Das Gewicht eines Objekts ist die Kraft, die aufgebracht werden muss, um zu verhindern, dass sich das Objekt auf ein anderes nahe gelegenes Objekt wie den Planeten Erde zubewegt.

Wenn Sie zwei Objekte mit unterschiedlicher Masse haben, die sich beide in der Nähe des Planeten Erde befinden, folgen beide derselben Flugbahn, wenn keine Kraft vorhanden ist, um sie daran zu hindern, wenn sie mit derselben Geschwindigkeit vom selben Ort aus starten. Mit anderen Worten, sie haben die gleiche Beschleunigung. Dies liegt daran, dass beide der möglichst geraden Linie durch die Raumzeit folgen, und es gibt nur eine solche Linie (für gegebene Startbedingungen), sodass beide ihr folgen werden.

Die Linie, der sie folgen, nähert sich der Erde immer schneller.

Wenn Sie nun verhindern möchten, dass eines der Objekte dieser Linie folgt, müssen Sie eine Kraft bereitstellen, z. B. die Kraft Ihrer Hand, die letztendlich eine elektromagnetische Kraft ist (wobei auch etwas Quantenmechanik beteiligt ist). Sie müssen mehr Kraft auf das massivere Objekt ausüben, da Sie versuchen, die gleiche Beschleunigung für beide Objekte zu entfernen, und Sie das zweite Newtonsche Gesetz anwenden können.$f = m a$. Ja, es ist wirklich so einfach. In der Allgemeinen Relativitätstheorie gelten Gesetze wie dieses für Bewegungen mit geringer Relativgeschwindigkeit und kleinen Bereichen der Raumzeit. Da Sie also mehr Kraft aufwenden müssen, um das massivere Objekt von seiner Freifalllinie wegzulenken, wird es mehr Gewicht haben.

(Hinweis für Leser hinzugefügt, die wissen möchten, wie das Newtonsche Gesetz hier hineingeplatzt ist. Um die von einem bestimmten Beobachter beobachtete Kraft zu berechnen, nimmt man ein lokales Trägheitssystem an, das relativ zu diesem Beobachter momentan in Ruhe ist. In diesem Rahmen sind die Gesetze der Physik gerecht die gleichen wie in allen anderen lokalen Trägheitssystemen und werden nicht von der Gravitation beeinflusst${\bf f} = d {\bf p}/dt$Und${\bf p} = \gamma m {\bf v}$Wo$\gamma=1$für ein im Rahmen ruhendes Objekt.)

GR sagt, dass die Schwerkraft eine fiktive Kraft ist, die nur existiert, weil Sie einen nicht-trägen Bezugsrahmen gewählt haben. GR definiert einen nicht-trägen Rahmen als einen Rahmen, der nicht frei fallend ist.

Die Tatsache, dass Gravitationskräfte proportional zur Masse sind, erklärt sich also einfach dadurch, dass Nichtträgheitskräfte in der Newtonschen Näherung immer proportional zur Masse sind. Zentrifugal- und Corioliskräfte sind beispielsweise proportional zur Masse, ebenso wie die fiktive Kraft, die Sie in einem beschleunigenden Aufzug spüren.

Dass fiktive Kräfte in der Newtonschen Näherung immer proportional zur Masse sind, liegt daran, dass sie auf alle Testteilchen die gleiche Beschleunigung erzeugen, und in der Newtonschen Näherung haben wir sie$F=ma$.

Außerhalb der Newtonschen Näherung gilt in GR nicht, dass Gravitationskräfte immer proportional zur Masse sind. Beispielsweise ist die Strahlungsreaktionskraft auf einen der Sterne in einem Doppelsternsystem proportional zum Quadrat der Masse des Sterns. Dies ist dasselbe wie im Fall elektromagnetischer Strahlung, wo die Strahlungsreaktionskraft proportional zum Quadrat der Ladung ist.

Dies wird eine sehr lockere, handgewellte Erklärung sein.

Massive Objekte krümmen die Raumzeit. Objekte, die in der gekrümmten Raumzeit frei fallen, folgen einer "geraden" Flugbahn, ähnlich wie sie es in der flachen Raumzeit tun. Aber "gerade" bedeutet nicht, was Sie vielleicht denken.

