Wie interagieren der relativistische Doppler-Effekt mit der Zeitdilatation?

Sie haben Recht, dass hier zwei Effekte im Spiel sind.

Nehmen wir zunächst an, dass wir die Relativitätstheorie ausschalten – nehmen wir an, dass wir unser Universum als Newtonisch mit einer endlichen Lichtausbreitungsgeschwindigkeit betrachten. Es wäre in der Tat so, dass, wenn sich ein Beobachter A relativ zu einem anderen Beobachter B bewegen und ein Lichtsignal in Richtung B aussenden würde, die Geschwindigkeit, mit der das Signal bei B ankommt, anders wäre als die, mit der es ausgesendet wurde. Dies ist der einfache alte Doppler-Effekt, genau wie der Effekt, den man erlebt, wenn man einem Krankenwagen zuhört, der sich auf einen zu oder von einem weg bewegt. Wenn das von A ausgesendete Signal das Licht ihres Zifferblatts wäre, dann würde Beobachter B tatsächlich sehen, wie die Uhr mit einer anderen Geschwindigkeit tickt.

Aber würde sie es schneller oder langsamer ticken sehen? Das hängt nun davon ab, ob sich Beobachter A auf Beobachter B zu oder von ihm wegbewegt. Wenn sich A auf B zu bewegt, würde B die Uhr schneller ticken sehen, so wie Sie die Sirene des Krankenwagens in einer höheren Tonlage hören, wenn sie sich auf Sie zubewegt. Wenn sich A von B wegbewegen würde, würde B die Uhr langsamer ticken sehen, genauso wie Sie die Sirene des Krankenwagens leiser hören , wenn sie sich von Ihnen entfernt. Für Geschwindigkeiten, die im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit klein sind, wäre dieser Effekt natürlich sehr klein.

Nehmen wir nun an, wir schalten die Relativitätstheorie ein. Ein neuer Effekt kommt ins Spiel – einer, der viel tiefgreifender und seltsamer ist. Das (relativistische) Phänomen der Zeitdilatation würde dazu führen, dass laut B die Uhr des Beobachters A intrinsisch langsamer läuft. Es ist nicht so, dass sie nur sieht , dass die Uhr langsamer tickt, es ist, dass sich die Zeit selbst an Bord von A's Raumschiff verlangsamt hat, laut B. Das bedeutet, dass, wenn B die Ankunftsrate von Signalen von A messen und dann etwas tun würde Mathematik , um den Doppler-Effekt rückgängig zu machen, so dass die resultierende Größe die Emissionsrate des Signals wäre, würde sie feststellen, dass die Rate geringer ist als die, bei der A sagen würde, dass sie das Signal aussendet. Was ziemlich verrückt ist.

Was ist also der kombinierte Effekt? Nun, wir können sofort sehen, dass sie sich nicht in allen Fällen aufheben, indem wir betrachten, dass sich Beobachter A von Beobachter B wegbewegt . Dann kombinieren sich Zeitdilatation und Doppler-Effekt , sodass Beobachter B die Uhr an Bord von A's Schiff besonders langsam laufen sieht . Die richtige Formel (ich werde hier keine Herleitung geben, aber man findet viele im Web, zB bei Wikipedia ) stellt sich tatsächlich heraus

wo$f_E$ist die emittierte Frequenz und$f_O$die beobachtete Frequenz. Für alle positiven Geschwindigkeiten, die in diesem Fall einer Entfernung von Beobachter A von Beobachter B entsprechen, ist die Spitze des Bruchs kleiner als die Unterseite, und daher ist die beobachtete Frequenz kleiner als die emittierte Frequenz. Ebenso ist für alle negativen Geschwindigkeiten, die in diesem Fall der Bewegung von Beobachter A auf Beobachter B entsprechen, die Spitze des Bruchs größer als die Unterseite, und daher ist die beobachtete Frequenz größer als die emittierte Frequenz.

Qualitativ unterscheiden sich also die beiden Effekte kombiniert nicht vom Doppler-Effekt an sich. Der einzige Umstand, unter dem sich die beiden Effekte „aufheben“, ist, wenn die Relativgeschwindigkeit der Beobachter Null ist, und in diesem Fall sind die beiden Effekte einzeln Null! Während der Doppler-Effekt zu einer erhöhten Rate für führt$\beta < 0$und ein ermäßigter Satz für$\beta >0$, wirkt das Phänomen der Zeitdilatation immer verlangsamend auf die Rate. Dann ist es einfach so, dass die Zeitdilatation ohne Wahl der Relativgeschwindigkeit die Rate ziemlich genug verlangsamen kann , um einer erhöhten Rate aufgrund des Doppler-Effekts entgegenzuwirken.

Ich habe die Quadratwurzel in der obigen Formel unten gezeichnet:

Sie können hoffentlich sehen, dass diese Funktion für immer größer als 1 ist$\beta$kleiner als Null und immer kleiner als 1 für$\beta$größer als Null. Hoffe das hilft!