Orbitalmechanik und Raketentechnik: Ist es jemals eine gute Idee, die Periapsis absichtlich zu senken?

Question

Orbitalmechanik und Raketentechnik: Ist es jemals eine gute Idee, die Periapsis absichtlich zu senken?

Steven Lu

tl;dr: Hohmann-Transfer scheint der optimale Weg zu sein, um eine kreisförmige Umlaufbahn zu erreichen, aber ist es möglich, die Periapsis abzusenken, um eine elliptischere Umlaufbahn mit Apoapsis in der gleichen Entfernung zu erreichen, wobei weniger Delta-V verwendet wird? als ein Hohmann-Transfer?

Ich habe ein tolles Spiel namens Kerbal Space Program gespielt, das ziemlich genau die Mechanik von Raumfahrzeugen modelliert, denen Sie in einem Sonnensystem begegnen können.

Ich habe darüber gelesen, wie der Oberth-Effekt vorschreibt, dass Raketenverbrennungen viel effizienter sind, wenn die Umlaufgeschwindigkeit höher ist.

Ich möchte den Kraftstoffverbrauch minimieren, was ein edles und praktisches Unterfangen ist. Die Situation ist folgende. Um einen Planeten wurde eine stabile kreisförmige (oder nahezu kreisförmige) Umlaufbahn eingerichtet. Das Ziel ist es, zu einem Zielort in der Umlaufbahn um denselben Planeten zu reisen, der sich in einer viel größeren Umlaufbahn befindet. Da ich mich bereits auf einer kreisförmigen niedrigen Umlaufbahn befinde, ist es einfach, die Neigung an die des Zielkörpers anzupassen. Daher interessiert mich derzeit am meisten der Fall, in dem ich mich bereits auf einer nahezu kreisförmigen Umlaufbahn in derselben Ebene wie meine befinde Zielkörper.

Es ist der nächste Schritt, über den ich verwirrt bin. Ich sehe zwei Ansätze.

Löschfahrzeuge in prograder Richtung an der Periapsis, um genügend Energie zu gewinnen, um die Nähe des Zielkörpers zu erreichen.
Feuerwehrfahrzeuge in retrograder Richtung bei der Apoapsis, um die Periapsis auf den tiefstmöglichen Punkt abzusenken, bevor sie in die Atmosphäre eintreten. (Dieser Schritt macht einen Teil der Arbeit "rückgängig", die beim Eintritt in die ursprüngliche kreisförmige Umlaufbahn geleistet wurde. Wenn der Planet, den wir umkreisen, derjenige ist, von dem wir gestartet sind, ist es möglich, den Start zu winkeln, um der Neigung des Ziels zu entsprechen und diese elliptische Umlaufbahn zu erzeugen Aber nehmen wir jetzt nicht an, dass dies möglich ist.) Bei der neuen abgesenkten Periapsis ist die prograde Motorverbrennung effizienter.

Ich ignoriere die Tatsache, dass wir dadurch zu unterschiedlichen Zeiten am Ziel ankommen werden; Wenn Sie ein paar Mal zurückgehen, sollte sich schließlich eine Gelegenheit zum Erobern ergeben.

Ich glaube, was dies bedeutet, ist, dass Ansatz Nr. 2 vorzuziehen ist, wenn festgestellt werden kann, dass die gleiche Zielentfernung mit Nr. 2 erreicht werden kann, wobei weniger Gesamt-Delta-V des Triebwerks verwendet wird als mit Ansatz Nr. 1.

Ich begann damit, dass ich dachte, dass der vielleicht mathematisch einfachste Weg, dies anzugreifen, darin besteht, die Rate der orbitalen Energieänderung zu beobachten, die durch diese Verbrennungen eingeführt wird. Wie viel Delta-v ist erforderlich, um die Periapsis von einer kreisförmigen Umlaufbahn auf die Hälfte ihrer aktuellen Position abzusenken? Dies muss mit der Menge an zusätzlicher Energierate ausgeglichen werden, die durch Triebwerksverbrennung bei Periapsis gewonnen wird, aber bedeutet die Halbierung der Periapsis, dass das Delta-V hier viermal so viel Energie erzeugt, weil die Umlaufgeschwindigkeit viermal so hoch ist? Oder ist es 16 mal?