Eine gängige Analogie ist das Fahren auf der gekrümmten Erdoberfläche. Wenn Sie eine Kurve nach links oder rechts machen, fahren Sie im Kreis. Aber wenn Sie "geradeaus" fahren, fahren Sie auch im Kreis um die Erde herum. Da die Erde gekrümmt ist, ist dies auch ein „gerade“ Weg.

Ein „gerade“ Weg auf der Erde ist der am wenigsten gekrümmte aller möglichen Wege auf der Erde. Die Krümmung des Pfades wird durch die Erdkrümmung bestimmt. Alle "geraden" Pfade haben die gleiche Krümmung.

Dieser „gerade“ Pfad, der der gekrümmten Erde folgt, unterscheidet sich von einem wirklich geraden Pfad. Die Krümmung der Erde ist so gering, dass Sie den Unterschied normalerweise nicht bemerken. Aber wenn Sie wirklich geradeaus fahren könnten, würden Sie es nach ein paar Kilometern bemerken.

Allgemeine Relativitätstheorie ist so etwas. Frei fallende Objekte in gekrümmter Raumzeit folgen einer möglichst geraden gekrümmten Bahn. Die Krümmung in der Nähe der Erde ist stark genug, dass Sie den Unterschied zwischen dem "geraden" Pfad in der gekrümmten Raumzeit und dem geraden Pfad in der flachen Raumzeit sofort bemerken.

In Erdnähe bestimmt die Erde, wie gekrümmt die Raumzeit ist. Es ist nicht offensichtlich, aber alle Objekte folgen einem Pfad mit der gleichen Krümmung. Sie können einen Hinweis darauf sehen, wenn Sie einen großen und einen kleinen Stein mit der gleichen Geschwindigkeit und Richtung werfen. Sie folgen derselben Bahn mit derselben Geschwindigkeit.

Es ist nicht offensichtlich, was ein gekrümmter oder "gerade" Weg in der Raumzeit bedeutet. Man kann es sich so vorstellen, dass wir wie üblich in den 3 Raumdimensionen reisen und in der Zeitdimension in die Zukunft. Die Zeitrichtung ist so etwas wie senkrecht zu allen Raumdimensionen. Bei normalen Geschwindigkeiten beträgt die zukunftsgerichtete Geschwindigkeit von allem etwa 1 Sekunde pro Sekunde.

Wenn Sie sehen, dass sich etwas schnell bewegt, geht es in einer Ihrer Sekunden nicht so weit in die Zukunft. Seine Uhr läuft langsamer als deine. Wenn Sie die Zeit nicht sehr genau messen, ist dies nicht wahrnehmbar, es sei denn, das Objekt bewegt sich mit annähernd Lichtgeschwindigkeit. Aber es ist ein echter, winziger Effekt, selbst bei normalen Geschwindigkeiten.

Die Leute sprechen von Raumzeit, weil Raum und Zeit enger miteinander verbunden sind, als Sie vielleicht erwarten. In der Raumzeit entspricht eine Entfernung von 186.000 Meilen nur einer Sekunde Zeit. Wir reisen also gewissermaßen mit etwa 186.000 Meilen/Sekunde in die Zukunft.

Betrachten wir ein paar Beispiele von Pfaden in der Raumzeit in der Nähe der Erde.

Wirf einen kleinen Stein. Es landet ein paar Meter entfernt und 1 Sekunde entfernt in der Zeit. Dies bedeutet, dass der höchste Punkt der Flugbahn 16 Fuß betrug. Der räumliche Teil der Trajektorie ist stark gekrümmt. Aber denken Sie daran, dass der Stein zeitlich umgerechnet 186.000 Meilen entfernt gelandet ist. Die Krümmung einer Flugbahn von 16 Fuß Höhe und 186.000 Meilen Länge ist extrem flach. Sie können den Radius eines Kreises so berechnen, dass er ungefähr 1 Lichtjahr beträgt.

Das bedeutet, dass die Schwerkraft von der Erde extrem schwach ist. Wenn Astronomen von starker Schwerkraft sprechen, meinen sie so etwas wie ein Schwarzes Loch, in dem sich ein Objekt 1 Sekunde nach dem Fallenlassen mit relativistischer Geschwindigkeit fortbewegen kann. Trotzdem ist es stark genug für uns.

