Wie interpretiert man die Ladungskontinuitätsgleichung für Leiter, die dem Ohmschen Gesetz gehorchen?

Für Leiter schlagen wir vor, dass die freie Stromdichte proportional zum angelegten elektrischen Feld ist und die Proportionalitätskonstante als Leitfähigkeit definiert wird.

J F = σ E

Die Maxwell-Gleichung im leitenden Material (unter der Annahme linearer Medien) hat die Form

∇ → ⋅ E = ρ F ϵ ∇ → ⋅ B = 0

∇ → × E = − ∂ T B   ∇ → × B = μ σ E + μ ϵ ∂ T E

Nimmt man die Divergenz der ∇ → × B Gleichung und Ersetzen der Divergenz des elektrischen Feldes durch die Ladungsdichte ergibt,

∂ ρ F ∂ T = − σ ϵ ρ F ⟹ ρ F = ρ F ( 0 ) exp ⁡ ( − σ ϵ T )

Ich verstehe nicht, was diese Gleichung bedeuten soll. Wenn ich einen leitenden Draht nehme und ihn an zwei Enden einer Batterie anschließe, behält der Draht immer noch seine freien Ladungen. Also wie kann ρ F eine exponentiell abnehmende Funktion der Zeit sein?

Antworten (1)

Sie betrachten eine differentielle, dh lokale Form der Maxwell-Gleichungen, und alle Ihre Größen sind lokal, dh sie beziehen sich auf einen bestimmten Punkt im Raum. Es ist nichts falsch daran, dass die Ladung an einem bestimmten Punkt abnimmt – sie fließt von diesem Punkt weg, wie uns die Kontinuitätsgleichung sagt:

∂ ρ ∂ T = − ∇ ⋅ J
Lassen Sie mich auch darauf hinweisen ρ F in Ihren Gleichungen ist nicht die Gesamtladung, sondern die Nettoladung an diesem Punkt, dh die Differenz zwischen den Mengen an positiver und negativer Ladung.

Nehmen wir nun einen Draht oder einen ganzen Schaltkreis, so gehen wir von einem globalen Bild aus, das besser durch die Integralform der Maxwell-Gleichungen beschrieben wird. Wenn wir also eine Oberfläche betrachten, die den Schaltkreis umschließt, wird sich die Ladungsmenge innerhalb dieser Oberfläche nicht ändern, obwohl die Form der Ladungsverteilung variieren kann.

Ein subtilerer Punkt ist, dass man, wenn man über Schaltungen spricht, ein Modell mit konzentrierten Elementen impliziert , bei dem alle elektromagnetischen Phänomene auf grundlegende Parameter wie Widerstand, Strom, Vorspannung und Kondensatorladung reduziert werden. Beachten Sie auch, dass die einfache Schaltung "Batterie + Kabel" Ladungsschwingungen nicht wirklich aushält.

Danke, das klärt einige Zweifel, die ich hatte. Ich verstehe jedoch nicht wirklich, wie die Nettoladung an einem Punkt wann von einem Punkt zum anderen fließt ρ F nimmt überall ab. Wird es im Durchschnitt in alle Richtungen verteilt?
@a_point_particle Ihre Materialgleichung (Ohmsches Gesetz) gilt nur innerhalb des Drahtes. Die Lösung besagt, dass, wenn der Draht nicht elektrisch neutral wäre, die zusätzliche Ladung von ihm abfließt.
Wie interpretiert man die Ladungskontinuitätsgleichung für Leiter, die dem Ohmschen Gesetz gehorchen?
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