Wie berechnet man die Verstärkung von Bildern in der Schwartzschild-Metrik?

Question

Wie berechnet man die Verstärkung von Bildern in der Schwartzschild-Metrik?

HerrDi

Im Diskussionsteil der Arbeit "Strong field limit of black hole gravitational lensing" wurde die Verstärkung von schwachen Feldbildern in der Schwartzschild-Metrik angegeben

\frac{1}{β} \sqrt{\frac{2 D_{L S}}{D_{Ö L} D_{Ö S}}}

$\frac{1}{\beta}\sqrt{\frac{2\,D_{LS}}{D_{OL}D_{OS}}}$ Wo

β

$\beta$ ist die Winkelposition der Quelle,

D_{O L}

$D_{OL}$ ist der Abstand zwischen Linse und Beobachter,

D_{L S}

$D_{LS}$ ist der Abstand zwischen der Linse und der Projektion der Quelle auf der optischen Achse OL und

D_{O S} = D_{O L} + D_{L S}

$D_{OS} = D_{OL} +D_{LS}$

Die Autoren haben diesen Ausdruck jedoch nicht hergeleitet oder seinen Ursprung erklärt. Weiß jemand, wie man diesen Ausdruck herleitet oder weiß, woher der Autor ihn hat?

Jede Hilfe ist willkommen.

Vielen Dank im Voraus.

Blazej

Es wäre hilfreich, wenn Sie die Bedeutung der Symbole in der Formel erklären würden.

HerrDi

@Blazej, gerade gemacht.

Selene Rouley

Gute Frage - es könnte klarer sein, wenn Sie "Intensitätsänderung" anstelle von Verstärkung sagen. Ich habe mich zuerst gefragt, ob Sie nicht "Vergrößerung" gemeint haben, obwohl, wie in Javiers Antwort, die Flächenvergrößerung (Quadrat der linearen Vergrößerung) umgekehrt proportional zum Intensitätsgewinn ist.

Javier

@WetSavannaAnimalakaRodVance: „Vergrößerung“ ist in diesem Zusammenhang der Standardname. Es bezieht sich auf die Intensitätsvergrößerung, die etwas unintuitiv mit der Flächenvergrößerung identisch ist. Das bedeutet "Oberflächenhelligkeit bleibt erhalten".

Selene Rouley

@Javier Wollen Sie damit sagen, dass dies der Standardname in der GR-Optik ist? Ich verstehe, dass es durchaus als Vergrößerung angesehen werden kann, aber selbst wenn dies der Fall ist, glaube ich, dass es einem breiteren Publikum eine lineare Vergrößerung vorschlagen wird.

Javier

@WetSavannaAnimalakaRodVance: Schneiders Buch und die gesamte Literatur, die ich gelesen habe (was zugegebenermaßen nicht allzu viel ist), nennen es Vergrößerung. Ich denke nicht, dass es ein so schlechter Name ist, weil er sich wiederum auf die Intensitätsvergrößerung bezieht: wie viel heller als die Quelle das Bild aussieht.

Antworten (1)

Wie berechnet man die Verstärkung von Bildern in der Schwartzschild-Metrik?

Es wäre hilfreich, wenn Sie die Bedeutung der Symbole in der Formel erklären würden.
Gute Frage - es könnte klarer sein, wenn Sie "Intensitätsänderung" anstelle von Verstärkung sagen. Ich habe mich zuerst gefragt, ob Sie nicht "Vergrößerung" gemeint haben, obwohl, wie in Javiers Antwort, die Flächenvergrößerung (Quadrat der linearen Vergrößerung) umgekehrt proportional zum Intensitätsgewinn ist.
@WetSavannaAnimalakaRodVance: „Vergrößerung“ ist in diesem Zusammenhang der Standardname. Es bezieht sich auf die Intensitätsvergrößerung, die etwas unintuitiv mit der Flächenvergrößerung identisch ist. Das bedeutet "Oberflächenhelligkeit bleibt erhalten".
@Javier Wollen Sie damit sagen, dass dies der Standardname in der GR-Optik ist? Ich verstehe, dass es durchaus als Vergrößerung angesehen werden kann, aber selbst wenn dies der Fall ist, glaube ich, dass es einem breiteren Publikum eine lineare Vergrößerung vorschlagen wird.
@WetSavannaAnimalakaRodVance: Schneiders Buch und die gesamte Literatur, die ich gelesen habe (was zugegebenermaßen nicht allzu viel ist), nennen es Vergrößerung. Ich denke nicht, dass es ein so schlechter Name ist, weil er sich wiederum auf die Intensitätsvergrößerung bezieht: wie viel heller als die Quelle das Bild aussieht.