Ein weiterer Punkt ist, dass, wenn Sie einen großen und einen kleinen Stein zusammenwerfen, sie der gleichen Flugbahn in der Raumzeit folgen. Sie steigen auf die gleiche Höhe und landen in der gleichen Entfernung und Zeit entfernt.

Um auf die klassische Physik zurückzukommen, bedeutet dies, dass sie die räumliche Flugbahn haben und die gleiche Zeit brauchen, um ihr zu folgen. Sie folgen einer Parabel mit gleicher Geschwindigkeit und Beschleunigung. Die Erdbeschleunigung ist für große und kleine Steine ​​gleich.

Betrachten Sie ein zweites Beispiel. Sie richten ein Gewehr leicht von der Horizontalen nach oben und feuern eine Kugel ab. Wir tun dies in einer sehr großen Vakuumkammer, damit die Luft die Kugel nicht verlangsamt. Wir haben den Winkel so gewählt, dass die Kugel eine maximale Höhe von 16 Fuß erreicht. Es folgt einer sehr flachen Kurve und landet 1 Sekunde später etwa eine Meile entfernt.

Wieder einmal ist es nicht offensichtlich, aber diese Flugbahn hat die gleiche Krümmung wie der Felsen. Es ist offensichtlich fast dasselbe. Das andere Ende ist eine Meile entfernt und zeitlich 186.000 Meilen entfernt. Sie denken vielleicht, dass es etwas länger ist als die Flugbahn des Felsens, weil eine Meile länger ist als ein paar Fuß.

Aber es ist nicht aus zwei Gründen. Erstens ist die Zeit nicht wirklich eine räumliche Dimension, die senkrecht zu allen anderen steht. Die Regel zur Berechnung der Gesamtlänge eines Weges in der Raumzeit unterscheidet sich geringfügig von Pythagoras.

Zweitens bewegte sich die Kugel schneller als der Stein. Er reiste also nicht ganz so weit in die Zukunft wie der Fels. Das heißt, die Kugel ist etwas jünger als eine andere Kugel, die nicht abgefeuert wurde. Auch dies verändert die Länge des Weges in der Raumzeit und verändert die Krümmung der Flugbahn. Es ergibt sich, dass beide die gleiche Krümmung haben.

Wenn wir die Themen etwas wechseln, gibt es unterschiedliche Vorstellungen davon, was Sie meinen könnten, wenn Sie sagen, dass ein dichteres Objekt derselben Größe schwerer ist. Alle bedeuten wirklich massiver.

Trägheitsmasse: Ein massiveres Objekt lässt sich schwerer herumschieben und schwerer beschleunigen. So wie ein großer Lastwagen einen größeren Motor braucht, um auf Touren zu kommen, als ein Motorrad.

Aktive schwere Masse: Ein massereicheres Objekt krümmt die Raumzeit stärker als ein weniger massereiches Objekt. Es lenkt Objekte weiter von der Flugbahn ab, die sie in der flachen Raumzeit haben würden. Das bedeutet, dass die Erde stärkere Gravitationskräfte erzeugt als der Mond.

Passive schwere Masse: Ein massereicheres Objekt wird mit einer größeren Kraft von der Erde angezogen als ein weniger massives Objekt.

Diese drei Massebegriffe sind konzeptionell unterschiedlich. Sie können die Masse eines Objekts messen, indem Sie es beschleunigen, eine Masse anziehen lassen oder beobachten, wie eine Masse es anzieht. Physiker haben keine tiefen Gründe gefunden, warum die drei Antworten gleich herauskommen müssen. Aber selbst äußerst empfindliche Experimente zeigen immer, dass sie es tun. Dies ist eines der tiefen Geheimnisse der Physik. Wir können nicht zeigen, dass sie gleich sind. Wir müssen davon ausgehen. Diese Annahme wird bei der Begründung der Newtonschen Gesetze und zur Ableitung der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendet.

Es ist auch ein Teil der Erklärung dafür, warum ein massiveres Objekt schwerer ist.

