Wie berechnete Halley die Entfernung zur Sonne, indem er den Transit der Venus maß?

Die Methode von Halley erfordert, dass man den Zeitpunkt des Beginns des Transits und des Endes des Transits misst; beide Daten müssen an zwei Orten der Erdkugel gemessen werden, deren Lage bekannt sein muss.

Das Bild von Vermeer, Duckysmokton, Ilia zeigt, dass die beiden Orte auf der Erde unterschiedliche Standorte in zwei verschiedenen Richtungen haben (die Unterschiede in der Entfernung von Sonne und Venus sind zu gering, um messbar zu sein): einer von ihnen ist parallel zur Richtung von der Transit der Venus und wird sich in der Gesamtverschiebung des Timings widerspiegeln; die andere Komponente ist quer dazu und verschiebt tatsächlich die Linie, entlang der sich die Venus bewegt und die Sonne in Aufwärts-/Abwärtsrichtung kreuzt, dh sie verlängert die Dauer des Transits.

Jede dieser Daten – Gesamtverschiebung des Timings, die sich aus der Differenz einer Koordinate zwischen den beiden terrestrischen Orten ergibt – und die Differenz zwischen der Länge des Transits – aufgrund der anderen Koordinate – reichen im Prinzip aus, um die Sonnenparallaxe zu bestimmen. Da die Synchronisation von Uhren an sehr unterschiedlichen Orten vor Jahrhunderten schwierig war, nehme ich an, dass letzteres – der Unterschied zwischen$\Delta t_1$und$\Delta t_2$– war wahrscheinlich historisch nützlicher. Aber wir sprechen hier von O(10) Minuten Unterschieden in beiden Größen.

Die Berechnung der Parallaxe aus$\Delta t_1$und$\Delta t_2$und ihr Unterschied ist eine einfache geometrische Übung, aber ich möchte hier trigonometrische Funktionen vermeiden.

Auf jeden Fall hat Halley keine richtige Messung erlebt (der Transit findet etwa zweimal im Jahrhundert statt und die beiden Ereignisse werden mit einer Pause von 8 Jahren zusammengeballt). Das Beste, was er bekommen konnte, waren 45 Winkelsekunden für die Parallaxe; die richtige Antwort ist etwa 8,8 Sekunden. Er wusste, dass sein Ergebnis sehr ungenau war. Beachten Sie, dass die Sonnenparallaxe der Winkel ist, in dem der Erdradius von der Sonne aus gesehen wird, dh der Unterschied in den Strahlen, die benötigt werden, um die Sonne vom Erdmittelpunkt und/oder einem Punkt auf der Oberfläche der Erdscheibe aus zu beobachten.

Wenn Sie 8,8 Winkelsekunden in Radianten umwandeln, dh mit multiplizieren$1/3,600\times \pi/180$, du erhältst$4.3\times 10^{-5}$. Teilen Sie nun 6378 km durch diese kleine Zahl, um etwa 150 Millionen km für die AU zu erhalten.

Einige Größenordnungsschätzungen für die Zahlen. Die Venus umkreist bei 0,7 AE, ist also während des Transits näher an der Erde als an der Sonne. Das bedeutet, dass eine Verschiebung um 6.000 km nach oben/unten auf der Erdseite etwa 12.000 km nach oben/unten auf der Sonnenseite entspricht. Die beiden horizontalen Linien, die die Sonne auf dem Bild kreuzen (Orte auf der Sonnenoberfläche, auf die die Venus "projiziert" wird), können also etwa 12.000 km voneinander entfernt sein. Vergleichen Sie es mit dem Sonnenradius in der Nähe von 700.000 km: Sie können sehen, dass wir die horizontalen Linien um etwa 1 % des Sonnenradius und den relativen Unterschied zwischen verschieben$\Delta t_1$und$\Delta t_2$wird ebenfalls mit 1% vergleichbar sein. Der letzte Transit im Jahr 2004 dauerte etwa 6 Stunden, so dass der Unterschied in der Dauer an verschiedenen Orten in der Größenordnung von 10 Minuten liegt.

Der Venustransit 2012 am Dienstagabend UTC wird ebenfalls über 6 Stunden dauern; Auch der Zeitpunkt und die Dauer unterscheiden sich je nach Standort um etwa 7 Minuten.

Wenn Sie davon geträumt haben, den Transit der Venus zu beobachten, vergessen Sie nicht Dienstag 22:49 Uhr UTC; Die folgenden Transite finden in den Jahren 2117 und 2125 statt. Es gibt auch eine Blog-Version dieser Antwort.

Dieser Beitrag beschreibt die Schritte einer grundlegenden Bestimmung der Sonnenparallaxe aus einem Venustransit. Referenzen sind:

1) Blatter, "Venustransit 2004" (pdf) , das eine schöne Herleitung hat

2) Der Venustransit von 2004 , der anhand eines einfachen hypothetischen Beispiels funktioniert, das aus den Transitdaten von 2004 konstruiert wurde.

Durchgehend werden Winkel je nach Bedarf in Bogenmaß, Grad, Bogenminuten und Bogensekunden gemessen:

• 1 Grad =$\pi$/180=0,0175 Bogenmaß = 60 Bogenminuten = 3.600 Bogensekunden.