Aber dann wurde mir klar, dass eine kreisförmige Umlaufbahn mit dem Radius N viel mehr orbitale spezifische Energie hat als eine hochelliptische Umlaufbahn mit Apoapsis N. Ich bin mir nicht sicher, ob ich den Beweis verstehe, aber der Hohmann-Transfer (z. B. Ansatz Nr. 1 bildet die erste Hälfte eines Hohmann-Transfers) ist offenbar der effizienteste Weg, um eine größere Kreisbahn zu erreichen. Allerdings interessiert mich das zweite Brennen nicht. Das zweite Brennen wird dazu dienen, eine Umlaufbahn um den Zielkörper herzustellen, und das sollte hoffentlich vernachlässigbar sein. Es wäre sowieso nicht vorhersehbar.

Ich kann mich gar nicht entscheiden, ob es sich immer, manchmal oder nie lohnt, das zu tun!

Update: Ich habe ein wenig mehr darüber nachgedacht, und es ist möglich, dass ein Hohmann-Transfer mehr oder weniger notwendig ist, weil eine sehr niedrige Orbitalgeschwindigkeit bei Apoapsis für die Begegnung mit dem Zielkörper nicht förderlich ist, um eine Umlaufbahn um ihn herum zu etablieren: Die Geschwindigkeit muss a sein enge Übereinstimmung, um Gravitationseinfang zu erreichen. In diesem Fall wäre die Antwort auf meine Frage "Wahrscheinlich, aber Ihre Annahmen sind fehlerhaft". Es ist möglich, dass, wenn wir uns in einer Umlaufbahn befinden, die tatsächlich zu Ihrem Zielkörper rückläufig ist, diese Art von Angriff mit hoher Exzentrizität die Rückwärtsquerbewegung bei der Ankunft in der Apoapsis reduzieren würde, also habe ich heute etwas gelernt (darüber gestolpert). .

Die ursprüngliche Frage bleibt bestehen: Können wir unsere Umlaufbahn dazu bringen, weiter nach außen zu schwingen, indem wir die Periapsis absichtlich reduzieren?

Antworten (1)

Orbitalmechanik und Raketentechnik: Ist es jemals eine gute Idee, die Periapsis absichtlich zu senken?

Rody Oldenhuis · Answer 1

Lassen Sie uns Ihre Idee verallgemeinern und sehen, ob sie zumindest im Prinzip treibstoffeffizienter sein kann .

Nennen Sie Ihre beiden Umlaufbahnen $\mho_1$ Und $\mho_2$ . Beide haben eine große Halbachse $a_2$ Und $a_2$ und Neigungen $i_1$ Und $i_2$ bzw. Je nach Problem,

A_{1} < A_{2}

$a_1<a_2$

{ich}_{1} = {ich}_{2}

$i_1=i_2$

und alle Phasenprobleme können ignoriert werden. Auch,

R_{P 1} = R_{A 1}

$r_{p1} = r_{a1}$

R_{P 2} = R_{A 2}

$r_{p2} = r_{a2}$

dh der Apozentrumsabstand $r_a$ und Perizentrumsabstand $r_p$ sind gleich, da $\mho_1$ Und $\mho_2$ sind Kreisbahnen .

Machen wir auch Standardannahmen:

Geschwindigkeitsänderungen sind augenblicklich
Schub wird exakt parallel zur Flugrichtung gegeben

Lassen Sie uns nun die festlegen $\Delta V$ Voraussetzungen für den Hohmann-Transfer. Die Hohmann-Übertragung erfordert zwei Verbrennungen:

Eine Zündung an beliebiger Stelle, um das Raumschiff in die elliptische Hohmann-Transferbahn (HTO) mit Perizentrum in Höhe zu bringen $a_1$ und Apozentrum in der Höhe $a_2$ .
Eine Verbrennung am HTO-Apozentrum, um die Geschwindigkeit des Raumfahrzeugs mit der von abzugleichen $\mho_2$ .