Angenommen, Sie halten große und kleine Steine. Sie könnten sie fallen lassen und sie ihrer "geraden" Flugbahn zur Erde folgen lassen. Wenn Sie dies tun, beschleunigen sie mit der gleichen Geschwindigkeit nach unten,$g$.

Aber du nicht. Ihr übt Aufwärtskräfte auf sie aus und zwingt sie von dieser Flugbahn weg zu solchen, die einen konstanten Abstand von der Erde haben. Dazu muss die Aufwärtskraft gleich der Schwerkraft sein. Die Gravitationskraft ist proportional zur Masse.

Ein dichterer Stein ist also schwerer als ein weniger dichter Stein.

Die vielleicht größte Erkenntnis daraus ist, dass, obwohl GR die wahre und richtige Antwort ist, dies viel einfacher ist.

Wie erklärt ein gekrümmter Raum, warum sich ein dichteres Objekt mit derselben Form und demselben Volumen schwerer anfühlt?

Der Raum, den wir um uns herum sehen, ist innerhalb unserer Messgenauigkeit flach. Wenn man zu Energien der speziellen Relativitätstheorie Raumzeit geht, sind vier Vektoren beteiligt, aber immer noch ist Ebenheit in den Beschreibungen der Lorenz-Transformation enthalten.

Was sagt uns, dass der Raum gekrümmt ist? Die Antwort lautet: Die Allgemeine Relativitätstheorie dominiert bei großen Massen und führt die Raumzeitkrümmung ein.

Was ist die allgemeine Relativitätstheorie? :

ist die 1915 von Albert Einstein veröffentlichte geometrische Theorie der Gravitation und ist die aktuelle Beschreibung der Gravitation in der modernen Physik. Die Allgemeine Relativitätstheorie verallgemeinert die spezielle Relativitätstheorie und verfeinert das Newtonsche Gesetz der universellen Gravitation, wodurch eine einheitliche Beschreibung der Schwerkraft als geometrische Eigenschaft von Raum und Zeit oder vierdimensionaler Raumzeit bereitgestellt wird. Insbesondere die Krümmung der Raumzeit steht in direktem Zusammenhang mit der Energie und dem Impuls jeglicher Materie und Strahlung, die vorhanden sind.

Einsteins Gleichung bezieht die Raumkrümmung auf den Energie-Impuls-Tensor$T_{μν}$.

Das Ergebnis ist: Wenn es keine Materie gibt, die Energie und Impuls liefert, damit ein Tensor definiert werden kann, gibt es keine Raumkrümmung, er ist flach.

Die erste Antwort auf Ihre Frage lautet also: Die Existenz von Masse / Energie erzeugt die Krümmung. Je größer die Massen, desto größer die Krümmung.

Ein dichteres Objekt ergibt also gemäß der Mathematik der Allgemeinen Relativitätstheorie einen stärkeren Energie-Impuls-Tensor und eine größere Krümmung.

Ich fand die Bowlingkugel in einem Trampolinmodell der Schwerkraft immer eine schlechte Analogie. Stellen Sie sich die Schwerkraft stattdessen eher wie ein Tiefdrucksystem im Wetter vor, wobei der Druck ein Maß für die Raumzeit ist. Je langsamer die Zeit ist, desto geringer ist der Druck. Nichts in dieser Analogie widerspricht der Relativitätstheorie, es ist einfach eine bessere Möglichkeit, das Problem zu visualisieren.

Eine interessante Sache am Druck ist, dass er alle Verhaltensweisen der Schwerkraft zulässt. Stellen Sie sich zum Beispiel zunächst vor, Sie würden drei Korkstücke unter Wasser ziehen und gegen den Druck des Wassers kämpfen: 1 kg, 10 kg und 100 kg. Es wäre natürlich viel schwieriger, die 10- und 100-kg-Korkstücke unterzuziehen als das 1-kg-Stück. Genauso wie der Versuch, die 10- und 100-kg-Teile zu heben, schwieriger ist als das 1-kg-Teil. Zweitens, wenn Sie sich vorstellen, dass die größeren Teile so geformt sind, dass sie den gleichen Wasserwiderstand wie die kleineren Teile haben (dh sie sind kugelförmig), und wenn Sie alle drei auf 100 Meter herunterziehen und loslassen würden, würden sie alle nach oben steigen die gleiche Beschleunigung, genau so, als hätte man sie 100 Meter in die Luft gehoben und fallen gelassen.

