Verschiedene Formen der Heisenbergschen Unschärferelation

Question

Verschiedene Formen der Heisenbergschen Unschärferelation

Physik
Statistiken
Fehleranalyse
Quantenmechanik
Heisenberg-Unschärfe-Prinzip

steckt

Die Heisenbergsche Unschärferelation wird oft in zwei Formen geschrieben:

Δ X Δ P \geq \frac{ℏ}{2}

$\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$

Und

σ_{X} σ_{P} \geq \frac{ℏ}{2} .

$\sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}.$

Sind diese beiden gleichwertig? Mir wurde gesagt, dass sie es sind, aber es ergibt keinen Sinn für mich. Zum Beispiel in einem unendlichen quadratischen Brunnen, $\Delta x =$ die Breite des Brunnens. Wohingegen $\sigma_x$ gleich der Standardabweichung der Wellenfunktion ist.

Wenn sie gleichwertig sind, dann $\Delta x = \sigma_x = \sqrt{\langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2}$ was bedeutet, dass wir den Wert von finden können $\langle x^2\rangle$ mit:

$\langle x^2\rangle = (\Delta x)^2 + \langle x\rangle^2$

Macht das Sinn? Oder habe ich mich über die Gleichwertigkeit der beiden Formen des HUP täuschen lassen?

QMechaniker

Mehr zu HUP & Statistiken

ACuriousMind

Warum denkst du, dass

Δ x

$\Delta x$ bezeichnet nicht auch die Standardabweichung?

sticht

@ACuriousMind Bis jetzt, dachte ich

Δ x

$\Delta x$ war gleich der vollen Breite des Brunnens, was ich weiter unten erfahren habe ist nicht der Fall. Es macht jetzt auch Sinn, da es sich um eine Unsicherheit in x handelt. Also hatte ich gedacht, wenn es gleich der vollen Breite des Brunnens ist, wie könnte es gleich der Standardabweichung sein, wenn die SD nicht die volle Breite des Brunnens ist.

Antworten (2)

Verschiedene Formen der Heisenbergschen Unschärferelation

Warum denkst du, dass $\Delta x$ bezeichnet nicht auch die Standardabweichung?
@ACuriousMind Bis jetzt, dachte ich $\Delta x$ war gleich der vollen Breite des Brunnens, was ich weiter unten erfahren habe ist nicht der Fall. Es macht jetzt auch Sinn, da es sich um eine Unsicherheit in x handelt. Also hatte ich gedacht, wenn es gleich der vollen Breite des Brunnens ist, wie könnte es gleich der Standardabweichung sein, wenn die SD nicht die volle Breite des Brunnens ist.

Francesco · Answer 1

Francesco

Die statistische Interpretation der Quantenmechanik sagt uns, dass das „Beste“, was wir a priori (dh vor der Durchführung einer Messung, eines Experiments) aus einer theoretischen Untersuchung eines physikalischen Systems wissen können, im Allgemeinen eine Reihe möglicher Werte ist. Da Sie eine Reihe von Möglichkeiten haben, öffnet sich natürlich der Weg für eine statistische Analyse: Sie haben eine Werteverteilung, die durch einen Mittelwert und eine Streuung gekennzeichnet ist, $\sigma$ , um ihn herum. Das Produkt der beiden $\sigma$ die mit den Verteilungen zweier konjugierter Messwerte verbunden sind, dürfen den im HUP angegebenen Wert nicht unterschreiten.

Wenn wir stattdessen ein Experiment und aufeinanderfolgende Messungen zweier konjugierter Größen durchführen, "führt das System jedes Mal zum $\Psi$ vor den Messungen", A und B, erhalten wir unterschiedliche Werte, die durch Unsicherheiten gekennzeichnet sind $\Delta A$ Und $\Delta B$ dessen Produkt eine Obergrenze haben wird. Wie De Broglie sagte, haben wir es daher mit Unsicherheitsrelationen vor der Messung (im ersten Fall) und nach der Messung (im zweiten Fall) zu tun.