Die Schritte (AH):

A) Beobachtungen des Transits werden von weit voneinander entfernten Positionen auf der Erde gemacht. Referenz 2 erstellt einen einfachen Fall mit Kairo (Breite 30N, Länge 32E) und Durban (Breite 30S, Länge 31E), die eine Nord-Süd-Basislinie bilden$0.917 R_E$, wo$R_E$beträgt der Erdradius 6.371 km.

(Disclaimer: Achtung! Nicht ohne Schutz zu Hause ausprobieren! Der direkte Blick in die Sonne schadet den Augen dauerhaft!)

B) Bestimmen Sie aus den Transitdaten den Winkelabstand der beiden (fast überlappenden) Transitspuren (Sehnen auf der Sonnenscheibe). Es gibt verschiedene Methoden, die alle entscheidend von den Transitdauern abhängen. Referenz 1 verwendet rechtwinklige Dreieckskonstruktionen, während Referenz 2 den enthaltenen Halbwinkel verwendet$\theta$des Akkords:

Aus dieser Geometrie berechnet Reference 2 den Spurabstand$\Delta \beta$(Sie nennen es$D$, aber ich folge der Notation von Referenz 1).

wo:

• $\Delta \beta$ist die Winkelspurtrennung in denselben Einheiten wie$R-r$

• $R$ist der halbe Winkeldurchmesser der Sonne (31,5/2 = 15,75 Bogenminuten),

• $r$ist der halbe Winkeldurchmesser der Venus (1/2=0,5 Bogenminuten),

• $\theta = 46.62$Abschlüsse für den Transit 2004,

• die durchschnittliche Transportdauer$T=19790.5$s (5,5 Stunden) und

• $\Delta T$beträgt die Differenz der Laufzeiten zwischen den beiden Standorten, 529 s, also knapp 9 Minuten.

Mit diesen Parametern ist die Spurtrennung$\Delta \beta = 0.314$Bogenminuten (etwa 1/3 des scheinbaren Durchmessers der Venus) oder 18,81 Bogensekunden.

C) Diese Spurtrennung$\Delta \beta$ist nicht die Sonnenparallaxe$\alpha_s$, stattdessen ist es die Differenz der venusianischen Parallaxe$\alpha_v$und$\alpha_s$. Die Geometrie ist in der wunderbaren Abbildung 3.2 von Referenz 1 dargestellt:

Aus dieser Geometrie:

• Für Dreieck ABV:$\alpha_v+(\epsilon_B+\beta_B)+(\epsilon_A-\beta_A)=180$Grad (bzw$\pi$Radiant)

• Für Dreieck ABO:$\alpha_s+\epsilon_B+\epsilon_A=180$

• Substituieren, findet man$\alpha_v-\alpha_s=\beta_A-\beta_B=\Delta \beta$

D) Die Parallaxen der Sonne und der Venus hängen durch ihre relativen Entfernungen von der Erde zusammen:

wo

• Die beiden Parallaxen$\alpha_s$und$\alpha_v$sind jetzt in Radiant

• $b$ist die Basislinie, die durch die Durchgangsmessungen bei A und B (Kairo und Duran im Beispiel von Referenz 2) festgelegt wurde, mit dem Ergebnis$b=0.917 R_E = 5,843$Kilometer).

• $d_{es}$,$d_{ev}$, und$d_{vs}$sind die (unbekannten) Entfernungen von Erde zu Sonne, Erde zu Venus bzw. Venus zu Sonne.

Substituierend bekommt man$\alpha_s=(d_{es}/d_{vs}-1) \Delta \beta$(wo jetzt$\alpha_s$ist in welchen Einheiten$\Delta \beta$ist)

E) Keplers drittes Gesetz (Quadrate der Umlaufzeiten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen), ermöglicht uns die Bestimmung$d_{vs}$bezüglich$d_{es}$. Da die Umlaufzeit der Venus 0,616 Jahre beträgt,$d_{vs}/d_{es}=0.616^{2/3}=0.724$AU (Astronomische Einheiten, 1 AU = die große Halbachse der Erde oder nominal$d_{es}$).

F) Abschließend Einsetzen in die Gleichung für$\alpha_s$in Schritt D) gibt$\alpha_s=$(1,015/0,724-1)(18,81)=7,56 Bogensekunden. (Laut Referenz 2 betrug die Entfernung der Erde von der Sonne zum Zeitpunkt des Transits 2004 1,015 AE.)

G) Die Standard-Sonnenparallaxe$p_s$wird auf eine Basislinie von 1 Erdradius bezogen, im Vergleich zu der Basislinie von 0,917 Erdradius, die in der hypothetischen Messung von Referenz 2 verwendet wurde. Skalierung, findet man$p_s=\alpha_s$/0,917=8,37 Bogensekunden.

Der akzeptierte Wert der Sonnenparallaxe beträgt 8,79 Bogensekunden, sodass der Fehler des Beispiels etwa 5 % beträgt.

H) Konvertieren der berechneten Sonnenparallaxe in Radiant, 8,37 Bogensekunden -> 40,58 Mikroradiant, berechnet man$d_{es} =$1 AU = 6.371/40,58E-6 = 157,0 Millionen km, ebenfalls ein Fehler von 5 % gegenüber dem akzeptierten Wert von 149,5 Millionen Kilometern.