Denken Sie also daran, warum ein Objekt schwerer ist, weil Sie beim Anheben gegen einen größeren Druck ankämpfen.

Grundsätzlich ist die Antwort von Andrew Steane richtig für Fälle, in denen die Objekte relativ klein sind (wenig Stressenergie im Verhältnis zur Erde), ich möchte nur einen anderen Effekt klarstellen, im Fall von Objekten, die vergleichbare Stressenergien haben der Erde.

Sie fragen speziell danach, warum sich ein massiveres Objekt schwerer anfühlt.

Es ist sehr wichtig zu verstehen, dass es Stressenergie ist, nicht Masse, die die Auswirkungen der Schwerkraft (einschließlich Raumzeitkrümmung) erzeugt.

Jetzt ist Ihre Frage wirklich, warum fühlt sich ein Objekt mit mehr Stressenergie schwerer an, sagen wir, hier auf der Erde?

Nehmen wir der Argumentation halber an, Sie halten in der einen Hand eine Feder und in der anderen ein kleines schwarzes Loch (andere Effekte außer Acht lassen).

Warum habe ich das Gefühl, dass die Feder leicht ist, während das Mini-Schwarze Loch extrem schwer ist?

Sie sagen, dass Schwerkraft nur Raumzeitkrümmung ist, und sowohl die Feder als auch das Mini-Schwarze Loch versuchen, der Geodäte zu folgen, das heißt, sie versuchen beide, sich entlang eines Pfades zum Erdmittelpunkt zu bewegen. Sie sagen, dass dieser Weg durch das statische Gravitationsfeld der Erde bestimmt wird.

Wenn sie sich nur entlang eines geodätischen Pfades (von der Erde bestimmt) bewegen, warum fühlt man sich dann schwerer?

Die Antwort ist einerseits Trägheit (weil ein Objekt massiver ist, hat es mehr Trägheit) und andererseits, dass beide Objekte ihre eigene Gravitationswirkung haben, die durch ihre eigene Spannungsenergie bestimmt wird.

Nun ist der erstere Effekt (Trägheit) hier der Haupteffekt, wenn wir es mit relativ kleinen Objekten zu tun haben, die im Vergleich zur Erde relativ wenig Spannungsenergie haben. Der letztgenannte Effekt (eigenes Gravitationsfeld) wird erst nachweisbar, wenn die Stressenergie der Objekte von vergleichbarer Größenordnung wie die der Erde ist. Deshalb wähle ich für das Beispiel ein Mini-Schwarzes Loch, damit wir sehen können, dass beide Effekte eine Rolle spielen.

1. Trägheit

Dies ist der Haupteffekt, den wir erleben, wenn wir über relativ kleine Objekte sprechen, die relativ wenig Stressenergie haben (im Vergleich zur Erde). In diesem Fall können wir den letzteren Effekt (das eigene statische Gravitationsfeld der kleinen Objekte) vernachlässigen.

2. Die eigenen statischen Gravitationsfelder von Objekten

Dieser Effekt ist nur auf der Ebene von Objekten nachweisbar, die der Stressenergie der Erde selbst vergleichbar sind.

Das Mini-Schwarze Loch hat viel mehr Stressenergie als die Feder, daher erzeugt es ein statisches Gravitationsfeld um sich herum, das viel stärker ist als das der Feder.

Dieses statische Gravitationsfeld des Mini-Schwarzen Lochs wirkt sich auf die Erde genauso aus wie die Wirkung der Erde auf das Mini-Schwarze Loch. Dieses Mini-Schwarze Loch mag klein erscheinen, aber es ist mächtig.

Da das Mini-Schwarze Loch viel mehr Stressenergie hat als die Feder, beschleunigt es die Erde auf sich zu, genauso wie die Erde beide Objekte auf die Erde zu beschleunigt. Bei der Feder ist dieser Effekt so winzig, dass er gar nicht nachweisbar ist.

Wenn Sie also versuchen, das Mini-Schwarze Loch und die Feder in der gleichen Entfernung von der Erde zu halten, versuchen Sie, gegen das statische Gravitationsfeld all dieser Objekte zu arbeiten.