Angesichts dessen

R_{P}^{H T Ö} = A_{1}

$r_p^{HTO}=a_1$

R_{A}^{H T Ö} = A_{2}

$r_a^{HTO}=a_2$

und das im Allgemeinen für jede Umlaufbahn,

A = \frac{R_{P} + R_{A}}{2}

$a = \frac{r_p+r_a}{2}$

v = \sqrt{μ (\frac{2}{R} - \frac{1}{A})}

$V = \sqrt{\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)}$

(was die vis viva- Gleichung ist), ist es einfach, dies abzuleiten

v_{P}^{H T Ö} = \sqrt{2 μ (\frac{- A_{1} + A_{2}}{A_{1} (A_{1} + A_{2})})}

$V_p^{HTO} = \sqrt{2\mu\left(\frac{-a_1+a_2}{a_1(a_1+a_2)}\right)}$

v_{A}^{H T Ö} = \sqrt{2 μ (\frac{A_{1} - A_{2}}{A_{2} (A_{1} + A_{2})})}

$V_a^{HTO} = \sqrt{2\mu\left(\frac{a_1-a_2}{a_2(a_1+a_2)}\right)}$

Zusammen mit den Kreisgeschwindigkeiten von $\mho_1$ Und $\mho_2$ ,

v_{C 1} = \sqrt{\frac{μ}{A_{1}}}

$V_{c1} = \sqrt{\frac{\mu}{a_1}}$

v_{C 2} = \sqrt{\frac{μ}{A_{2}}}

$V_{c2} = \sqrt{\frac{\mu}{a_2}}$

wir können die Größen der ableiten $\Delta V$ erforderlich:

Δ v_{1}^{H T Ö} = | v_{P}^{H T Ö} - v_{C 1} | = \sqrt{\frac{μ}{A_{1}}} (\sqrt{\frac{2 A_{2}}{A_{1} + A_{2}}} - 1)

$\Delta V_1^{HTO} = \left| V_p^{HTO}-V_{c1} \right| = \sqrt{\frac{\mu}{a_1}}\left(\sqrt{\frac{2a_2}{a_1+a_2}}-1\right)$

Δ v_{2}^{H T Ö} = | v_{A}^{H T Ö} - v_{C 2} | = \sqrt{\frac{μ}{A_{2}}} (1 - \sqrt{\frac{2 A_{1}}{A_{1} + A_{2}}})

$\Delta V_2^{HTO} = \left| V_a^{HTO}-V_{c2} \right| = \sqrt{\frac{\mu}{a_2}}\left(1-\sqrt{\frac{2a_1}{a_1+a_2}}\right)$

und natürlich,

Δ v_{H T Ö} = Δ v_{1}^{H T Ö} + Δ v_{2}^{H T Ö}

$\Delta V_{HTO} = \Delta V_1^{HTO} + \Delta V_2^{HTO}$

Jetzt führen wir die gleiche Art von Analyse für Ihre andere Idee durch. Nennen Sie Ihre Idee einen Three-Burn-Transfer (TBT). Das TBT folgt im Wesentlichen den gleichen Schritten, abgesehen von der Tatsache, dass es jetzt 3 Verbrennungen statt 2 gibt:

Eine Zündung irgendwo, um das Raumschiff in eine elliptische Transferbahn mit Perizentrum in der Höhe zu bringen $r_3 < a_1$ und Apozentrum in der Höhe $a_1$ . Die große Halbachse $a_3 = (r_3+a_1)/2$ . Nennen Sie diese Umlaufbahn $\mho_3$ .
Eine Verbrennung am Perizentrum von $\mho_3$ , um das Raumschiff in eine andere elliptische Transferbahn mit Perizentrumshöhe zu bringen $r_3$ und Apozentrumshöhe $a_2$ . Die große Halbachse ist $a_4 = (r_3+a_2)/2$ . Nennen Sie diese Umlaufbahn $\mho_4$ .
Eine Verbrennung am Apozentrum dieser Transferbahn, um die Geschwindigkeit des Raumfahrzeugs mit der von abzugleichen $\mho_2$ .

