Sind "Unsicherheiten" in der Heisenberg-Unsicherheit nur Standardabweichungen? [geschlossen]

Die Größe auf der rechten Seite des Ausdrucks für das Produkt der Unsicherheiten hängt im Wesentlichen von der verwendeten mathematischen Definition von „Unsicherheit“ ab. Ohne eine starre mathematische Definition dieser Größe sagt man oft einfach, dass das Produkt von Unsicherheiten in Position und Impuls in der Größenordnung der Planck-Konstante (oder der reduzierten Planck-Konstante; da sie zueinander proportional sind, spielt es keine Rolle)

$$\Delta x \Delta p \sim \hbar \, .$$ Um die Aussage zu präzisieren, muss man definieren, was eigentlich mit „Unsicherheit“ gemeint ist und üblicherweise werden Unsicherheiten als Standardabweichungen definiert . $$\Delta x = \sigma_x = \sqrt{\langle (x - \langle x \rangle)^2 \rangle} = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2} \, , \\ \Delta p = \sigma_p = \sqrt{\langle (p - \langle p \rangle)^2 \rangle} = \sqrt{\langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2} \, , \\ $$ wo spitze Klammern $\langle \phantom{x} \rangle$stehen für den Erwartungswert . Und mit diesen Definitionen kann man das tatsächlich beweisen $$\Delta x \Delta p \geq \hbar / 2 \, .$$ Eigentlich bevorzugen wir in diesem Fall sogar die übliche Schreibweise für die Standardabweichung, um eine Mehrdeutigkeit zu vermeiden $$\sigma_x \sigma_p \geq \hbar / 2 \, .$$

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Tatsächlich können Sie eine allgemeinere Robertson-Unschärferelation beweisen als für zwei beliebige Observablen$A$Und$B$dargestellt durch selbstadjungierte Operatoren$\hat{A}$Und$\hat{B}$

$$\sigma_{A}\sigma_{B} \geq \left| \frac{1}{2i}\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle \right| = \frac{1}{2}\left|\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle \right|.$$ Jetzt für $x$Und $p$das wird durch sogenannte kanonische Vertauschungsrelation postuliert $[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$, führt also zu $$\sigma_x \sigma_p \geq \hbar / 2 \, .$$

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Beachten Sie, dass der Begriff „Erwartungswert“ eine Reihe anderer Namen und wenige mögliche Schreibweisen hat. In der Physik verwenden wir fast ausschließlich den Begriff Erwartungswert und bezeichnen ihn mit spitzen Klammern$\langle \phantom{x} \rangle$, also werde ich das auch weiterhin tun.

Sowohl Position als auch Momentum sind also kontinuierliche Zufallsvariablen , deren Erwartungswert wie folgt definiert ist :

$$\langle X \rangle = \int_{-\infty}^\infty x f(x) \mathrm{d}x \, , \tag{1}$$ Wo $f(x)$ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion . In der Quantenmechanik ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion durch den quadratischen Betrag der entsprechenden Wellenfunktion gegeben. Ich sage „entsprechend“, denn wenn man Erwartungswerte nach der oben genannten mathematischen Definition berechnen möchte, muss man den Betragsquadrat der Orts-Raum-Wellenfunktion verwenden $\Psi(x, t)$für den Fall der Position $$\langle x \rangle = \int_{-\infty}^\infty x \left|\Psi(x, t)\right|^2 \mathrm{d}x \, ,$$ und der quadratische Modul der Impuls-Raumwellen-Funktion $\Phi(p, t)$für den Impulsfall $$\langle p \rangle = \int_{-\infty}^\infty p \left|\Phi(p, t)\right|^2 \mathrm{d}x \, .$$ Da sowohl Orts- als auch Impuls-Raumwellenfunktionen die gleichen Informationen über ein Quantensystem enthalten, ziehen wir es jedoch normalerweise vor, nur mit einer von ihnen zu arbeiten (meistens mit der ersten) und den Erwartungswert einer beliebigen Observablen zu berechnen $A$dargestellt durch einen selbstadjungierten Operator $\hat{A}$ wie in der Quantenmechanik postuliert $$\langle A \rangle = \int_{-\infty}^\infty \Psi^{*}(x, t) \hat{A} \Psi(x, t) \mathrm{d}x \, , \tag{2}$$ anstatt die oben erwähnte mathematische Definition zu verwenden. Da Positionsoperator $\hat{x}$im Positionsraum ist nur ein multiplikativer, $\hat{x} \Psi(x, t) = x \Psi(x, t)$, (2) führt zu genau demselben Ausdruck wie (1). Für Impulsoperator $\hat{p}$Die Situation ist ein wenig komplizierter, aber es kann gezeigt werden, dass die Definitionen (1) und (2) genau das gleiche Ergebnis für den Erwartungswert des Momentums sowie für alle anderen beobachtbaren Ergebnisse liefern.

