Fall ist$\Delta p$nahe Null ist, haben Sie ein Teilchen – und wenn das$\Delta p$nahe Null ist, haben Sie eine Welle. Bohr verallgemeinerte dieses Konzept komplementärer Ereignisse aus bloßen Wellen und Teilchen in seiner Komplementarität hier , wo er es realisierte

„Es ist unmöglich, ein Messgerät zu entwerfen, das beide Phänomene gleichzeitig demonstriert, nicht wegen mangelnder Kreativität des Experimentators, sondern einfach, weil ein solches Gerät buchstäblich undenkbar ist.“ (Satz in der Wikipedia über Komplementarität)

das ist eigentlich ziemlich zum Nachdenken anregende Aussage. Ich verstehe das zum Beispiel so, dass man keine Kamera haben kann, die alle Arten von Geräuschen minimiert. Die QM-Modelle leiten eine neue Art von Rauschen ab, wie z. B. Quantenrauschen, auch bekannt als Schrotrauschen, das in bestimmten Situationen Rauschen mit niedrigem Signal-Rausch-Verhältnis dominiert.

Meine Vortragsunterlagen hier am Ende sind in diesem Punkt verwirrend. Es wird "You cannot force wave nature into particle nature without losing interference."nach der Erwähnung erwähnt "You will lose interference pattern on the left if you try to find out from which hole the photon went by filling the other hole one-by-one"(keine Wort-zu-Wort-Übersetzung), aber die Bedeutung sollte dieselbe sein.

Nun zurück zu den Statistiken'why are the statistics called "thermal" or "energy"?'

QM-Modelle wie Bose-Einstein und Fermi-Dirac beschreiben Bosonen bzw. Fermionen. Klassische Modelle (mehrdeutiger Begriff, aber jetzt Maxwell-Gleichungen) sind in gewisser Weise Energiegleichungen: Sie brauchen Energie, um zu sehen, wie sie funktionieren. Das Voranstellen von Thermik ist etwas seltsam, aber vielleicht möchte es die Assoziation von Energie und Temperatur betonen. Das Wort "distribution"betont die statistische Konnotation.

Ich hoffe, jemand mit mehr Erfahrung kann erklären, was das "thermal energy distributions"wirklich ist! Ich finde, meine Erklärung ist nicht gründlich.

Mathematischer Formalismus

Bose-Einstein

Wir haben Teilchen mit Zuständen$N_i$und Wände$M$wo Teilchen den gleichen Quantenzustand haben können, ein großer Unterschied zu Fermionen wo$(n,s,l,m_l)$kann nicht gleich sein. Also horizontale Ausrichtung

$$W_h^i=\frac{(N_i+M-1)!}{N_i!(M-1)!}$$

wobei die Gesamtausrichtung das Produkt aller horizontalen Ausrichtungen ist, also die Wahrscheinlichkeitsfunktion$P=\Pi_i w_h^i=\Pi_i\frac{(N_i+M_i-1)!}{N_i!(M_i-1)!}$So

$$\ln(P)=\sum_i \ln\left[(N_i+M-1)!-\ln(N_i!)-\ln((M-1)!)\right]$$

Jetzt verwenden wir die Lagrange-Multiplikator-Methode, also ist die F-Funktion

$$F=\ln(P)+\alpha (N-\sum_i n_i) + \beta (MU-\sum_i n_i u_i)$$

wo die erste$\alpha$Einschränkung bedeutet, dass die Menge der Teilchen die Summe aller Teilchen in den Zuständen ist$N=\sum_i n_i$und der zweite$\beta$Bedingung bedeutet, dass die Systemenergie die Summe aller Energien in Zuständen ist.

Nun leiten wir diese in Bezug auf die Zustandsvariable ab$n_i$wobei wir die Stirling-Näherung verwenden müssen$\ln(x!)\approx x\ln(x)-x$wegen der großen Anzahl von Partikeln (eine kleine Anzahl von Partikeln erfordert hier einen zusätzlichen Term ). So

$$\ln(M)-\ln(N_i)-\alpha-\beta E_i=0$$

$$N_i=Me^{-\alpha-\beta E_i}$$

Fermi-Dirac

Paulis Ausschlussprinzip ist der entscheidende Unterschied. Es ist aber ansonsten der gleiche Abzug wie bei Bose-Einstein$W_h^i=\frac{M!}{N!(M-N_i)!}$Wo$N!$ist für "miehitetty" bemannte Staaten und$(M-N_i)!$für unbemannte Zustände aufgrund des Ausschlussprinzips von Pauli - Sie können mit Fermionen nicht zwei gleiche Q-Zustände haben!

Maxwell Boltzmann

Ich benutze jetzt Vorlesungen 2061 hier Seiten 63-65. Ich bin mir dessen nicht sicher, weil die beiden Lehrer eine etwas andere Notation verwenden, aber ich verstehe es so

$$W_h^i =\frac{g_i^{n_i}}{n_i!}$$

Wo$g_i$ist die Entartung,$n_i$ist die Zustandsmenge also die Wahrscheinlichkeit$P_{MB}=\Pi_i W_h^i.$Und wir werden die Statistiken erhalten, aber den Logarithmus nehmen und Lagrange-Multiplikatoren verwenden. Unsere Konditionen sind$N=\sum_i n_i$Und$E=\sum_i n_i E_i$.

ZUSAMMENFASSUNG

Die meisten Zustände sind mit Maxwell-Boltzman, dann Bose-Eistein und die wenigsten Zustände mit Fermi-Dirac wegen des Ausschlussprinzips von Walls und Pauli. Bitte beachten Sie, dass es bei Maxwell-Boltzmann keine "Wände" gibt, an denen Systeme wie ideale Gasteilchen denselben Quantenzustand einnehmen können - möglicherweise im Zusammenhang mit dem Phänomen der Suprafluidität. Horizontale Besetzungsformeln für Bose-Einstein, Fermi-Dirac und Maxwell-Boltzman:

$$W_h^i(BE)=\frac{(N_i+M-1)!}{N_i!(M-1)!}$$

$$W_h^i(FD)=\frac{M!}{N_i!(M-N_i)!}$$

$$W_h^i(MB) =\frac{G_i^{N_i}}{N_i!}$$

Studienfragen

1. Sind Fermionen und Bosonen wie ein Maxwell-Boltzmann-System entartet?

2. Mit anderen Worten, warum nein$G_i$mit BE- und FD-Formeln?

Es gibt eine interessante Ansicht darüber, wie man die statistischen physikalischen Verteilungen und das Problem, Bälle auf Kästchen anzuordnen, in Beziehung setzt

Hier ist der Link: http://tominology.blogspot.com.br/2014/11/counting-problems-and-statistical.html

Grundsätzlich kann man sich denken:

1. Maxwell-Boltzmann: Unterscheidbare Partikel in Zellen anordnen, wobei die Zellen mehrere Partikel enthalten können.
2. Bose-Einstein: Ordne nicht unterscheidbare Partikel in Zellen an, wobei die Zellen mehrere Partikel enthalten können.
3. Fermi-Dirac: ununterscheidbare Teilchen in Zellen anordnen, wobei jede Zelle nur ein Teilchen enthalten kann.