Wie berechnet man die vollständige wahre Anomaliebewegung in einer elliptischen Umlaufbahn?

Soweit ich weiß, ist die wahre Anomaliebewegung auf einer elliptischen Umlaufbahn nicht konstant. Die Änderungsrate der wahren Anomalie ist nicht konstant wie im Fall kreisförmiger Umlaufbahnen, in diesem Fall ist die wahre Anomalie gleich der mittleren Anomalie, und die Rate der wahren Anomalie kann als Winkelgeschwindigkeit in der Umlaufbahn genommen werden, und die Rate der Rate echter Anomalien kann als Null angenommen werden. Für elliptische Umlaufbahnen sollte es jedoch eine nicht konstante Rate echter Anomalien und eine gewisse Rate echter Anomalien geben. Gibt es eine Ableitung für die Formel, auf die ich mich beziehen kann, um die Bewegung klarer zu verstehen? Ich habe die Position und Geschwindigkeit als kartesische Zustandsvektoren im Orbit im ECI-Koordinatensystem.

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Beginnen Sie mit der Beziehung zwischen echter und exzentrischer Anomalie bräunen ⁡ θ 2 = 1 + e 1 − e bräunen ⁡ E 2 , zeitlich differenzieren und aufräumen. Sie sollten einen ziemlich einfachen Ausdruck zum Ausdruck bringen θ ˙ als Funktion von E ˙ , e , Und cos ⁡ θ . Als nächstes, aus Keplers Gesetz, M = E − e − S ich N E , sollten Sie einen ziemlich einfachen Ausdruck erhalten E ˙ als Funktion von M , e , Und cos ⁡ E . Kombinieren Sie als Nächstes alles mithilfe der Beziehung cos ⁡ E = e + cos ⁡ θ 1 + e cos ⁡ θ . Sie sollten einen ziemlich einfachen Ausdruck für erhalten θ ˙ .
@DavidHammen. Ich habe vergessen zu erwähnen, dass ich die kartesischen Zustandsvektoren der Umlaufbahn habe. Ich weiß, wie man in Kepler-Elemente konvertiert, und Ihre Antwort war hilfreich. Bitte sagen Sie mir auch, wie ich die momentane Winkelbeschleunigung erhalten soll. Soll ich eine Ableitungsnäherung erster Ordnung nehmen oder gibt es eine analytische Lösung?

Antworten (1)

Die Änderungsrate der wahren Anomalie F Ist

D F D T = F ˙ = H R 2 ,

Wo H = “ R → × v → “ ist die Größe des Drehimpulses und R ist nur der radiale Abstand von der Mitte des Hauptkörpers. Beachten Sie, dass dies tatsächlich Keplers zweites Gesetz der Planetenbewegung ist.

Nachweisen:

Uns geht es nur um Bewegung in der Orbitalebene, also um zweidimensionale Bewegung. Die Positions- und Geschwindigkeitsvektoren in der Bahnebene werden in rotierenden Polarkoordinaten als geschrieben

R → = R ich ^ R
v → = R ˙ ich ^ R + R D F D T ich ^ F ,

Wo ich → R ist der Einheitsradiusvektor und ich → F ist der Einheitsvektor orthogonal zu ich → R und in die gleiche Geschwindigkeitsrichtung zeigen, ich → F = ( 0 , 0 , 1 ) × ich ^ R . Die Auswertung des Drehimpulsvektors ergibt

H → = R → × v → = R ich ^ R × ( R ˙ ich ^ R + R D F D T ich ^ F ) = R 2 D F D T ich ^ H ,
Wo ich ^ H = ( 0 , 0 , 1 ) . ◼

Winkelbeschleunigung

Wenn Sie die Änderungsrate der Änderungsrate der wahren Anomalie, dh der Winkelbeschleunigung, differenzieren möchten, erhalten Sie die erste Gleichung (unter der Annahme einer Keplerschen Bewegung)

D 2 F D T 2 = − 2 H R 3 D R D T = − 2 H R 3 ich ^ R ⋅ v → .

Alle diese Ableitungen sind in den Kapiteln 2 und 3 von RH Battin, „An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics“, 1999, enthalten.

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