Javier · Answer 1

Dies wird zum Beispiel in Schneider, Ehlers und Falco's Gravitational Lenses oder jeder anderen Standardquelle erklärt. Ich werde die Ergebnisse skizzieren.

Der erste wichtige Punkt ist, dass der Gravitationslinseneffekt die Oberflächenhelligkeit bewahrt. Das bedeutet, dass die Linse die Lichtstrahlen ablenkt, aber ihre Energie nicht ändert, da die Schwerkraft kein Emitter oder Absorber ist und diese statische Situation die Frequenz der Photonen nicht beeinflusst (für weit entfernte Quellen muss die kosmologische Rotverschiebung berücksichtigt werden). Wenn also ein Bündel von Lichtstrahlen die Quelle verlässt und ein Raumwinkelelement einnimmt $d\Omega_S$ und treffen in einem Raumwinkel auf den Betrachter $d\Omega_O$ , die Vergrößerung ist einfach das Verhältnis der Flächen:

μ = \frac{D Ω_{Ö}}{D Ω_{S}} = | \frac{Sünde θ D θ}{Sünde β D β} | \approx | \frac{θ D θ}{β D β} | = {| \frac{β D β}{θ D θ} |}^{- 1}

$\mu = \frac{d\Omega_O}{d\Omega_S} = \left|\frac{\sin \theta\ d\theta}{\sin \beta\ d\beta}\right| \approx \left|\frac{\theta\ d\theta}{\beta\ d\beta}\right| = \left| \frac{\beta\ d\beta}{\theta\ d\theta}\right| ^{-1}$

Jetzt brauchen wir die Linsengleichung für schwache Felder $\beta = \theta - \frac{d_{LS}}{d_{OS}}\alpha$ (Alle Mengen sind wie in Ihrem Diagramm). Die berühmte Einstein-Berechnung des Ablenkwinkels $\alpha$ gibt das $\alpha=4M/r_0$ , Wo $r_0$ ist entweder der Aufprallparameter oder der kleinste Annäherungsabstand, da sie innerhalb dieser Näherung gleich sind. Wir haben auch $r_0 = D_{OL}\theta$ . Wir können dies in die Linsengleichung einsetzen und auflösen $\theta(\beta)$ .

An dieser Stelle bietet es sich an, den Einstein-Radius einzuführen $\theta_E = \sqrt{\frac{4MD_{LS}}{D_{OS}D_{OL}}}$ . Die Linsengleichung hat zwei Lösungen $\theta = \frac12(\beta \pm \sqrt{\beta^2+4\theta_E^2})$ , entsprechend den beiden Bildern. Jetzt geht es darum, Ableitungen zu nehmen und etwas Algebra zu machen, um die Vergrößerungen zu berechnen:

μ = \frac{1}{4} (\frac{β}{\sqrt{β^{2} + 4 θ_{E}^{2}}} + \frac{\sqrt{β^{2} + 4 θ_{E}^{2}}}{β} \pm 2)

$\mu = \frac14 \left(\frac{\beta}{\sqrt{\beta^2+4\theta_E^2}} + \frac{\sqrt{\beta^2+4\theta_E^2}}{\beta} \pm 2\right)$

Dies weicht ab, wenn $\beta \to 0$ (das ist die schwache Linsengrenze), und in diesem Bereich nähern sich beide Vergrößerungen an $\theta_E/2\beta$ . Wenn wir beide zusammenzählen, erhalten wir die Gesamtvergrößerung $\mu = \theta_E/\beta$ ; Einstellen des Schwarzschild-Radius $2M$ gleich $1$ , wir bekommen Ihren Ausdruck.

Wie berechnet man die Verstärkung von Bildern in der Schwartzschild-Metrik?

HerrDi

Blazej

HerrDi

Selene Rouley

Javier

Selene Rouley

Javier

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Javier

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