Wie erklärt die Superstring-Theorie das inverse quadratische Gravitationsgesetz, da es 9 räumliche Dimensionen erfordert?

Question

Wie erklärt die Superstring-Theorie das inverse quadratische Gravitationsgesetz, da es 9 räumliche Dimensionen erfordert?

Schwere
Physik
Gauß-Gesetz
Stringtheorie
Verdichtung
Raumzeit-Dimensionen

Graviton

In der Superstringtheorie ist die Raumzeitdimension entweder 10, eine davon ist Zeit, der Rest sind räumliche Dimensionen.

Aber basierend auf geometrischen Argumenten können wir das sagen $F\propto r^{1-D}$ , Wo $D$ ist die Raumdimension . Das bedeutet also, wenn räumliche Dimensionen mehr als sind $10$ Nach der Stringtheorie zerfällt dann die Schwerkraft als $F\propto r^{-9}$ oder mehr.

Ich habe hier die Beschreibung gelesen, wie Superstring damit umgeht :

String- und Superstring-Theorie (eigentlich M-Theorie, siehe http://en.wikipedia.org/wiki/M-theory und http://en.wikipedia.org/wiki/String_theory#Extra_dimensions ) erfordern mindestens 9 räumliche Dimensionen. Wenn das oder einige davon große Dimensionen sind, könnte die Schwäche der Schwerkraft erklärt werden, und wenn wir dann immer kleinere Entfernungen betrachten, ist die Schwerkraft (relativ) stärker. Das ist auch ein Grund dafür, dass versucht wird, die Stärke der Schwerkraft in immer kleineren Entfernungen zu messen – um zu sehen, ob es nicht so läuft $1/r^2$ . Wie ich oben sagte, war es bis jetzt nur auf etwa 1 Millimeter heruntergegangen, und es wurde nichts Seltsames gefunden.

Die Stringtheorie besagt meistens (weil angenommen wurde, dass sich die Strings, die die Schwerkraft verursachen, in alle Dimensionen ausdehnen können, während normale Kräfte wie nukleare und elektromagnetische Strings gezwungen sind, sich in unserer 3D-Brane zu bewegen), dass sich die Schwerkraft in den 10 räumlichen Dimensionen ausbreitet. Die Stringtheorie ging auch davon aus, dass die anderen Dimensionen klein und mikroskopisch klein sind und wir sie nicht sehen können. Dann müssen Sie berechnen, wie stark es die Schwerkraft verdünnt. Aber einige Entwicklungen der Stringtheorie nehmen 1 oder mehr große zusätzliche Dimensionen an, und dann wird es verdünnt (und wird im viel kleineren Bereich relativ stärker).

Meine Frage ist, wie kann das überhaupt möglich sein, dass die Schwerkraft so variiert $F\propto r^{-8}$ in geringem Abstand, aber $F\propto r^{-2}$ auf große Distanz? Es muss einen Punkt geben, an dem sich diese beiden treffen, und an diesen Punkten sind die Werte der Gravitationskräfte nicht eindeutig (und nicht kontinuierlich). Wie kann das sein? Wie erklärt die Stringtheorie (oder andere Theorien) dies?

John Rennie

Wenn der Übergang zu

r^{- 9}

$r^{-9}$ Verhalten tritt bei der Saitenskala auf Die Schwerkraft wird wahrscheinlich sowieso nicht gut durch eine klassische Theorie beschrieben. Wenn es in größerem Maßstab geschieht, wird es eine sanfte und kontinuierliche Veränderung in der geben

r

$r$ Abhängigkeit. Wie auch immer, ich bin mir nicht sicher, ob ich sehe, warum es ein Problem gibt.

Graviton

@JohnRennie, ich habe nicht gesagt, dass es ein Problem sein muss, aber ich bin gespannt, wie man darauf antworten kann.

ACuriousMind

Wählen Sie eine geeignete Verdichtung mit kleinen Zusatzabmessungen, gehen Sie zur effektiven 4D-Theorie, und schon haben Sie Ihr inverses Quadratgesetz.

