Wellenvektorbeziehung in nichtlinearem Material

Eine Lichtwelle ( k 1 , ω 1 ) bewegt sich in einem Medium mit Brechungsindex N 1 und trifft dann auf ein nichtlineares Medium ( N 2 ) unter dem Winkel θ 1 .

Das Snellsche Gesetz sagt uns die Richtung der Welle im Medium:

N 1 S ich N θ 1 = N 2 S ich N θ 2 .

Wir sehen sofort, dass die Welle das Medium in derselben Richtung verlässt, in der sie eingetreten ist (vorausgesetzt, dass der Brechungsindex hinter dem Medium wieder ist N 1 ).

Nun werden aufgrund des nichtlinearen Charakters des Materials höhere Harmonische erzeugt, z ω 2 = 2 ω 1 mit eigener Regie k 2 .

Ich verstehe, dass der Brechungsindex von der Größe des angelegten elektrischen Felds abhängt (Kerr-Effekt), aber wie sieht der Brechungsindex für die Wellen aus ( k 1 , ω 1 ) Und ( k 2 , ω 2 ) und wie übersetzt sich das in die Richtung der Welle ( k 2 , ω 2 )?

Was meinen Sie mit "Wir sehen sofort, dass die Welle das Medium in derselben Richtung verlässt, in der sie eingetreten ist ..."? Ist das nichtlineare Medium eine dünne Schicht oder meinen Sie Reflexion?
Das Gesetz von Snell gilt einmal, wenn die Welle in das Medium eintritt, und einmal, wenn sie das Medium verlässt. Die jeweiligen Brechungsindizes und Winkel sind gleich, sodass der lineare Teil der Welle das Medium unter demselben Winkel verlässt, unter dem er eingetreten ist.
Ah, okay, ich verstehe, was du meinst...
Diese Frage steht in engem Zusammenhang mit dem Thema Phasensynchronisation in nichtlinearen Medien; Ich glaube, dass ein richtiges Verständnis davon alle damit zusammenhängenden Fragen ausreichend beantworten würde. Wenn die Frage so einfach ist wie "wie bricht die erzeugte 2. Harmonische, wenn ihr Brechungsindex anders ist?", ist die Antwort etwas überraschend: "eine solche Welle wird es wegen fehlender Phasensynchronisation nicht geben".
Können Sie das näher erläutern?
Ich habe vergessen zu erwähnen, dass einige nichtlineare Medien eine Frequenz- / Wellenzahlabhängigkeit in der Amplitude der einfallenden Welle (und ähnliche Abhängigkeiten in der Frequenz und Wellenzahl) auferlegen können, daher könnte es hilfreich sein, die Bedeutung von nichtlinear in diesem Fall genauer zu beschreiben ...

Antworten (1)

Der Zweck des nichtlinearen Mediums besteht darin, höhere Harmonische zu erzeugen (hier: ω 2 = 2 ω 1 ), also Wellen mit einem Vielfachen der Frequenz der Ausgangswelle ( k 1 , ω 1 ), die nicht verschwinden, wenn das Medium endet. Diese letzte Aussage ist hier von entscheidender Bedeutung! Aber darauf komme ich später zurück.

Nun ist das elektrische Feld der Anfangswelle ( k 1 , ω 1 ) lässt sich beschreiben als

E 1 ( ω 1 ) ( z , T ) = E 1 e ich ( k 1 z − ω 1 T ) + C . C . ,
Wo E 1 stellt die Feldamplitude dar, z die Ausbreitungsrichtung, T die Zeit und C . C . das komplexe Konjugat.

Der nichtlineare Teil der Polarisation, der die zweite Harmonische erzeugt, liest

P N L ( 2 ω 1 ) = ϵ 0 χ ( 2 ) E 1 2 e 2 ich ( k 1 z − ω 1 T ) + C . C . ,
Wo ϵ 0 ist die Permittivität im Vakuum und χ ( 2 ) die nichtlineare Suszeptibilität 2. Ordnung.

Das elektrische Feld der zweiten Harmonischen ist

E 2 ( 2 ω 1 ) ( z , T ) = E 2 e ich ( k 2 z − ω 2 T ) + C . C . ,
Wo ω 2 = 2 ω 1 .

Nun, an jedem Punkt z innerhalb des Mediums erzeugt die anfängliche Welle eine weitere Welle, die auf sie zuläuft ω 2 = 2 ω 1 , aber das bedeutet nicht, dass jede erzeugte Welle die gleiche Phase hat! Es könnte durchaus möglich sein, dass zwei unterschiedliche Wellen an laufen ω 2 haben eine Phasendifferenz, so dass sie destruktiv interferieren. Damit die Anfangswelle konsistent in dieselbe zweite Welle eingespeist wird, muss sie sich mit derselben Geschwindigkeit ausbreiten (Phasengeschwindigkeit v P ). So

v P 1 = ω 1 k 1 = ω 2 k 2 = 2 ω 1 k 2 = v P 2 ,
was impliziert k 2 = 2 k 1 oder mit anderen Worten Δ k = k 2 − 2 k 1 = 0 . Dies ist die Phase-Matching-Bedingung (ein großes Lob an dominecf für den Hinweis). Es zeigt, dass die Richtung sowohl der anfänglichen als auch der erzeugten Welle dieselbe ist, da k ist normalerweise ein Vektor. Verwenden

k 2 = 2 k 1
⇔ ω 2 C N ( ω 2 ) = 2 ω 1 C N ( 2 ω 1 ) = 2 ω 1 C N ( ω 1 )
⇔ N ( ω 2 ) = N ( ω 1 ) ,
Wo C die Lichtgeschwindigkeit ist, ist klar, dass auch die Brechungsindizes übereinstimmen.

Es sollte hervorgehoben werden, dass die Phasenanpassungsbedingung nicht immer bedeutet, dass die Phasengeschwindigkeiten der Wellen übereinstimmen müssen. Die Bedingung für konstruktive Interferenz muss erfüllt sein, d.h Δ k = 0 .

Wellenvektorbeziehung in nichtlinearem Material
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