Die Ungenauigkeit, die durch das Ignorieren der Erdbewegung entsteht, beträgt also ungefähr ein Teil von einer Billion Billionen, weit über der Empfindlichkeit jedes heute existierenden (oder auch nur vorstellbaren) Messgeräts.

Fallen schwerere Objekte nicht tatsächlich schneller, weil sie ihre eigene Schwerkraft ausüben?

Und hier ist eine Tatsache, ja, entgegen der landläufigen Meinung wird das Mini-Schwarze Loch schneller auf die Erde zubeschleunigen als die Feder und es wird die Oberfläche früher erreichen als die Feder (wenn Sie es loslassen, ignorieren Sie die Atmosphäre). Dies wird durch die Tatsache verursacht, dass das Mini-Schwarze Loch mehr Stressenergie hat und ein stärkeres statisches Gravitationsfeld um sich herum erzeugt, das die Erde selbst beeinflusst.

Bitte beachten Sie:

1. Schwerkraft ist Raumzeitkrümmung, nicht nur räumliche Krümmung

2. Die Auswirkungen der Schwerkraft werden in Ihrem Fall durch eine gegenseitige Beziehung zwischen der Feder und der Erde oder dem Mini-Schwarzen Loch und der Erde erzeugt, beide Objekte wirken aufeinander ein

Wenn Sie also das nächste Mal eine Feder und ein Mini-Schwarzes Loch halten (bitte nicht), haben Sie bitte Verständnis dafür, dass sich eines von ihnen so viel schwerer anfühlt, weil die Effekte auf ein Phänomen zurückzuführen sind, das durch eine gegenseitige Wechselwirkung zwischen der Feder und entsteht die Erde, oder das Mini-Schwarze Loch und die Erde, und das Mini-Schwarze Loch hat so viel mehr Stressenergie. Es ist nur so, dass wir bei relativ kleinen Objekten (mit geringer Spannungsenergie) normalerweise den Beitrag der eigenen statischen Gravitationsfelder der kleinen Objekte vernachlässigen können.

Die Antwort auf Ihre Frage besteht also hauptsächlich aus zwei Effekten:

1. Trägheit, das ist die ultimative Antwort auf Ihre Frage. Auf der Ebene relativ kleiner (wenig Stressenergie) Objekte ist es das, was dazu führt, dass sich eines von ihnen schwerer anfühlt. Wenn ein Objekt massiver ist (mehr Stressenergie hat), werden wir es proportional schwerer empfinden. Die Schwerkraft ist in diesem Fall einfach die Raumzeitkrümmung, die beide Objekte ungefähr gleich schnell beschleunigt. Das massivere Objekt fühlt sich schwerer an, weil es mehr Trägheit hat, und Sie versuchen, es daran zu hindern, sich entlang der Geodäte zu bewegen.

2. kleine Objekte besitzen ein statisches Gravitationsfeld, das dazu führt, dass sie mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in Richtung Erde beschleunigt werden. Dieser Effekt wird nur auf der Ebene von Objekten nachweisbar, die ein vergleichbares Maß an Stressenergie im Vergleich zur Erde haben.

Ich kann mir keinen ordentlichen, intuitiven Weg vorstellen, wie es das erklärt. Ein Problem besteht darin, dass „schwer“ ein nicht-relativistischer Begriff ist, sodass Sie die Bewegungsgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie zurück in Newtons Kräfte in einem absoluten Bezugsrahmen übersetzen müssen.

Ein Weg zu "schwer" könnte sein:
Die Einstein-Gleichung bezieht die Raum-Zeit-Krümmung auf den Energie-Impuls-Tensor, der die Energie-(also Massen-)Dichte beinhaltet. Wenn Sie die Einstein-Gleichungen lösen und die Raum-Zeit-Metrik finden, können Sie die Bewegung eines Objekts in dieser Raum-Zeit berechnen (die Bewegung wird dann vollständig durch die Raum-Zeit-Metrik bestimmt), siehe zB https: // physical.stackexchange.com/a/135236/275840
Und die Bewegung dieses Objekts kann in einem bestimmten Bezugsrahmen (z. B. wenn Sie auf der Erdoberfläche stehen) in eine Beschleunigung in diesem Rahmen zerlegt werden, die wiederum wirken würde als eine Kraft auf etwas in seinem Weg, das versucht, es zu stoppen (z. B. Sie, daher fühlen Sie, dass es "schwer" ist).