Graviton

@ACuriousMind, möchten Sie Ihren Kommentar zu einer vollwertigen Antwort erweitern?

ACuriousMind

Das mache ich, wenn ich nicht mobil bin.

Antworten (4)

Wie erklärt die Superstring-Theorie das inverse quadratische Gravitationsgesetz, da es 9 räumliche Dimensionen erfordert?

Wenn der Übergang zu $r^{-9}$ Verhalten tritt bei der Saitenskala auf Die Schwerkraft wird wahrscheinlich sowieso nicht gut durch eine klassische Theorie beschrieben. Wenn es in größerem Maßstab geschieht, wird es eine sanfte und kontinuierliche Veränderung in der geben $r$ Abhängigkeit. Wie auch immer, ich bin mir nicht sicher, ob ich sehe, warum es ein Problem gibt.
@JohnRennie, ich habe nicht gesagt, dass es ein Problem sein muss, aber ich bin gespannt, wie man darauf antworten kann.
Wählen Sie eine geeignete Verdichtung mit kleinen Zusatzabmessungen, gehen Sie zur effektiven 4D-Theorie, und schon haben Sie Ihr inverses Quadratgesetz.
@ACuriousMind, möchten Sie Ihren Kommentar zu einer vollwertigen Antwort erweitern?

Sergej Patjakin · Answer 1

Stellen Sie sich eine Mannigfaltigkeit mit 3 makroskopischen räumlichen Dimensionen und 6 zusätzlichen räumlichen Dimensionen vor, die auf einer Längenskala zusammengerollt sind $l$ . Versuchen wir, das Gesetz von Gauß auf eine geschlossene Hyperfläche räumlicher Größe anzuwenden $r$ um eine Punktmasse, wo $r<<l$ .

Dann sieht das Innere der Gaußschen Hyperfläche wie ein 10-dimensionaler euklidischer Raum aus, also ist die „Fläche“ der Hyperfläche proportional zu $r^{9}$ .

Aufgrund der Symmetrie ist das Feld isotrop (in allen Richtungen gleich). Sicher, es gibt makroskopische Raumrichtungen und Aufrollrichtungen, aber die Aufrollskala $l$ ist viel größer als unsere Hyperfläche, also sollte diese Unterscheidung keine Rolle spielen. Nun sagt uns das Gesetz von Gauß, dass der Gesamtfluss nicht von r abhängt, also schlussfolgern wir, dass die Feldstärke proportional ist $r^{-9}$ .

Beachten Sie, dass wir zwei Annäherungen gemacht haben. Hast du sie entdeckt?

Die Fläche der Hyperfläche ist proportional zu $r^{9}$ .
Das Symmetrie/Isotropie-Argument, das behauptet, dass es keinen Unterschied zwischen einer Verschiebung gibt $r$ entlang der makroskopischen Richtung und einer Verschiebung $r$ in die zusammengerollte Richtung

Diese Annäherungen sind gut für $r << l$ . Aber $r$ steigt, werden sie zunehmend ungenauer. Beide Näherungen brechen zusammen, wenn $r \sim l$ . So unser Ergebnis $F \propto r^{-9}$ ist nur eine Annäherung gültig bei $r << l$ . Durch ein ähnliches Argument, die Beziehung $F \propto r^{-2}$ ist nur eine Annäherung gültig für $r >> l$ .

Der Kern Ihrer Frage ist, was wann passiert $r \sim l$ . Nun, für diese Entfernungen wäre keines der beiden Potenzgesetze genau. Wir würden einen allmählichen Übergang zwischen den beiden sehen.

QMechaniker · Answer 2

Die Frage von OP spornt mindestens zwei weitere verwandte Fragen an (die wir nicht ansprechen werden):

Wie entsteht GR aus der Stringtheorie ? Siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag und die darin enthaltenen Links.
Wie entstehen aus GR das Newtonsche Gravitationsgesetz und das Gaußsche Gravitationsgesetz? Siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag und die darin enthaltenen Links.