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Wie auch immer, unabhängig davon, wie wir Erwartungswerte berechnen$x$Und$p$, das entscheidende dünne ist, dass, wie wir bereits gesagt haben, spitze Klammern$\langle \phantom{x} \rangle$in der Definition von Standardabweichungen stehen für den Erwartungswert. Und sowohl der Erwartungswert als auch die Standardabweichung sind theoretisch berechnete Größen, die berechnet werden können, sobald wir den Zustand eines Systems kennen, dh die Wellenfunktion$\Psi(x, t)$.

Wenn wir jedoch die Unschärferelation experimentell testen möchten, müssen wir mehrere gleichzeitige Messungen von Ort und Impuls an einem Ensemble identisch präparierter Quantensysteme im selben Zustand durchführen$\Psi(x, t)$. Als Ergebnis eines solchen Experiments auf dem Ensemble von$n$Quantensysteme, wir werden Sätze haben$n$gleichzeitig gemessene Positionen$\{ x_i \}_{i=1}^{n}$und Momente$\{ p_i \}_{i=1}^{n}$. Mit diesen Ergebnissen können wir den Durchschnitt der Ergebnisse, der normalerweise als Stichprobendurchschnitt bezeichnet wird, wie folgt berechnen:

$$\overline{x}_{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \, , \quad \overline{p}_{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} p_i \, ,$$ und durch das Gesetz der großen Zahlen , das (etwas locker) besagt, dass der Stichprobendurchschnitt gegen den Erwartungswert konvergiert, $$\overline{x}_n \to \langle x \rangle \quad \textrm{and} \quad \overline{p}_n \to \langle p \rangle \quad \textrm{when} \quad n \to \infty.$$ Verwenden Sie sie, um Erwartungswerte und folglich Standardabweichungen zu schätzen. Und je mehr Versuche durchgeführt werden, desto näher kommen wir den theoretisch vorhergesagten Zahlen.

Das einzige Problem besteht darin, dass das Instrument für ein solches Experiment bei der unabhängigen Messung von Position und Impuls unglaublich genau sein sollte. Aber egal wie genau unser Messgerät bei der unabhängigen Messung von Position und Impuls ist, das Produkt aus Unsicherheiten in Position und Impuls wird immer ungleich Null sein. Und das hat nichts mit der Ungenauigkeit unabhängiger Orts- und Impulsmessungen zu tun, sondern mit der Funktionsweise der Natur. Selbst mit einem hypothetischen perfekten Instrument, das sowohl Position als auch Impuls unabhängig voneinander mit unendlicher Genauigkeit messen kann, können wir sie nicht beide gleichzeitig mit dieser Genauigkeit messen. Es gibt eine theoretische Grenze.

Es hängt davon ab, was Sie unter "Standardabweichungen" verstehen, wenn Sie die Definition der klassischen statistischen Mechanik meinen, die sich aus der Annahme der Zufälligkeit ergibt und zur Normalverteilung führt. Die Antwort lautet NEIN.

Die zu den Wellenfunktionen führenden Verteilungen sind deterministisch aus den quantenmechanischen Lösungen unter Verwendung der Potential- und Randbedingungen des Problems, da sich die Heisenberg-Unschärfe mathematisch aus den Kommutatoren quantenmechanischer Operatoren entwickelt.

In der Physik ist dies ein wichtiges übergeordnetes Prinzip der Quantenmechanik. Der auf einen Hilbertraum wirkende Kommutator zweier Operatoren ist ein zentrales Konzept der Quantenmechanik, da er quantifiziert, wie gut die beiden durch diese Operatoren beschriebenen Observablen gleichzeitig gemessen werden können. Die Unschärferelation ist aufgrund der Robertson-Schrödinger-Beziehung letztlich ein Theorem über solche Kommutatoren. Im Phasenraum werden äquivalente Kommutatoren von Funktionssternprodukten als Moyal-Klammern bezeichnet und sind vollständig isomorph zu den erwähnten Hilbert-Raum-Kommutatorstrukturen.

EDIT nach dem "Halten". Die Frage sagt:

basieren wirklich nur Standardabweichungen auf den Erwartungswerten?

Bei dieser Frage werden zwei unterschiedliche Rahmenbedingungen vermischt, die klassische Statistik mit „Standardabweichungen“ und die Quantenmechanik mit „Erwartungswerten“.