Zum Beispiel kann das unendliche Quadrat, das im Ursprung zentriert ist, alle Positionen zwischen -L/2 und +L/2 einnehmen: Der Durchschnittswert ist also x=0 und die Streuung ist L/2. Oder, wenn Sie eine große Anzahl von Messungen durchführen, erhalten Sie die Unsicherheit, $\Delta x$ , ist L/2 für den Mittelwert x=0.

Ich hoffe, ich war hilfreich.

sticht

Ah danke @Francesco, ich habe genommen

Δ x

$\Delta x$ gleich der gesamten Breite des Brunnens sein, also L statt L/2!

sticht

@Franceso, macht der letzte Teil meiner Frage für Sie Sinn? Vorausgesetzt ich nehme

Δ x

$\Delta x$ um L/2 zu sein, kann ich dies verwenden, um zu finden

< x^{2} >

$<x^2>$ ? (Da ich bereits den Wert von kenne

< x >^{2}

$<x>^2$ )

Francesco

@jstook gerne geschehen. Entschuldigung, ich habe vergessen, Ihnen zu sagen, dass ich einen Bruttowert für verwendet habe

Δ x

$\Delta x$ nur für fixe Ideen. Der

σ_{x}

$\sigma_x$ hat einen anderen und kleineren Wert. Wie auch immer, wenn Sie den genauen Wert kennen

Δ x

$\Delta x$ Sie können die Definition der Standardabweichung verwenden, um den Mittelwert von zu berechnen

x^{2}

$x^2$ Beachten Sie, dass es sich um den Mittelwert handelt, den Sie erhalten, wenn Sie eine große Anzahl von Messungen auf unserem System durchführen.

sticht

Nochmals vielen Dank @Francesco. Ich glaube, ich bin wieder bei meiner ursprünglichen Verwirrung. Mein Dozent hat mir gesagt, dass die beiden Formen mit Sigma- und Delta-Notation gleich sind und austauschbar verwendet werden können. Meine Verwirrung rührte jedoch von der Tatsache her, dass ich dachte

σ_{x}

$\sigma_x$ wird kleiner sein als

Δ x

$\Delta x$ die du oben erwähnt hast. Wenn dies der Fall ist, wie können wir die beiden austauschbar verwenden? Und für einen unendlichen quadratischen Brunnen, sagen Sie

Δ x

$\Delta x$ IST gleich dem oben erwähnten L/2? Oder vermitteln Sie mit der Formulierung Bruttowert nur die Idee? In meinem Fall ist mein Brunnen um 0 zentriert.

Francesco

Entschuldigung, ich weiß, dass ich mich im letzten Kommentar etwas irreführend ausgedrückt habe.

Francesco

Die beiden Objekte sind konzeptionell unterschiedlich, wenn Sie der Idee folgen, die ich in der ersten Antwort skizziert habe. Wenn Sie jedoch unendlich viele experimentelle Messungen der beiden Observablen durchführen und das System jedes Mal in den Zustand unmittelbar vor der Messung zurückbringen, oder, wenn Sie es vorziehen, unendliche identische Kopien des Systems herstellen und eine einzige erstellen Messung von x und p vor allem, in dieser Grenze die beiden Größen,

σ_{x}

$\sigma_x$ (a priori Ungewissheit) und

Δ x

$\Delta x$ (a posteriori Ungewissheit) verwirrt sind.

Francesco

Sobald Sie den konzeptionellen Unterschied und die Grenze, an der sie zusammenfallen, gelernt haben, können Sie die Definition der Standardabweichung verwenden, um die zu berechnen

Δ x

$\Delta x$ allerdings mit dem Hinweis, dass es sich um den Fehler einer riesigen Messreihe handelt; zu verstehen, wenn man 3-4 experimentelle Messungen am System gemacht und eingestellt hat

Δ x

$\Delta x$ als maximale Halbdispersion (dh

Δ x = 1 / 2 (x_{(} m a x) - x_{(} m i n))

$\Delta x = 1/2(x_(max)-x_(min))$ ), dann könnten Sie diesen Fehler nicht mit dem Sigma zusammenfallen lassen.