Die Analyse folgt genau den gleichen Schritten wie zuvor, um zu Folgendem zu gelangen:

\begin{matrix} Δ v_{1} & = & | v_{A}^{℧_{3}} - v_{C 1} | & = & \sqrt{\frac{μ}{A_{1}}} (1 - \sqrt{\frac{2 R_{3}}{A_{1} + R_{3}}}) \\ Δ v_{2} & = & | v_{P}^{℧_{4}} - v_{P}^{℧_{3}} | & = & \sqrt{\frac{2 μ}{R_{3}}} (\sqrt{\frac{A_{2}}{R_{3} + A_{2}}} - \sqrt{\frac{A_{1}}{R_{3} + A_{1}}}) \\ Δ v_{3} & = & | v_{A}^{℧_{4}} - v_{C 2} | & = & \sqrt{\frac{μ}{A_{2}}} (1 - \sqrt{\frac{2 R_{3}}{R_{3} + A_{2}}}) \end{matrix}

$\matrix{ \Delta V_1 &=& \left| V_a^{\mho_3}-V_{c1} \right| &=& \sqrt{\frac{\mu}{a_1}}\left(1-\sqrt{\frac{2r_3}{a_1+r_3}}\right)\\ \Delta V_2 &=& \left| V_p^{\mho_4}-V_p^{\mho_3} \right| &=& \sqrt{\frac{2\mu}{r_3}}\left(\sqrt{\frac{a_2}{r_3+a_2}}-\sqrt{\frac{a_1}{r_3+a_1}}\right)\\ \Delta V_3 &=& \left| V_a^{\mho_4}-V_{c2} \right| &=& \sqrt{\frac{\mu}{a_2}}\left(1-\sqrt{\frac{2r_3}{r_3+a_2}}\right)}$

auch wie früher,

Δ v_{T B T} = Δ v_{1} + Δ v_{2} + Δ v_{3}

$\Delta V_{TBT} = \Delta V_1 + \Delta V_2 + \Delta V_3$

Wenn Sie all dies neu anordnen, läuft Ihre Frage darauf hinaus, die folgende Ungleichung für zu lösen $r_3$ :

Δ v_{H T Ö} > Δ v_{T B T}

$\Delta V_{HTO} > \Delta V_{TBT}$

\to v_{C 1} (\sqrt{\frac{2 A_{2}}{A_{1} + A_{2}}} - 1) + v_{C 2} (1 - \sqrt{\frac{2 A_{1}}{A_{1} + A_{2}}}) > v_{C 1} (1 - \sqrt{\frac{2 R_{3}}{A_{1} + R_{3}}}) + v_{e S C, 3} (\sqrt{\frac{A_{2}}{R_{3} + A_{2}}} - \sqrt{\frac{A_{1}}{R_{3} + A_{1}}}) + v_{C 2} (1 - \sqrt{\frac{2 R_{3}}{A_{2} + R_{3}}})

$\rightarrow V_{c1}\left(\sqrt{\frac{2a_2}{a_1+a_2}}-1\right) + V_{c2}\left(1-\sqrt{\frac{2a_1}{a_1+a_2}}\right) > \\V_{c1}\left(1-\sqrt{\frac{2r_3}{a_1+r_3}}\right) + V_{\mathrm{esc},3}\left(\sqrt{\frac{a_2}{r_3+a_2}}-\sqrt{\frac{a_1}{r_3+a_1}}\right) + V_{c2}\left(1-\sqrt{\frac{2r_3}{a_2+r_3}} \right)$

Ein paar Ersetzungen für die Kürze:

v_{C 1} A + v_{C 2} B > v_{C 1} C + v_{e S C, 3} D + v_{C 2} E

$V_{c1} A + V_{c2} B > V_{c1} C + V_{\mathrm{esc},3} D + V_{c2} E$

Beachten Sie das

v_{e S C, 3} D \to v_{C 1} A

$V_{\mathrm{esc},3}D \rightarrow V_{c1}A$

E \to B

$E \rightarrow B$

C \to 0

$C \rightarrow 0$

Wenn $r_3 \rightarrow a_1$ . Das sieht man auch leicht

D \to 0

$D \rightarrow 0$

E \to 1

$E \rightarrow 1$

C \to 1

$C \rightarrow 1$

für $r_3 \rightarrow 0$ . Seit $0<A<1$ Und $0<B<1$ , das bedeutet $\Delta V_{TBT} > \Delta V_{HTO}$ .