In dieser Antwort werden wir nur erwähnen, dass nach der konventionellen Superstring-Theorie der 9 + 1-dimensionale Zielraum $M^{10}=M^4\times K^6$ ist vermutlich ein Produkt von

eine 3+1 dimensionale makroskopische Raumzeit $M^4$ , Und
ein 6-dimensionaler kompakter Raum $K^6$ Größe zu klein, um derzeit erkannt zu werden,

vgl. obiger Kommentar von ACuriousMind.

Das Argument des Gaußschen Gesetzes aus der vorherigen Phys.SE-Frage von OP gilt weiterhin:

Wenn die Gaußsche Fläche größer als der Verdichtungsmaßstab ist, schneidet sie nur die großen Raumdimensionen, und wir erhalten das Bekannte $1/r^2$ Gravitationskraftgesetz von Newton .
Bei Skalen kleiner als die Verdichtungsskala kann die Schwerkraft in mehrere Richtungen austreten und die Gravitationskraft bekommt eine andere $r$ -Abhängigkeit.

Michael Seifert · Answer 3

Die bereits gegebenen Antworten leisten hervorragende Arbeit, um qualitativ zu erklären, wie wir vorgehen können $r^{-2}$ Abhängigkeit zu $r^{-(D-1)}$ Abhängigkeit in a $D$ -dimensionaler Raum. Aber ich dachte mir, ich würde auch ein quantitatives Argument einbringen, um zu zeigen, wie der Übergang im Detail für ein "einfaches" Beispiel funktioniert.

Schauen wir uns zunächst an, wie wir das Gravitationspotential erwarten würden $\Phi$ sich zu verhalten, wenn es vier räumliche Dimensionen gäbe. Wenn es immer noch einer Version des Gaußschen Gesetzes gehorcht, würden wir hoffen, dass es einer Version der Poisson-Gleichung gehorcht, genau wie in 3D:

\nabla^{2} Φ = G_{4} ρ .

$\nabla^2 \Phi = G_4 \rho.$ (Die Konstante

G_{4}

$G_4$ hier ist die 4-dimensionale Version der Newtonschen Konstante; Wir werden später sehen, wie es mit der 3D-Version zusammenhängt.) Wenn wir eine Punktmasse haben

m

$m$ am Ursprung in 4 räumlichen Dimensionen sitzend, ist dies mit dem Gaußschen Gesetz leicht zu lösen; und die Antwort stellt sich heraus

Φ = - \frac{G_{4} M}{4 π^{2} R^{2}} = - \frac{G_{4} M}{4 π^{2}} \frac{1}{X^{2} + j^{2} + z^{2} + w^{2}} .

$\Phi = - \frac{G_4 m}{4 \pi^2 r^2} =-\frac{G_4 m}{4 \pi^2} \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2 + w^2}.$ (Wenn Sie dies beweisen wollen, müssen Sie wissen, dass die Oberfläche einer Hypersphäre mit Radius

r

$r$ in 4-D ist

2 π^{2} r^{3}

$2 \pi^2 r^3$ .)

Wie ändert sich das, wenn wir eine Dimension „verdichten“? Stellen wir uns vor, wir befinden uns in einem 4-D-Raum mit Koordinaten $w, x, y, z$ ; und das $w$ Koordinate wird aufgerollt, so dass, wenn wir eine Strecke gehen $d$ im $w$ -Richtung kommen wir wieder an unseren Ausgangspunkt zurück. Das heißt, wenn am "Ursprung" eine Masse wäre $(w,x,y,z) = (0,0,0,0)$ , diese Masse konnten wir an der Stelle auch "sehen". $(w,x,y,z) = (d,0,0,0)$ , oder $(w,x,y,z) = (2d,0,0,0)$ , oder $(w,x,y,z) = (-d,0,0,0)$ , oder tatsächlich an irgendeiner Stelle des Formulars $(w,x,y,z) = (nd,0,0,0)$ für alle $n \in \mathbb{Z}$ . Das gesamte Gravitationspotential von all diesen Punktquellen wäre daher