Francesco

Kommen wir also zum unendlichen Quadrat. Ich habe den L/2-Wert verwendet, der eine Überschätzung ist, nur um die Ideen zu korrigieren und nicht den richtigen Ausdruck zu schreiben, was mühsamer ist. Nun berichte ich über die Ergebnisse einer Übung aus dem Buch "Introduction to Quantum Mechanics, Griffiths": [calculate <x>,<

x^{2}

$x^2$ >,<p>,<

p^{2}

$p^2$ >,

σ_{x}

$\sigma_x$ ,

σ_{p}

$\sigma_p$ für den n-ten stationären Zustand des unendlichen quadratischen Brunnens]: Ergebnisse: <x>=L/2 <

x^{2}

$x^2$ >=

L^{2} (1 / 3 - 1 / (2 n^{2} (π)^{2}))

$L^2(1/3-1/(2n^2(\pi)^2))$ <p>=0 <

p^{2}

$p^2$ >=

(n h / 2 L)^{2}

$(nh/2L)^2$

σ_{x}

$\sigma_x$ =

L / 2 \sqrt{(} 1 / 3 - 2 / (n π)^{2})

$L/2\sqrt(1/3-2/(n\pi)^2)$

sticht

Nochmals vielen Dank @Franceso, ich werde die Informationen aus diesem Buch heraussuchen. Beifall!

Francesco

@jstook gerne geschehen :)

sticht

Mann, es tut mir leid, @Franceso noch eine Frage zu stellen, aber wenn Sie bereit sind, können Sie mir sicher helfen! Dieses Beispiel im erwähnten Text geht von 0 bis L, während ich an einem Problem mit dem unendlichen Quadrat arbeite, das gut symmetrisch um 0 ist. Wenn ich also eine Wellenfunktion finde, habe ich zwei, eine für ungerade Werte von n und eine für gerade Werte von n. Für

< x >

$<x>$ wir finden 0, da es ein ungerades Integral ist. Deshalb

< p >= m * d < x > / d t = 0

$<p> = m*d<x>/dt = 0$ sowie. Aber wenn es darum geht

< x^{2} >

$<x^2>$ Und

< p^{2} >

$<p^2>$ Ich muss für jeden Erwartungswert zwei Integrale machen.

sticht

Was natürlich leicht genug ist, aber wenn ich es wüsste

σ_{x}

$\sigma_x$ Ich könnte dann neu arrangieren, um zu lösen

< x^{2} >

$<x^2>$ und verwenden Sie es, um zu finden

< p^{2} >

$<p^2>$ sowie. Jetzt, nachdem ich Ihre Antworten und andere auf dieser Seite gelesen habe, denke ich, dass wir dem nicht einfach einen Wert geben können

σ_{x}

$\sigma_x$ ohne alle Erwartungswerte zu finden? Oder um es klarer zu sagen, es gibt keinen „akzeptierten“ Wert innerhalb des unendlichen Quadrats, der einfach ohne Beweis angegeben werden kann?

Francesco

Hey @jstook, es tut mir leid für die Verzögerung, aber ich habe mich in den letzten Tagen nicht eingeloggt. Wenn Sie aus irgendeinem Grund den Wert der Standardabweichung kennen, könnten Sie die Formel sicherlich umstellen, um den Mittelwert von zu erhalten

x^{2}

$x^2$ . Eine Möglichkeit, das Sigma zu ermitteln, könnte darin bestehen, die Streuung über eine riesige Stichprobe experimenteller Messungen zu bewerten. Aber ich glaube nicht, dass es einen a priori Weg gibt, Unsicherheit zu etablieren ... höchstens, denke ich, kann sie überschätzt werden, indem die Symmetrien eines bestimmten Problems ausgenutzt werden.

sticht

Legende @Francesco. Vielen Dank.