Es ist auch leicht zu erkennen, dass der Übergang zwischen diesen beiden Extremzuständen glatt und monoton ist.

Mit anderen Worten, der Wert der rechten Seite übersteigt immer den Wert der linken Seite. Daher brennt der Dreier-Transfer mit $r_3 < a_1$ Sie vorschlagen, ist nie effizienter als der Hohmann-Transfer.

Es ist verlockend zu glauben, dass sich dieselben Gleichungen direkt auf Fälle erstrecken, in denen $r_3 > a_1$ . Wenn dies wahr wäre, würde dies zu effizienteren Transfers als Hohmann führen. Allerdings vergisst man dann, dass die absoluten Zeichen durch eine richtige Reihenfolge der Terme ersetzt wurden, die nur funktioniert, wenn der erste Term größer als der zweite ist. Diese Reihenfolge wird umgekehrt , wenn $r_3 > a_1$ , alle Zeichen umdrehen, so dass die Summe $\Delta V_{TBT}$ steigt mit zunehmendem $r_3$ . Es ist nur bei $r_3 = a_1$ dass die minimale Energie angetroffen wird, dh der Hohmann-Transfer.

Three-Burn-Transfers haben immer noch ihre Verwendung. Zum Beispiel können Multi-Burn-Transfers verwendet werden, um das kleine "Phasen" -Problem zu erleichtern, über das Sie am Anfang getreten sind :) Oder führen Sie den Transfer mit weniger Beschleunigung pro Burn durch, was für beschleunigungsempfindliche Nutzlasten nützlich ist. Oder, wie andere Berechnungen zeigen werden, ist es viel effizienter, einen Transfer mit drei (oder mehr) Verbrennungen zu verwenden, wenn die beiden Umlaufbahnen $\mho_1$ Und $\mho_2$ deutlich unterschiedliche Neigungen haben. Es kann auch von Vorteil sein, wenn die anderen Orbitalelemente unterschiedlich sind. Aber zu diesem Thema wurden ganze Bücher geschrieben, also lassen wir das für die nächste Frage :)

> "Es ist viel effizienter, einen Transfer mit drei (oder mehr) Verbrennungen zu verwenden, wenn die beiden Umlaufbahnen $\mho_1$ Und $\mho_2$ deutlich unterschiedliche Neigungen haben." Stimmt, aber allgemeiner können drei Zündungen effizienter sein, wenn die beiden Umlaufbahnen in deutlich unterschiedlichen Ebenen liegen – oder noch allgemeiner, wenn die beiden Umlaufbahnen einen deutlich unterschiedlichen Vektordrehimpuls haben.
@JimVanZandt "Unterschiedliche Neigungen" entsprechen unterschiedlichen Umlaufebenen und unterschiedlichen Drehimpulsvektoren; Dies sind alles unterschiedliche Formulierungen desselben zugrunde liegenden Konzepts.

Orbitalmechanik und Raketentechnik: Ist es jemals eine gute Idee, die Periapsis absichtlich zu senken?

Steven Lu

Antworten (1)

Rody Oldenhuis

Jim van Zandt

Rody Oldenhuis

Projektilpfad weiter weg von der Erde

Was ist das Schnellste, das ein Raumschiff mit Schwerkraftunterstützung erreichen kann?

Grundlegende Frage zur Umlaufgeschwindigkeit

Wie bringen Wissenschaftler Satelliten in die Umlaufbahn?

Der Beweis, dass das Gravitationspotential Arbeit ist, die das Objekt gegen die Schwerkraft verrichtet, während KE zunimmt und PE abnimmt

Bahnänderung mit radialem Impuls

Warum dauert es so lange, zur ISS zu gelangen?

Energieeinsparung mit Gravitationspotential lösen?

Ist das Gravitationspotential eines Planeten im Orbit immer gleich minus dem Quadrat der Geschwindigkeit?

Ein Planet mit einer quadratischen Umlaufbahn?