Wie berechne ich die Zeit, die ein von der Erde startendes Raumschiff brauchen würde, um einen anderen Planeten zu erreichen?

Es gibt keine einzige mögliche Reisedauer zwischen zwei Planeten in einer festgelegten Epoche. Sie können eine Trajektorie nach verschiedenen Kriterien auswählen und dann die Transferbahn berechnen, die Ihre Einschränkungen erfüllt. Sobald Sie die Zeit t ₁ kennen , zu der Sie starten möchten, und die Zeit t ₂ , zu der Sie Ihr Ziel erreichen möchten, lösen Sie das Lambert-Problem für t ₁ , t ₂ , r ₁ , r ₂ , wobei r ₁ die ist Position des Ursprungsplaneten bei t ₁ und r ₂ ist die Position des Zielplaneten bei t ₂. Das Lambert-Problem ist im Grunde ein Randwertproblem für die Bewegungsgleichungen des Raumfahrzeugs im zentralen Gravitationsfeld der Sonne.

Als Lösung für Ihr Lambert-Problem finden Sie die Flugbahn des Raumfahrzeugs in Bezug auf seine Position r und seine Geschwindigkeit v als Funktionen der Zeit t . Auf diese Weise können Sie das für den Start auf dem Ursprungsplaneten erforderliche Delta-v und das für den Abbruch auf dem Zielplaneten erforderliche Delta-v berechnen:

$$\begin{equation} \Delta{v_L} = |v_s(t_1)-v_{p_1}(t_1)| \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Delta{v_B} = |v_s(t_2)-v_{p_2}(t_2)| \end{equation}$$

wobei Δv _L das für den Start erforderliche Delta-v ist, Δv _B das zum Brechen erforderliche Delta-v ist, v _s (t) die Raumfahrzeuggeschwindigkeit zur Epoche t ist , v _p (t) die Geschwindigkeit des Planeten p zur Epoche t , p ist ₁ ist der Ursprungsplanet und p ₂ ist der Zielplanet. Alle Geschwindigkeiten sind relativ zur Sonne. Wenn Ihre Mission nur einen Vorbeiflug beinhaltet, anstatt in eine Umlaufbahn um den Zielplaneten einzudringen oder auf seiner Oberfläche zu landen, müssen Sie Δv _B nicht berücksichtigen .

Es kann sich herausstellen, dass eines oder beide dieser Delta-Vs mit Ihrem Antriebssystem nicht machbar oder zu teuer sind. Aus diesem Grund werden reale Missionen unter Verwendung von Optimierungsalgorithmen entworfen, die das Lambert-Problem wiederholt für verschiedene mögliche Daten t ₁ und t ₂ lösen . Auf diese Weise gerät Ihr Antriebssystem in das Problem, Beschränkungen für zulässige Startfenster aufzuerlegen.

Ein leicht lösbarer Spezialfall ist die Hohmann-Übertragung . Dies ist eine sehr energieeffiziente direkte Flugbahn zwischen zwei kreisförmigen Umlaufbahnen, die 180 Grad um die Sonne führt. In diesem Fall ist die Reisezeit

$$\begin{equation} \Delta{t} = \pi \sqrt{\frac{(r_1+r_2)^3}{8GM}} \end{equation}$$

wobei G die Gravitationskonstante und M die Masse der Sonne ist.

Das Obige ging davon aus, dass Ihr Antrieb chemische Motoren verwendet, die sehr kurz zünden, aber ein sehr hohes Delta-V liefern (oft als sofortige Änderung der Geschwindigkeit modelliert). Es gibt Alternativen, darunter schubarme Antriebssysteme wie Ionenmotoren und Sonnensegel . Das Entwerfen von Trajektorien mit diesen Antriebssystemen erfordert das Lösen allgemeinerer Bewegungsgleichungen als die im Lambert-Problem.

Echte Missionen nutzen auch häufig Gravity Assist Manoeuvres und Deep Space Manoeuvres, die komplexere Berechnungen sowie Optimierungsalgorithmen wie Differential Evolution oder Particle Swarm Optimization und Suchraumreduktionsalgorithmen wie Gravity Assist Space Pruning erfordern .

Um Ihre Frage direkt zu beantworten: Solange Sie nicht angeben, welche Flugbahn Sie für Ihre Mission aus unendlich vielen direkten und indirekten Wegen von einem Planeten zum anderen ausgewählt haben, gibt es keine einfache Formel für die Reisezeit. Darüber hinaus ist die Reisezeit eine Variable, die Sie bei der Planung der Mission frei anpassen können. Um zu überprüfen, ob eine gegebene Reisezeit entlang einer direkten Übertragungsbahn mit chemischem Antrieb realisierbar ist, sollten Sie das Lambert-Problem für Ihre Parameter lösen und bestimmen, ob das erforderliche Delta-vs in Ihre Fähigkeiten fällt.