Agnius Wassilauskas · Answer 2

Die allgemeinste Form der Unschärferelation ist:

σ_{A} σ_{B} \geq | \frac{1}{2 ich} ⟨ [A, B] ⟩ |

$\boxed{\sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{A},{B}]\rangle \right|}$

Wo $A,B$ sind hermitesche Operatoren, die nicht kommutieren, nämlich ihr Kommutator :

[A, B] = A B - B A \neq 0

$[A,B]={A}{B}-{B}{A} \neq 0$

Wenn das der Fall ist, dann ist es unmöglich, Variablen zu messen $A,B$ gleichzeitig .

Versuchen wir nun, den Kommutator herauszufinden $[x,p]$ , dafür müssen wir den Ausdruck lösen

X P ψ (X) - P X ψ (X)

$xp~\psi(x) -px~\psi(x)$

Das Ersetzen des quantenmechanischen Impulsoperators und das Umordnen von Termen ergibt:

ich ℏ \frac{\partial}{\partial X} (X ψ (X)) - X ich ℏ \frac{\partial}{\partial X} ψ (X)

$i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \left(x\psi(x)\right) - xi\hbar\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)$

Die Verwendung der Multiplikationsregel für den ersten Term ergibt:

ich ℏ ψ (X) + X ich ℏ \frac{\partial}{\partial X} ψ (X) - X ich ℏ \frac{\partial}{\partial X} ψ (X)

$i\hbar\psi(x) + xi\hbar\frac{\partial}{\partial x}\psi(x) - xi\hbar\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)$

Beachten Sie, dass sich die letzten beiden Terme gegenseitig aufheben, sodass wir die endgültige Beziehung erhalten:

[X, P] ψ (X) = ich ℏ ψ (X)

$[x,p]\psi(x) = i\hbar~\psi(x)$

Das bedeutet, dass unser Ort-Impuls-Kommutator ist:

[X, P] = ich ℏ

$[x,p]=i\hbar$

Wenn wir den resultierenden Kommutator wieder in die allgemeine Form der Unschärferelation einsetzen, erhalten wir:

σ_{X} σ_{P} \geq \frac{ℏ}{2}

$\sigma _{x}\sigma _{p}\geq \frac{\hbar}{2}$

Prost Agnius, so hatte ich das noch nicht gesehen. Mein QM-Kurs hat viele dieser Art von Hintergrund übersprungen!

Verschiedene Formen der Heisenbergschen Unschärferelation

steckt

QMechaniker

ACuriousMind

sticht

Antworten (2)

Francesco

sticht

sticht

Francesco

sticht

Francesco

Francesco

Francesco

Francesco

sticht

Francesco

sticht

sticht

Francesco

sticht

Agnius Wassilauskas

sticht

Wenn die Heisenbergsche Unschärferelation die Standardabweichung von Größen beinhaltet, warum verwenden wir sie dann anders als hier?

Sind "Unsicherheiten" in der Heisenberg-Unsicherheit nur Standardabweichungen? [geschlossen]

Ist die Unsicherheit für Nicht-Eigenzustände notwendigerweise ungleich Null?

Wie bestimmt man den Lokalisierungsgrad einer Wellenfunktion?

Heisenbergsche Unschärferelation für mittlere Abweichung?

Wie hoch ist die Genauigkeit, wenn ein Elektron auf ein Ziel geschossen wird?

Gibt es eine theoretische oder technologische Grenze für die beliebige genaue Messung der Position eines Punktteilchens in der QM?

Welche Beziehung besteht zwischen der Unsicherheit und den aus einer Messung gewonnenen Informationen?

Warum kann das Unsicherheitsprinzip nicht für einzelne Messungen gebrochen werden, wenn es sich um ein statistisches Gesetz handelt?

Unschärferelation: für ein einzelnes Teilchen?