Aus dem Lagrange habe ich die folgenden Bewegungsgleichungen für das Doppelpendel in 2D. (Die Massen sind unterschiedlich, aber die Längen der beiden Pendel sind gleich.) Let sei die am tiefsten hängende Masse.
Und
In der Kleinwinkelnäherung werden diese resp
Und
.
Die meisten Quellen haben keine Bestellbedingungen . Dies liegt daran, dass sie die Kleinwinkel-Näherung auf die Lagrange-Funktion anwenden, bevor sie die Ableitungen nehmen, wodurch die Ordnungsbedingungen ignoriert werden Welche Rechtfertigung haben wir, diese Begriffe abzuschaffen?
Ich denke, das Problem hier ist, dass Sie in Ihrer "Kleinwinkel-Näherung" ein konsistentes Annäherungsniveau beibehalten müssen. Mit kleinen Winkeln meinen wir typischerweise Und sind beide in ordnung , Wo . Dann ist die Frage - in welcher Reihenfolge willst du die bewegungsgleichungen aufschreiben?
Wenn Sie den Begriff vernachlässigen im Lagrange sagt man das in Bezug auf die Größe sind klein im Vergleich zu Begriffen wie , die von der Größe ist . In der Bewegungsgleichung erhalten Sie Terme, die sind , die von der Größe sind , im Vergleich zu , das ist Größe .
Wenn Sie also den zusätzlichen Term in der Lagrange-Funktion vernachlässigen, erhalten Sie die gleiche Bewegungsgleichung, als würden Sie die gesamte Lagrange-Funktion beibehalten und dann Terme mit Größe fallen lassen .
Diese Art von Argumentation ist ein wenig umständlich und könnte (im Prinzip) explodieren, wenn die Zeitableitungen von waren groß - irgendwann möchten Sie vielleicht einige Bücher über Störungstheorie in einem formelleren Sinne lesen.
Ich denke, dass die Annäherung auf der Lagrange-Ebene die richtige Methode ist.
Die Lagrange-Funktion ist wichtig, da sie aufgrund des Noether-Theorems einen direkten Einfluss auf Erhaltungsgrößen hat.
Durch die Annäherung auf der Lagrange-Ebene wird sichergestellt, dass die Bewegungsgleichungen und die Lagrange-Gleichung kompatibel und kohärent sind und dass die konservierten globalen Noether-Erhaltungsgrößen tatsächlich leicht aus den Bewegungsgleichungen erhalten werden können.
Pricklebush Tickletush
mikuszefski