Wie funktioniert diese Mathematik?

Eine Reihe von drei konzentrischen Quadraten, in deren kleinstem ein Kreis eingeschrieben ist. Der Kreis ist grau, mit „City“ beschriftet und hat r = 1000 A. Das kleinste Quadrat hat eine Seitenlänge von 2000 A. Das zweite Quadrat hat eine Seitenlänge von 4000 Å. Die restlichen Flächen des kleinsten und mittleren Quadrats sind orange ausgefüllt und mit „Migrash“ beschriftet. Das äußerste Quadrat hat eine Seitenlänge von 6000 Å, seine restliche Fläche ist grün ausgefüllt und mit „Techum“ beschriftet.

Die Gemara Eiruvin 56b sagte, dass der Migrash (der orangefarbene Bereich) ein Viertel der Fläche des Sados (der grüne Bereich) ausmacht. Schauen wir uns die Mathematik an. (So ​​habe ich die Maskana verstanden)

  • greenArea = (2r+2000+2000)^2 - orangeArea - cityArea(da die Länge des Migrash 1000 Amos + die Länge des Techum 1000 beträgt)
  • orangeArea = (2r+1000+1000)^2 - cityArea
  • cityArea = 3r^2

Deshalb,

  • greenArea = (2r+4000)^2 - (2r+2000)^2 - 3r^2
  • orangeArea = (2r+2000)^2 - 3r^2

greenArea/orangeArea = ((2r+4000)^2 - (2r+2000)^2 - 3r^2 + 3r^2)/((2r+2000)^2 - 3r^2)

greenArea/orangeArea = ((2r+4000)^2 - (2r+2000)^2)/((2r+2000)^2 - 3r^2)

Laut Raba funktioniert das, wenn r = 1000 ist (die Stadt ist 2000 x 2000).

Das Ergebnis wird jedoch 20/13 sein? Was habe ich falsch gemacht?

BEARBEITEN

Ich habe die Soncino Gemara gesehen und sie erklären, dass die Migrash auch ein Kreis ist. In diesem Fall haben wir folgendes Bild:

Ein großes Quadrat, das einen konzentrischen Kreis enthält, das ein konzentrisches Quadrat enthält, das einen eingeschriebenen Kreis enthält. Der kleinere Kreis ist grau ausgefüllt. Das kleinere Quadrat hat eine Seitenlänge von 2000 Å. Die verbleibende Fläche innerhalb des kleineren Quadrats und des größeren Kreises ist orange ausgefüllt. Der größere Kreis hat einen Durchmesser von 4000 Å. Die restliche Fläche des größeren Quadrats ist grün ausgefüllt. Das größere Quadrat hat eine Seitenlänge von 6000 A.

  1. BigArea = (2(r+1000+1000))^2
  2. CompleteMigrashArea = 3(r+1000)^2
  3. City = 3r^2
  1. GreenArea = BigArea-CompleteMigrashArea
  2. migrashArea = CompleteMigrashArea-City
  3. GreenArea = BigArea-(MigrashArea+City)
  4. GreenArea = BigArea-MigrashArea-City
  5. GreenArea = (2(r+1000+1000))^2-3(r+1000)^2-3r^2
  1. MigrashArea = 3(r+1000)^2 - 3r^2
  1. GreenArea/MigrashArea = ((2(r+1000+1000))^2-3(r+1000)^2-3r^2)/(3(r+1000)^2 - 3r^2)

Wenn r = 1000 ist, dann ist das Verhältnis 7/4

Funktioniert auch nicht.

DARÜBER HINAUS

Abaye sagt, dass die gleiche Methode funktioniert, wenn die Stadt 1000 mal 1000 groß ist (r=500).

