Water Bottle Rocket Thrust - zwei Berechnungsmethoden stimmen nicht überein

Die erste Methode ist richtig. Im zweiten hast du angenommen, dass der Druck an der Düse stillsteht$P$obwohl das Wasser mit einiger Geschwindigkeit austritt. dh Sie haben den Staudruck vernachlässigt .

Sie müssen das Bernoulli-Prinzip anwenden

Ihre erste Methode geht davon aus, dass sich die obere Wasseroberfläche kaum bewegt (weil ihre Oberfläche viel größer ist als die Düsenfläche). Wenden wir dieselbe Idee auf die zweite Methode an, dann können wir die Konstante sowohl im Wasser als auch unmittelbar unter der Düse als berechnen

Oft werden diese Raketen von einem vertikalen Abschnitt eines Rohrs oder einer Stange abgefeuert, die sich nach oben in die Flasche erstreckt und als Kolben fungiert, bis sich die Rakete weit genug bewegt hat, um das Ende des Rohrs zu passieren. In dieser Phase ist Ihre zweite Methode richtig: Der Schub ist einfach die Düsenfläche mal dem Druck.

Warum sollte der Schub zunehmen, wenn sich die Rakete vom Kolben trennt? Lassen Sie mich versuchen, eine intuitive Begründung zu liefern. Ich werde nicht beweisen, dass sich der Schub verdoppelt, sondern nur die Vorstellung zerstreuen, dass er unverändert bleiben sollte.

Nehmen wir an, der Kolben kann sich irgendwie ausdehnen, indem er sich ständig kleine zylindrische Stopfen hinzufügt. Diese Stecker sind zunächst in einem hohen Gestell direkt neben der Rakete angeordnet; Während sich die Rakete nach oben bewegt, greift der Kolben immer wieder nach einem Stopfen aus dem Gestell, transportiert ihn irgendwie durch die Wand der Rakete und fügt ihn am Ende hinzu. Die Rakete verlässt den Kolben nie, und es ist klar, dass der Schub gerecht bleibt$PA$.

Aber das ist im Wesentlichen das, was tatsächlich passiert, wenn die Rakete Wasser ausstößt, mit einer Ausnahme. Jedes kleine bisschen Wasser, das die Düse verlässt, kann als "Pfropfen" betrachtet werden, und die Kraft, die wirkt, um es vom Rest der Rakete zu trennen, ist immer noch vorhanden$PA$. Aber im Gegensatz zu den Pfropfen, die im relativ zur Erde ruhenden Gestell warten, bewegt sich jeder der Wasserpfropfen etwas schneller nach oben als der vorherige – gerade schnell genug, um mit der Geschwindigkeit der Rakete mitzuhalten. Der durch diese sich bewegenden Stopfen auf die Rakete übertragene Impuls bildet eine zusätzliche Kraft relativ zu dem Fall, in dem die Stopfen eine Geschwindigkeit von Null haben.

Natürlich entspricht diese Analogie des Hinzufügens von Stopfen während des Flugs nicht dem tatsächlichen Fall einer Rakete, die im Laufe der Zeit an Masse verliert. Aber dieser Unterschied wirkt sich nicht auf den momentanen Schub aus.

Der Druckabfall von Tankdruck auf Atmosphärendruck erfolgt nicht augenblicklich an der Düse, sondern verteilt sich entsprechend der Fläche des Strömungskanals. Dieser reduzierte Druck führt zu zusätzlichem Schub, der in Ihrer zweiten Lösung nicht berücksichtigt wurde. Hier ist eine Möglichkeit, diesen zusätzlichen fehlenden Schub zu berechnen:

Es gilt die Bernoulli-Gleichung (Ihre vorletzte Gleichung):

Wir können dies mit Ihrer Massenstromgleichung kombinieren, um Folgendes zu erhalten:

Ihre ursprüngliche Antwort geht von einer vernachlässigbaren Geschwindigkeit / großen Fläche an der Wasseroberfläche ¹ aus :

Dies gibt uns unsere Konstante:

und wir wissen, dass der Druck am Ausgang atmosphärisch / 0 Manometerdruck ist:

Wir können lösen$\dot m$:

Wieder einstecken:

Auflösen nach Druck:

Wenn wir also den zusätzlichen Schub aufgrund des niedrigeren Drucks in der Nähe der Düse berechnen wollten, müssten wir den Druck über die Fläche integrieren:

Da fehlt also$PA$aus Ihrer zweiten Lösung.

^{1: Sie können Ihre Gleichungen genauer machen (insbesondere für dünne Flaschenraketen), indem Sie sowohl hier als auch im Grenzbereich des Integrals die tatsächliche Querschnittsfläche an der Wasseroberfläche anstelle von unendlich verwenden.}

Da Sie den atmosphärischen Druck vernachlässigt haben, nehmen wir an, Sie führen das Experiment in einem Vakuum durch (ich weiß, dass es irgendwo eine kugelförmige Kuhanalogie gibt :) ). Sie gehen davon aus, dass der Druck durch die Luft im Inneren des Ballons auf die Oberfläche ausgeübt wird. Die Luft übt den Druck im leeren Teil aus, wie durch Ihre Pfeile gezeigt, sowie auf die horizontale Oberfläche des Wassers. Jetzt hebt sich dies aufgrund einer vollständigen Schleife auf. Wenn nun der Ballon geschlossen wäre, hätte es keine Nettokraft gegeben, da die Abwärtskraft aufgrund des Luftdrucks durch die Normalkraft ausgeglichen worden wäre. Bei Ihrer ersten Methode ist der gemessene Druck der im Ballon vorhandene Luftdruck. Bei Ihrer zweiten Methode nehmen Sie den gleichen Druck am Boden der Düse an, was falsch ist.

Es gibt eine einfache intuitive Erklärung für den Unterschied um den Faktor zwei. Der Schub hat zwei Beiträge, wie folgt.

1) Der Luftdruck in der Rakete übt eine Kraft auf die Düse von F = PA aus, genau wie Sie es in Ihrer zweiten Methode vermutet haben.

2) Das Abgaswasser steht in dem Moment, in dem es die Düse verlässt, immer noch unter Druck und übt einen Gegendruck auf die Rakete aus. Die Kraft aufgrund des Gegendrucks ist auch direkt F = PA.

Die kombinierte Wirkung ist daher 2PA.