Die Schwerkraft wirkt sich auf alle Objekte unabhängig von ihrer Masse gleich aus. Ein Objekt, das sich auf seinem natürlichen Weg durch Raum und Zeit bewegt, befindet sich im freien Fall. Frei fallende Objekte bewegen sich unabhängig von ihrer Masse alle auf demselben Weg, wie von Galileo demonstriert wurde (es sei denn, sie sind so massiv, dass wir ihre eigene Schwerkraft berücksichtigen müssen). Der Grund, warum sich manche Objekte schwerer anfühlen als andere, liegt darin, dass mehr Energie benötigt wird, um sie von ihrer natürlichen Bahn abzulenken.

Beispielsweise bewegt sich ein Objekt, das auf der Erdoberfläche ruht, nicht auf seiner natürlichen Bahn (es befindet sich nicht im freien Fall). Die Erde muss eine Kraft aufbringen, um zu verhindern, dass das Objekt durchfällt. Für massivere Objekte muss die Erdoberfläche eine größere Kraft ausüben.

Handelt es sich nur um Gewichte an einem örtlich begrenzten Ort an der Erdoberfläche, kann man das Äquivalenzprinzip anwenden: Die physikalischen Eigenschaften sind die gleichen wie in einem Raumschiff im Weltraum mit einer Beschleunigung$g$.

Schwerere Objekte hier auf der Erde wären dort gleich schwerer. Es ist leicht zu sehen, dass die Beschleunigung für alle Objekte gleich ist, weil das Schiff wirklich beschleunigt wird. Natürlich als$F = ma$, mehr Masse bedeutet mehr Gewicht.

Die Metrik an der Erdoberfläche ist so, dass die kovariante Beschleunigung ist$g$für einen ruhenden Körper, wie hier erklärt .

Für eine klassische Antwort kann man nicht wirklich an Wheelers Zusammenfassung von GR vorbeikommen:

Materie (Energiedichte) sagt der Raumzeit, wie sie sich krümmen soll

Die gekrümmte Raumzeit sagt der Materie, wie sie sich bewegen soll.

Wenn die Objekte auf der Erde eine viel geringere Energiedichte haben als die Erde (im täglichen Leben praktisch immer), dann wird die lokale Krümmung (Beschleunigung$g$) ist im Wesentlichen gleich, aber Sie müssen mehr Arbeit leisten (größere Kraft x gleiche Entfernung), um das massivere (=größere Trägheits-) Objekt anzuheben = fühlt sich schwerer an.

Wenn jedoch ein Objekt auf der Erde eine ähnliche Energiedichte wie die Erde hat (dh ein kleines schwarzes Loch), dann wird es theoretisch die lokale Raumzeit tatsächlich merklich krümmen. Dann wird auch die Erde darauf zu beschleunigen, so dass Sie viel ++ mehr Arbeit (gegen die eigene Krümmung des Objekts) leisten müssen, um es im Vergleich zu jedem anderen täglichen Objekt anzuheben.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie existiert keine Gravitationskraft. Wir können uns also „Schwere“ oder „Gewicht“ nicht als „die von der Erde auf den Körper ausgeübte Kraft“ vorstellen, die Sie in Betracht ziehen. Eine vorläufige Frage lautet also: Wie definieren wir hier „Schwere“?

In Ihrem Fall haben wir eine Hintergrundmetrik und -krümmung, die aus der Energie-Impuls-Spannungsverteilung der Erde stammen und von dem von Ihnen betrachteten Körper vernachlässigbar beeinflusst werden. Wenn sich der Körper also im freien Fall befände, hätte er dieselbe 4D-Weltlinie, unabhängig von seiner Dichte, Form und seinem Volumen (solange diese innerhalb solcher Grenzen liegen, dass wir den Körper als Testmasse betrachten können).