Das 3r^2 hebt die Berechnung des grünen Bereichs auf. Was ist hier das Ziel? Was ergibt r=1000 für abaye?
@DoubleAA "Die Gemara sagte, dass der Migrash (der orangefarbene Bereich) ein Viertel des Bereichs der Sados ausmacht."
Sie wollen also grün/orange == 4
@DoubleAA so habe ich es verstanden. Vielleicht bin ich falsch.
Sehen Sie den Fehler bei der Berechnung des grünen Bereichs? Es ist (2r+4000)^2 - ( (2r+2000)^2 - 3r^2 ) - 3r^2 == (2r+4000)^2 - (2r+2000)^2 Das bringt dich nur ins Grübeln vom 20.13
@DoubleAA warum die Stadt wieder löschen?
Es storniert. G = G' - O - C und O = O' - C also G = G' - O' + C - C = G' - O'
Siehe Soncino auf dieser Gemara, sie haben alle Figuren.
Könnten Sie bitte das Diagramm aktualisieren, um explizit anzugeben, was die verschiedenen Längen sind?
@JCSalomon tat dies.
Siehst du jetzt, dass die Grünfläche 6000^2 Quadrat Amah - 4000^2 Quadrat Amah ist, und du den Stadtteil nicht wieder abziehen musst?
@MeirZirkind hat keine Bilder gefunden. Basierend auf Notizen, aktualisierte Frage.
@DoubleAA ja, hoppla. Löst das Problem aber immer noch nicht :(
Beachten Sie, dass das Verhältnis von migrash : sados ​​bei einer Stadt mit einem Radius von 0 minimal ist (siehe meinen Versuch, die Mathematik unter gist.github.com/jcsalomon/5573753 auszuarbeiten ). Migrasch ist 2000²; Sados sind 4000²−2000²=12.000.000; Verhältnis ist 4.000.000:12.000.000 = 1:3. Ein Verhältnis von 1:4 ist nicht möglich.
@JCSalomon der zweite Weg ist lösbar, wenn r = 70.71 . Interessant finde ich, dass es fast genau die Größe eines Karfef hat. Aber die Gemara erwähnt dies nicht als Möglichkeit.
Ähnlich bei Soncinos Version: migrash ist π × 1000²; Sados sind 4000² − π × 1000²; Verhältnis ist π ÷ (16 − π ) ≅ 1:4. Bei einer Stadt größer Null ist das Verhältnis größer.
@ShmuelBrin, und je größer die Stadt, desto weiter entfernt sich das Verhältnis von 1:4. Das ist eine gute Frage.
Ich habe ein Buch namens Rabbinische Mathematik und Astronomie, er hat 5 Seiten zu diesem Thema mit Diagrammen und mathematischen Zahlen. Ich weiß nicht, ob es eine Möglichkeit gibt, diese hier hochzuladen, aber wenn Sie möchten, könnte ich es privat senden, aber es muss warten bis nach Yom Tov.

Antworten (1)

In Ravas Szenario ist das gesamte Quadrat der Zähler, also nicht (grün/orange), sondern ((grün+orange+grau)/orange). Für Ihr zweites Diagramm sollte die Formel also lauten:

BigArea/MigrashArea = ((2(r+1000+1000))^2)/(3(r+1000)^2 - 3r^2)

oder3.6x10^7 / 9x10^6 = 4

Abaye hingegen enthält die Stadt nicht, also ist es für ihn ((grün+orange)/orange). Da er r=500 nimmt, dann ist es für ihn

BigArea/MigrashArea = (((2(r+1000+1000))^2)-3r^2)/(3(r+1000)^2 - 3r^2)

oder(2.5x10^7-7.5x10^5)/6x10^6 = 4.0167

[Tosafos ד"ה אביי sagt, dass wir die Stadt tatsächlich von der Gesamtfläche abziehen - wenn auch nicht von der Migrash -, als ob sie quadratisch wäre, also:

BigArea/MigrashArea = (((2(r+1000+1000))^2)-((2r)^2)/(3(r+1000)^2 - 3r^2)

oder(2.5x10^7-1x10^6)/6x10^6 = 4

Gra hingegen sagt, dass die Zahl "ein Viertel" nicht genau sein muss.]

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