Es wird unterschieden zwischen delta(x), delta(p) beim Eingang in die Heisenbergsche Unschärferelation HUP und bei den Standardabweichungen bei Messungen. Das Wikipedia -Zitat:

Die formale Ungleichung zwischen der Standardabweichung des Ortes σ_x und der Standardabweichung des Impulses σ_p

spricht von Messungen von Ort und Impuls und bezieht sich auf die normale statistische Definition der Standardabweichung, die von den zugrunde liegenden Unsicherheiten der experimentellen Messung herrührt. Experimentelle Messungen hängen von der Genauigkeit unserer Instrumente ab und können klassischerweise technisch so klein wie möglich gehalten werden.

Im Gegensatz dazu stellt die HUP fest, dass, egal wie gut die Technologie ist, der Wert von Momentum und Position mit der Beziehung verbunden ist. Sie sind an die probabilistische Formulierung der Quantenmechanik gebunden, durch Erwartungswerte, die aufgrund der Natur der beteiligten Operatoren durch das HUP begrenzt werden.

Wenn man sich also die Messungen und deren Fehler ansieht, kann man sie als klassische Standardabweichungen behandeln. Wenn man sich die HUP-Beziehung ansieht, werden die Messungen dadurch eingeschränkt, egal wie klein die Standardabweichungen der Messung sind. Experimentell betrachtet ist es so, als würde für bestimmte Variablenpaare ein systematischer Fehler eintreten (systematische Fehler werden bei sorgfältigen Messungen anders behandelt, als die Standardfehler und gehorchen keiner Normalverteilung)

Ich denke, es ist eine wichtige Unterscheidung, weil die Verwirrung wahrscheinlich der Anfang für die Suche nach klassischen Untermauerungen der Quantenmechanik ist. Die Wahrscheinlichkeiten, ein Teilchen bei x zu finden, werden durch quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsfunktionen gesteuert und nicht durch zugrunde liegende statistische Bedingungen.

Sie sind in dem Sinne, dass sie die mittlere (!) Ableitung von einem Erwartungswert messen, was die Definition der Standardableitung ist.

Die Definition der Sandard-Ableitung ist eins zu eins in QM-Begriffen wiedergegeben. Ein Operateur$\Omega$mit Eigenwerten$\omega_i$und Eigenvektoren$|\omega_i \rangle$und eine Wahrscheinlichkeit von$P(\omega_i)$messen$\omega_i$. Hat den Erwartungswert:

$\langle \Omega \rangle := \sum \limits_i P(\omega_i)\omega_i=\sum \limits_i |\langle \omega_i|\psi\rangle|^2 \omega_i$die leicht gezeigt werden kann, dass sie den üblicheren gleich sind$\langle \Omega \rangle:=\langle \Psi | \Omega |\Psi \rangle$

Damit gelangt man zur Deifnition der Unsicherheit (Standardableitung) (wie in Shankars Prinzipien der Quantenmechanik) als Differenz der einzelnen Werte$\omega_i$zum Erwartungswertgewicht durch die Wahrscheinlichkeit, ihn zu messen (quadriert, um das Vorzeichen loszuwerden).

Wie bei jeder anderen Funktion einer statistisch verteilten Variablen ist ihr Erwartungswert gegeben durch:$\Delta \Omega = [\sum \limits_i P(\omega_i)(\omega_i-\langle \Omega \rangle)^2]^{1/2}\\ =[\underbrace{\sum \limits_i P(\omega_i) \omega_i^2}_{\langle \Omega^2 \rangle}- 2 \langle \Omega \rangle \underbrace{\sum \limits_i P(\omega_i)\omega_i}_{=\langle \Omega \rangle}+\langle \Omega \rangle]^{1/2} \\=[\langle \Omega^2 \rangle-\langle \Omega \rangle^2]^{1/2}$

was die klassische Form der Standardableitung ist.

Sie sind Standardabweichungen im folgenden Sinne. Lassen$\omega$ein Zustand sein, dh eine positive, lineare und normierte Abbildung von Observablen auf$\mathbb R$. Dann für alle beobachtbaren$A$definieren

$$\Delta_\omega(A)^2 := \omega((A-\omega(A))^2).$$ Dies ist gut definiert, weil das neue Observable $(A-\omega(A))^2$ist ein legitimer Funktionskalkül auf einem selbstadjungierten Element aus der C*-Algebra der Observablen, und tatsächlich ist es ein Element in der unitalen C*-Algebra, die von erzeugt wird $A$selbst. Somit $\Delta_\omega(A)^2$kann als Varianz interpretiert werden, und da dies nur eine reelle Zahl ist, können Sie ihre Quadratwurzel ziehen und sie als Standardabweichung deklarieren . Wenn Sie dann von Neumanns Ansatz zur Quantenmechanik folgen, wo der Wert von $\omega$An $A$ist definiert als der Durchschnitt der Messergebnisse von $A$über eine statistisch signifikante Anzahl exakter Kopien (Ensemble) des gleichen Systems im gleichen Zustand erkennt man dann, dass es sich wirklich um die übliche Standardabweichung handelt .