Was ist die optimale Brennrichtung zur unteren Periapsis der hyperbolischen Umlaufbahn?

Wenn Sie dieses Problem in 2D betrachten, haben Sie zu einem bestimmten Zeitpunkt die folgenden Parameter, die Ihre Flugbahn (Position und Geschwindigkeit) um einen Himmelskörper mit Gravitationsparameter beschreiben$\mu$, Radius$r$, Radialgeschwindigkeit$v_r$und Tangentialgeschwindigkeit$v_t$. Es gibt noch ein paar andere, aber diese spielen bei dieser Aufgabe aufgrund der Symmetrie keine Rolle.

Sie können den Radius Ihrer Periapsis berechnen , indem Sie die Gleichungen für die große Halbachse und die Exzentrizität verwenden , die, wenn sie in ausgedrückt werden$\mu$,$r$,$v_r$und$v_t$aussehen

$$a = \frac{\mu r}{2\mu - \left(v_r^2 + v_t^2\right) r}, \tag{1}$$

$$e = \sqrt{1 + \frac{\left(v_r^2 + v_t^2\right) r}{\mu} \left(\frac{v_t^2 r}{\mu} - 2\right)}, \tag{2}$$

$$r_{pe} = a (1 - e), \tag{3}$$

mit$a$die große Halbachse,$e$die Exzentrizität u$r_{pe}$die Periapsis.

Wenn Sie nun die Gesamtzeitableitung der Periapsis berechnen , sollte sie Null sein, wenn außer der Newtonschen Schwerkraft keine andere äußere Kraft ausgeübt wird, da ohne Störung jedes Bahnelement konstant bleiben sollte.

$$\frac{d p_{pe}}{dt} = \frac{\partial r_{pe}}{\partial r} v_r + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \dot{v}_r + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \dot{v}_t = 0, \tag{4}$$

wo$\dot{v}_r$und$\dot{v}_t$sind die zeitlichen Ableitungen von$v_r$und$v_t$was mit den Vektorkomponenten der Nettobeschleunigung identisch ist.

Wenn Sie jetzt eine zusätzliche Kraft / Beschleunigung anwenden, indem Sie die Motoren in einem Winkel verbrennen$\phi$relativ zur tangentialen Richtung, wie im Bild unten dargestellt, Gleichung$(4)$wird nun nicht notwendigerweise gleich Null sein.

Die Größe der zusätzlichen Beschleunigung ist$f$. Wenn Sie diese Beschleunigung anwenden und diese Gleichung verwenden$(4)$ist die zeitliche Ableitung von Null$r_{pe}$wird,

$$\frac{d p_{pe,f}}{dt} = \frac{\partial r_{pe}}{\partial r} v_r + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \left(\dot{v}_r - f \sin\phi\right) + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \left(\dot{v}_t + f \cos\phi\right) = f \left(\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \cos\phi - \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \sin\phi\right). \tag{5}$$

Sie wollen wissen, für welchen Winkel$\phi$der Wert für die zeitliche Ableitung von$r_{pe,f}$wird der Größte. Dies kann durch Differenzieren nach erfolgen$\phi$und löse danach auf, wenn du die resultierende Gleichung gleich Null setzt.

$$\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\frac{d p_{pe,f}}{dt}\right) = f \left(-\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \sin\phi - \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \cos\phi\right) = 0, \tag{6}$$

Lösung für$\phi$Erträge,

$$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{-\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r}}{\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t}}\right). \tag{7}$$

Der einzige chaotische Teil dieser Lösung ist die Berechnung der partiellen Ableitungen von$r_{pe}$.

Wenn ich versuche, es für Ihr Beispiel zu lösen, erhalte ich einen Winkel von -3,2544 °, also sehr nahe an der tangentialen Richtung, was den Drehimpuls der Umlaufbahn verringert, aber auch nahe an der Senkrechten zur aktuellen Geschwindigkeit, weil die Radialgeschwindigkeit ist größer als die Tangentialgeschwindigkeit.