Φ = - \frac{G_{4} M}{4 π^{2}} \sum_{N = - \infty}^{\infty} \frac{1}{X^{2} + j^{2} + z^{2} + (w - N D)^{2}} = - \frac{G_{4} M}{4 π^{2}} \sum_{N = - \infty}^{\infty} \frac{1}{R_{3}^{2} + (w - N D)^{2}},

$\Phi = - \frac{G_4 m}{4 \pi^2} \sum_{n = -\infty}^\infty \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2 + (w - nd)^2} = - \frac{G_4 m}{4 \pi^2} \sum_{n = -\infty}^\infty \frac{1}{r_3^2 + (w - nd)^2},$ Wo

r_{3} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

$r_3 = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ ist der Abstand zum Ursprung in den "nicht gerollten" Abmessungen.

Dies scheint uns nicht viel geholfen zu haben, aber es stellt sich heraus, dass dieser Ausdruck genau zusammengefasst werden kann und gleich ist

Φ (X, j, z, w) = - \frac{G_{4} M}{4 π D R_{3}} \frac{Sünde \frac{2 π R_{3}}{D}}{cosch \frac{2 π R_{3}}{D} - \cos \frac{2 π w}{D}} .

$\Phi(x,y,z,w) = - \frac{G_4 m}{4 \pi d r_3} \frac{ \sinh \frac{2\pi r_3}{d} }{\cosh \frac{2\pi r_3}{d} - \cos \frac{2\pi w}{d} }.$ Wir können uns dann die Grenzen anschauen, wann

r_{3}

$r_3$ ist viel größer als oder viel kleiner als

d

$d$ . Im Fall von

r_{3} ≫ d

$r_3 \gg d$ , wir haben

\cosh (2 π r_{3} / d) ≫ 1

$\cosh (2 \pi r_3/d) \gg 1$ , und so wird der Nenner vom hyperbolischen Kosinusterm dominiert. Dies vereinfacht sich dann zu

Φ (X, j, z, w) \approx - \frac{G_{4} M}{4 π D R_{3}} Tanh (\frac{2 π R_{3}}{D}) \approx - \frac{G_{4} M}{4 π D} \frac{1}{R_{3}}

$\Phi(x,y,z,w) \approx - \frac{G_4 m}{4 \pi d r_3} \tanh \left(\frac{2\pi r_3}{d} \right) \approx - \frac{G_4 m}{4 \pi d}\frac{1}{ r_3}$ seit

\tanh x \to 1

$\tanh x \to 1$ als

x \to \infty

$x \to \infty$ . Wenn wir also Entfernungen betrachten, die viel größer als der Maßstab sind

d

$d$ der "aufgerollten" Dimension landen wir beim Vertrauten

1 / r

$1/r$ Abhängigkeit für das Gravitationspotential. Die 4-D-Gravitationskonstante

G_{4}

$G_4$ kann gesehen werden, um mit der 3-D Gravitationskonstante verwandt zu sein

G_{3}

$G_3$ von

G_{3} = \frac{G_{4}}{4 π D} .

$G_3 = \frac{G_4}{4 \pi d}.$

Auf der anderen Seite, wenn wir uns Entfernungen ansehen, wo $r_3 \ll d$ Und $w \ll d$ (dh der Abstand zur Masse ist viel kleiner als der Maßstab der aufgerollten Dimension), dann haben wir $\sinh (2 \pi r_3/d) \approx 2 \pi r_3/d$ , $\cosh (2 \pi r_3/d) \approx 1 + \frac{1}{2} (2 \pi r_3/d)^2$ Und $\cos (2 \pi w/d) \approx 1 - \frac{1}{2} (2 \pi w/d)^2$ . Wenn wir diese Annäherungen oben einsetzen, erhalten wir

Φ (X, j, z, w) \approx - \frac{G_{4} M}{4 π D R_{3}} \frac{2 π R_{3} / D}{\frac{1}{2} {(\frac{2 π}{D})}^{2} (R_{3}^{2} + w^{2})} = - \frac{G_{4} M}{4 π^{2}} \frac{1}{R_{3}^{2} + w^{2}} .