In diesem Fall können wir "Schwere" oder "Gewicht" als die 4-Kraft definieren, die erforderlich ist, um den Testkörper in einem Rahmen in Ruhe zu halten, in dem die Erde (im Durchschnitt) in Ruhe ist. Wenn der Körper in einem solchen Rahmen ruht, dann ist seine Weltlinie keine Geodäte. Dies bedeutet, dass der Körper eine 4-Beschleunigung hat, dh sein 4-Impuls ändert sich (in Bezug auf die kovariante Ableitung) entlang seiner Weltlinie – er bleibt nicht „parallel zu sich selbst“ entlang der Weltlinie. (Denken Sie daran, dass der 4-Impuls als gewöhnlicher Impuls und Masse-Energie in einem bestimmten Referenzrahmen wahrgenommen wird – er kann zerlegt werden –, aber eine solche Wahrnehmung und Zerlegung hängt vom Rahmen ab; ähnlich kann die 4-Kraft als gewöhnliche Kraft und Arbeit zerlegt werden +Heizung.)

Nach Einsteins Gleichungen ist eine solche 4-Beschleunigung nur möglich, wenn eine 4-Kraft – was wir als „Schwere“ definieren – auf den Körper wirkt, und es stellt sich heraus, dass eine solche 4-Kraft von der Ruhemasse von abhängt der Körper. Aus diesem Grund fühlt sich das Objekt, wenn es eine größere Masse hat, "schwerer" an. Eine ähnliche Argumentation könnte man auch für das „Trägheitsgefühl“ anführen.

Im Allgemeinen ist die Höhe der 4-Kraft$\pmb{f}$die erforderlich ist, um einen Testkörper von seiner geodätischen Ausrichtung abzulenken, hängt von der Hintergrundkrümmung ab (der Körper fühlt sich auf einem massereicheren Planeten schwerer an, was zu einer größeren Krümmung führt), ausgedrückt in der kovarianten Ableitung$\nabla$; und auf der Ruhemasse$m$des Körpers (massivere Körper fühlen sich schwerer an), was der "4er-Länge" des 4er-Impulses entspricht$\pmb{p}$vom Körper. Wenn der Körper keine Wärme abgibt oder aufnimmt, haben wir$\pmb{p}=m\pmb{u}$, Wo$\pmb{u}$ist die 4-Geschwindigkeit des Körpers mit der Einheit "4-Länge". In diesem Fall ist die Kraft erfüllt$\pmb{f} = \nabla_{\pmb{u}}(m\pmb{u})$, die sich aus den Einstein-Gleichungen ableiten lässt (diese Formel ist verwandt mit der „$F=ma$" der Newtonschen Mechanik, die in anderen Antworten vorkommt). In Ihrem Beispiel ist die "$\nabla_{\pmb{u}}\pmb{u}$Teil" ist für dichtere und weniger dichte Objekte gleich (gleiche nicht-geodätische Weltlinie, gleiche Hintergrundkrümmung), aber der "$m$part" ist für das dichtere Objekt größer.

Wenn der Körper Wärme abgibt oder aufnimmt, sind sein 4-Impuls und seine 4-Geschwindigkeit tatsächlich nicht kollinear; Dies ist normalerweise ein vernachlässigbarer Effekt in Newtonschen Kontexten.

Verweise

4-Impuls, 4-Beschleunigung, 4-Kraft sind an verschiedenen Stellen in zu finden

• Misner, Thorne, Wheeler: Gravitation (Freeman 1973),

zum Beispiel Kapitel 6 und 13.

Die Ableitung von$\pmb{f} = \nabla_{\pmb{u}}(m\pmb{u})$für Testkörper aus Einsteins Gleichungen ist nicht trivial. Siehe zum Beispiel:

• Infeld, Schild: Zur Bewegung von Testteilchen in der Allgemeinen Relativitätstheorie . Rev. Mod. Phys. 21 (1949), 408.

• Geroch, Soo Jang: Bewegung eines Körpers in der allgemeinen Relativitätstheorie . J. Math. Phys. 16 (1975), 65.

Zur Nichtkollinearität von 4-Geschwindigkeit und 4-Impuls siehe zum Beispiel

• Eckart: Die Thermodynamik irreversibler Prozesse. III. Relativistische Theorie der einfachen Flüssigkeit . Phys. Rev. 58 (1940), 919.