Wenn die Heisenbergsche Unschärferelation die Standardabweichung von Größen beinhaltet, warum verwenden wir sie dann anders als hier?

Die Heisenbergsche Unschärferelation ist mathematisch gegeben als

σ X ⋅ σ P ≥ ℏ 2

Die beiden Terme auf der linken Seite sind die Standardabweichungen von Ort und Impuls.

Aber an vielen Stellen ist das HUP so

Δ X Δ P ≥ H 4 π
und verwendet wie in diesem Beispiel (wie in Beisers moderner Physik):

Wenn ein Teilchen irgendwo in einer Radiuskugel sein kann Δ R und kann Schwung in einem Bereich haben Δ P dann haben wir Δ R . Δ P ≥ ℏ 2

Wie folgt dieses Beispiel aus der oben gegebenen Definition?

Ich bin froh, dass Sie diese Frage nicht geschlossen haben, obwohl es ähnliche gibt, aber die Antworten dort beantworten die Frage imho nicht.
Es tut mir sehr leid, sagen zu müssen, dass Beiser voller konzeptioneller Fehler ist und man sich nicht auf irgendetwas verlassen sollte. Wir haben vor 10-12 Jahren aufgehört, es wegen dieser vielfältigen Probleme zu verwenden.
Vielen Dank für Ihren Rat, ich werde ihn hoffentlich bald durch einige andere Standardtexte ersetzen. Danke schön.

Antworten (3)

Die Idee ist, dass, wenn ein Teilchen irgendwo in der Sphäre des Radius sein kann Δ R , Dann σ X ∼ Δ R (Sie können versuchen, die Standardabweichung der Position eines Teilchens zu berechnen, das sich irgendwo auf einer Radiuskugel befinden kann Δ R und es wird proportional sein Δ R ). Es ist ein bisschen wie das Fermi-Problem ( https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_problem ), bei dem Sie nur daran interessiert sind, die Größenordnung von etwas zu schätzen.

Diese Art von "Schätzungen" sind nicht streng, aber üblich. Dies reicht jedoch in der Regel aus. Beachten Sie, dass unabhängig von der Strenge der Ungleichung die physikalische Interpretation dieselbe bleibt: Wenn der Radius dieser Kugel, auf die das Teilchen beschränkt ist, abnimmt, nimmt die Unsicherheit des Impulses zu (d. h. es ist sehr schwierig, Teilchen auf sehr zu beschränken kleine Plätze).

Danke Johny, noch eine Bitte. Sagen wir, das wissen wir Δ P = 10 5 wie können wir dies verwenden, um zu sagen, dass der Durchschnitt P wird in der Größenordnung von sein 10 5 ? P ist der Impuls.
Betrachten Sie eine ähnliche Analyse, aber für die Position. Wenn Δ R = 10 5 , können wir daraus schließen, dass die durchschnittliche Position in Ordnung ist 10 5 ? Das mag stimmen, aber es gibt mehrere Verteilungen, die denselben Wert haben Δ R . Diese werden durch die Lösungen der Schrödinger-Gleichung charakterisiert. In dem Link: en.wikipedia.org/wiki/… , Abschnitt "Ableitung der Radialgleichung", sagen Sie, dass wenn lim R → 0 R 2 v ( R ) = 0 dann nahe R = 0, R ∼ R l , l ≥ 0 . Das würde deine Behauptung irgendwie rechtfertigen.

Die erste Formel ist genauer. Für ein Gaußsches Wellenpaket werden die Standardabweichungen in x und p durch diesen Ausdruck in Beziehung gesetzt.

Eine Wellenfunktion, die über ein kugelförmiges Volumen gleichförmig und außerhalb davon null ist, hat aufgrund ihrer scharfen Kanten hohe Impulskomponenten. Dies führt dazu, dass das Produkt der Standardabweichungen von x und p größer als ist ℏ / 2 = H / 4 π .

Eine solche Wellenfunktion wäre keine Lösung der Schrödinger-Gleichung.
@kaylimekay Ja, das würde es. Die freie Schrödinger-Gleichung erlaubt Lösungen mit beliebigem Impuls. Daraus kann ich zu einem Zeitpunkt eine Wellenfunktion konstruieren, die innerhalb einer Kugel gleichmäßig ungleich Null und außerhalb Null ist.
Vielen Dank, my2cts, Beiser spricht nicht davon, dass die Wellenfunktion eine Gaußsche Funktion ist, sondern fährt fort, die zweite Form von HUP zu verwenden.
@my2cts Entschuldigung, das habe ich falsch gesagt. Was ich hätte sagen sollen, ist, dass die Wellenfunktion kontinuierlich sein sollte, um nicht unendliche Energie zu haben. Für die Frage ist es eigentlich egal. Erwähnen Sie es nur, da Sie ein zusätzliches Beispiel gegeben haben.
@kaylimekay In der Tat können Sie die Schrittfunktion nicht unendlich scharf machen.

Diese Antwort ist wirklich ein Kommentar.

Die Standardabweichung hat eine streng statistische Bedeutung

Die mittlere quadratische Abweichung von x von seinem Durchschnitt wird als Standardabweichung bezeichnet. Für einen Satz diskreter Messungen nimmt die Standardabweichung die Form an

estdevdiscr

für kontinuierlich:

stdevcont....

Die Bestimmung des Durchschnitts oder Mittelwerts im obigen Ausdruck beinhaltet die Verteilungsfunktion für die Variable.

stdev

Die Verteilungsfunktion ist auch statistisch definiert, zum Beispiel:

verstört, Poison

Deshalb die σ Das Symbol ist normalerweise auf die Standardabweichung beschränkt.

Die Heisenberg-Unschärfe (HUP) wird üblicherweise angegeben als

HUP

mit dem Δ Symbol anstelle des σ klar zu machen, dass die Verteilungsfunktion keine der statistischen ist, sondern durch die quantenmechanische Lösung der Gleichungen und Randbedingungen des Problems gegeben ist, Ψ ∗ Ψ , eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, aber keine statistische.

Wenn die Heisenbergsche Unschärferelation die Standardabweichung von Größen beinhaltet, warum verwenden wir sie dann anders als hier?
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