Ein wesentlicher Teil des Lesens von mathematischen Texten besteht darin, Theoreme und Beweise zu verstehen. Für mich würde ich versuchen, selbst einen Beweis zu finden, bevor ich den im Text angegebenen lese. Aber manchmal kann mir der Beweis zu schwer sein, zB kann es Tricks geben, die mir nie einfallen. Also meine Frage ist:
Was macht man am besten mit diesen "harten" Beweisen? Wenn ich es selbst nicht beweisen kann, soll ich aufgeben und den im Text gegebenen Beweis lesen, oder soll ich ihn stehen lassen und versuchen, ihn später zu beweisen? Oder gibt es vielleicht Besseres zu tun?
Um diese Frage konkreter (und nicht zu weich) zu machen, lassen Sie mich etwas über meinen Hintergrund sagen. Ich kenne nur einige grundlegende mathematische Analysen und lineare Algebra auf dem Erstsemesterniveau, und Theoreme dort sind normalerweise nicht so schwer zu beweisen. In letzter Zeit habe ich Gruppentheorie gelesen und Rotmans An Introduction to the Theory of Groups durchgearbeitet . Obwohl dieses Buch nicht schwer zu verstehen ist, habe ich einige Theoreme gefunden, die ich nicht beweisen konnte. Ein Beispiel ist Satz 4.8, der besagt, dass die Anzahl der Untergruppen der Ordnung in einem endlichen -Gruppe (Wo ) ist deckungsgleich mit Mod . Ein weiteres Beispiel ist der Satz von P. Hall über Hall-Untergruppen. Der Beweis ist mehr als eine Seite lang und ich habe keine Ahnung, wie ich damit umgehen soll.
Ich weiß, dass es während meines Mathematikstudiums immer mehr nichttriviale Theoreme wie diese geben wird, deshalb bin ich hier, um zu fragen, was ich tun soll. Da ich mir die ganze Zeit selbst beigebracht habe, möchte ich es erst gar nicht falsch machen...
Wenn diese Frage immer noch zu weich oder vage ist, lassen Sie es mich bitte wissen. Und danke für alle Ratschläge!
Zuerst ein großes Lob für den ersten Versuch, selbst einen Beweis zu finden. Dies ist eine ausgezeichnete Angewohnheit und wird sich auszahlen.
Ich denke jedoch nicht, dass Sie den Beweis überspringen sollten und planen, später zurückzukehren. Einige Beweise beinhalten neue Techniken, geniale Wendungen, sogar das, was man „Geniestreiche“ nennen könnte. Die heutige Mathematik ist das Endergebnis von über 2000 Jahren Arbeit einiger der klügsten Menschen der Welt und Hunderttausender anderer, die auch keine Lümmel waren. Es ist unrealistisch zu glauben, dass Sie in der Lage sein werden, all das zu erreichen.
Mein persönlicher Ansatz: Wenn ich nicht sehe, wie ich etwas beweisen soll, überfliege ich den Beweis im Buch, nachdem ich es anständig versucht habe. Vielleicht springt die geniale Wendung heraus. Dann werde ich versuchen, den Beweis alleine fertigzustellen. Aber ich werde den Beweis Zeile für Zeile lesen, wenn es sein muss. Ein oder zwei Tage später werde ich versuchen, den Beweis in meinem Kopf zu rekonstruieren (am besten bei einem langen Spaziergang), um zu sehen, ob ich seine zentralen Ideen wirklich verdaut habe.
Der Nachteil beim Aufbewahren des Beweises für später: Es kann leicht passieren, dass Sie einen Schlüsselpunkt auf Seite 10 verpassen und so den Beweis auf Seite 12 nicht ausführen (oder sogar verfolgen) können, und so weiter.
Im Idealfall geben Ihnen die Übungen im Buch viele Gelegenheiten, Ihr Verständnis zu festigen.
Ich denke, man muss oft mehr Beispiele für den Satz selbst ausarbeiten, bevor man mit allen Details im Beweis fortfährt. Wählen Sie beispielsweise ein sehr explizites Beispiel , Und . Dann hat Elemente. Alles bestimmen -Untergruppen der Ordnung , und verifizieren Sie alles explizit.
Colescu
Michael Weiss
Michael Weiss
Colescu