Wie funktioniert die Kleinwinkelnäherung für Kosinus?

Question

Wie funktioniert die Kleinwinkelnäherung für Kosinus?

Herr Feynmann

In der Newtonschen Mechanik Bewegungsgleichung eines einfachen Pendels:

\ddot{θ} = \frac{G}{l} Sünde θ

$\ddot{\theta}=\frac{g}{l}\sin\theta$

Und dann habe ich für kleine Winkel angenähert $\sin\theta\simeq\theta$ das ergibt die Gleichung der einfachen harmonischen Bewegung, die wir alle kennen:

\ddot{θ} = \frac{G}{l} θ

$\ddot{\theta}=\frac{g}{l}\theta$

Aus Neugier habe ich beschlossen, die Gleichung durch die Lagrange-Mechanik abzuleiten, um zu verstehen, wie die Kleinwinkelnäherung für die Lagrange funktioniert:

L = T - v = \frac{1}{2} M l^{2} {\dot{θ}}^{2} + M G l \cos θ

$L=T-V=\frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2+mgl\cos\theta$

Dann wurde mir klar, dass die kleine Winkelannäherung für den Kosinus sein musste $\cos\theta\simeq 1-\frac{\theta^2}{2}$ anstatt $\cos\theta\simeq1$ also brauchte ich die Annäherung zweiter Ordnung, um die einfache harmonische Bewegungsgleichung zu erhalten. Mit einigen grundlegenden Berechnungen fand ich heraus, dass der Fehler, den wir bei der Annäherung des Kosinus an 1 erhalten, bei kleinen Winkeln viel größer ist als der Fehler, den wir bei der Annäherung des Sinus an die erste Ordnung erhalten, und sie sind von derselben Ordnung, wenn ich den Kosinus an die zweite Ordnung und den Sinus annähere erster Ordnung (das ist vernünftig, da die Sinuserweiterung erster Ordnung dieselbe ist wie die Erweiterung zweiter Ordnung). Meine Frage ist: Warum vernachlässigen wir bei der Ableitung der Wellengleichung an einer Saite (unter der Annahme konstanter Spannung und kleiner Winkel, elastischer Wellen und konstanter linearer Dichte) die auf ein Saitenelement wirkende horizontale Kraft? Ich werde Newtons zweites Gesetz für ein Stück Masseschnur aufschreiben $\Delta m$ : Lassen $\tau$ Sei die Spannung des Seils.

\vec{F} = Δ M \vec{A}

$\vec{F}=\Delta m \vec{a}$

An seinen Enden wirkende Spannungen haben die gleiche Größe, also erhalten wir:

τ (\cos θ_{2} - \cos θ_{1}) = Δ M A_{X}

$\tau(\cos\theta_2-\cos\theta_1)=\Delta m a_x$

τ (Sünde θ_{2} - Sünde θ_{1}) = Δ M A_{j}

$\tau(\sin\theta_2-\sin\theta_1)=\Delta m a_y$

Ohne mit dieser Ableitung der D'Alembert-Gleichung weiter zu gehen, habe ich einige Bücher über Annäherungen gelesen $\sin\theta\simeq\theta$ Und $\cos\theta\simeq1$ (So $a_x\simeq0$ ). Wenn wir den Kosinus auf die zweite Ordnung erweitern würden (wie ich bereits sagte), würden wir dann auch Longitudinalwellen erhalten? Wenn nicht, warum funktioniert diese Näherung für dieses Modell und nicht für ein einfaches Pendel?

PM 2Ring

Meine Vermutung ist, dass wir die horizontale Kraft vernachlässigen, weil die horizontale Bewegung des Saitenelements viel kleiner ist als die vertikale. Bei der Untersuchung von 3D-Resonatoren (z. B. Klangstäbe und Glocken) müssen wir jedoch die Longitudinalwellen berücksichtigen.

Antworten (1)

Wie funktioniert die Kleinwinkelnäherung für Kosinus?

Meine Vermutung ist, dass wir die horizontale Kraft vernachlässigen, weil die horizontale Bewegung des Saitenelements viel kleiner ist als die vertikale. Bei der Untersuchung von 3D-Resonatoren (z. B. Klangstäbe und Glocken) müssen wir jedoch die Longitudinalwellen berücksichtigen.

Benutzer258881 · Answer 1

Zusammenfassung

Der Grund, warum die Annäherung im Pendelfall nicht funktioniert, liegt darin, dass Sie sie an der falschen Stelle anwenden.

Der richtige Weg

Sie sollten die Näherung anwenden, nachdem Sie die Lagrange-Funktion bei der Anwendung der Euler-Lagrange-Gleichungen differenziert haben. Daher

\begin{aligned} \frac{D}{D T} (\frac{D L}{D \dot{θ}}) & = \frac{D L}{D θ} \\ M l^{2} \ddot{θ} & = - M G l Sünde θ \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \left(\frac{\mathrm d \mathcal L}{\mathrm d \dot{\theta}}\right)&=\frac{\mathrm d \mathcal L }{\mathrm d \theta}\\[5pt] ml^2 \ddot{\theta}&=-mgl \sin\theta \end{align}$

Jetzt können Sie die Annäherung that anwenden $\sin\theta \approx \theta$ , daher

\ddot{θ} = - \frac{G}{l} θ

$\ddot{\theta}=-\frac{g}{l}\theta$

das hast du erwartet.

Irrtum in deiner Argumentation

Der Grund, warum wir die zweite Bestellung ( $-\theta^2/2$ ) beim Annähern $\cos \theta$ weil wir diesen Ausdruck differenzieren werden. Und sobald wir den Ausdruck differenzieren, wird der Term zweiter Ordnung zu einem Term erster Ordnung ( $-\theta$ ) und damit wird es plötzlich "wichtig". Sie auszuschließen, würde uns eine nutzlose und falsche Lösung liefern. Aber im Fall der Saitenwelle werden wir keine Operation verwenden, die den Term zweiter Ordnung in einen signifikanten Term erster oder nullter Ordnung umwandeln könnte. Daher ist es sinnvoll, diesen Term zweiter Ordnung nicht in die Ableitung aufzunehmen.

Abschluss

Nehmen Sie immer alle Annäherungen, sobald Sie alle Operationen angewendet haben, die eine Änderung der Reihenfolge (Exponent/Potenzen) der Terme beinhalten könnten. Tatsächlich sollten Sie immer die vollständige Taylor-Entwicklung jeder Funktion verwenden, bis Sie Ihren endgültigen Ausdruck erhalten. Dieser Gedanke ist wirklich wichtig und muss bei der Behandlung kleiner Mengen (wie in Ihrem Fall $\theta$ ).

Ich sehe jetzt. Wenn ich also den Lagrangian vor dem Differenzieren approximieren möchte, muss ich Terme zweiter Ordnung berücksichtigen, die zu Termen erster Ordnung werden. Sobald wir die Bewegungsgleichung haben, müssen die Terme zweiter Ordnung vernachlässigt werden. Ich glaube, meine Frage war dumm. Danke fürs klarstellen.
@Feynman_00 Ja genau und die Frage war gar nicht blöd. Übrigens, wenn Sie es nicht wussten, können Sie die Antwort akzeptieren .

Wie funktioniert die Kleinwinkelnäherung für Kosinus?

Herr Feynmann

PM 2Ring

Antworten (1)

Benutzer258881

Zusammenfassung

Der richtige Weg

Irrtum in deiner Argumentation

Abschluss

Herr Feynmann

Benutzer258881

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