$\Phi(x,y,z,w) \approx - \frac{G_4 m}{4 \pi d r_3} \frac{ 2 \pi r_3/d }{\frac{1}{2} \left( \frac{2 \pi}{d} \right)^2( r_3^2 + w^2) } = - \frac{G_4 m}{4 \pi^2} \frac{1}{r_3^2 + w^2}.$ Wir sehen also, dass wir, wenn wir Skalen viel näher als die Größe der aufgerollten Dimension betrachten, die wiederfinden

1 / r^{2}

$1/r^2$ Abhängigkeit von

Φ

$\Phi$ die wir in vier "ausgerollten" Dimensionen erwarten würden.

Wenn Sie neugierig sind, sehen Sie hier, wie das Potenzial in Abhängigkeit von aussieht $r_3$ Und $w$ , mit $d = 1$ :

Beachten Sie, dass die Punkte $w = -1/2$ Und $w = 1/2$ sind derselbe Punkt im Raum. Wir können auch ein Log-Log-Diagramm erstellen $|\Phi(r_3,0)|$ um zu untersuchen, wie sich das Potential auf kurze und lange Distanzen verhält:

Es ist ziemlich deutlich zu sehen, dass die Steigung dieses Graphen abgeht $-2$ Wenn $r_3 \ll d = 1$ (entsprechend einer $r^{-2}$ Potenzgesetz) zu einer Steigung von $-1$ Wenn $r_3 \gg d = 1$ (entsprechend einer $r^{-1}$ Kraftgesetz.)

Deschele Schilder · Answer 4

Angesichts der Kleinheit der zusätzlichen Dimensionen reicht die Gravitation nicht weit durch diese Dimensionen, um das Newtonsche Gesetz auf beobachtbaren Skalen davon abhängig zu machen $\frac 1 {r^8}$ . Die Stringtheorie vermutet jedoch eine "große" zusätzliche Dimension (in der Größenordnung von 1 (mm)), durch die sich die Schwerkraft bewegen kann, die drei Grundkräfte jedoch nicht. Das bedeutet, dass Newtons Gravitationsgesetz proportional zu ist $\frac 1 {r^3}$ und die Gravitation (unterhalb einer Entfernung in der Größenordnung von 1 (mm)) wird größer (je kleiner $r$ ) als in der $\frac1 {r^2}$ Abhängigkeit . Aber Messungen der Schwerkraft in sehr kleinen Entfernungen haben dies nicht gezeigt $\frac 1 {r^3}$ Verhalten und auch Mini-Schwarze Löcher (die Planck-Länge wird durch diesen Mechanismus reduziert) wurden in Kollisionsexperimenten nicht beobachtet.

Wie erklärt die Superstring-Theorie das inverse quadratische Gravitationsgesetz, da es 9 räumliche Dimensionen erfordert?

Graviton

John Rennie

Graviton

ACuriousMind

Graviton

ACuriousMind

Antworten (4)

Sergej Patjakin

QMechaniker

Michael Seifert

Deschele Schilder

Gravitationskonstante in höheren Dimensionen?

Warum (relativ nichttechnisch ausgedrückt) werden Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten für kompakte Dimensionen in der Stringtheorie bevorzugt?

Wie kann man sich höhere Dimensionen vorstellen?

Warum sind zusätzliche Abmessungen erforderlich?

Warum ist die Verdichtung auf Toroide, Calabi-Yau et al. beschränkt?

Warum sind in der Stringtheorie die "zusätzlichen" Dimensionen superkompakt?

Wie genau werden Calabi-Yau-Verdichtungen durchgeführt?

Newtonsche Gravitationsgleichung in einer zweidimensionalen Welt [Duplikat]

Verdichtung von Dimensionen in der Stringtheorie: Warum hat unser Universum 3 große räumliche Dimensionen?

Warum tauchen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten in der Stringtheorie auf und was ist ihre nützlichste und eindrucksvollste Form? [Duplikat]