Wie ist ein gebundener Zustand in der Quantenmechanik definiert?

Wie wird in der Quantenmechanik ein gebundener Zustand für Zustände definiert, die keine Eigenzustände des Hamiltonoperators sind, also keine bestimmten Energien haben? Kann eine Überlagerung Zustand wie

ψ ( x , t ) = 1 2 ϕ 1 ( x , t ) + 1 2 ϕ 2 ( x , t ) ,
wo ϕ 1 und ϕ 2 sind Energieeigenzustände ein gebundener Zustand? Wie entscheiden?

Antworten (4)

Der gebundene Zustand ist so definiert, dass der Durchschnitt der Wahrscheinlichkeitsdichte in einem bestimmten Raumbereich endlich ist, wenn die Zeit vergeht. Während für unbegrenzte Zustände die Wahrscheinlichkeitsdichte im Laufe der Zeit gegen Null tendiert. Siehe Landau-Quantenmechanik Abschnitt 10.

Dies kann folgendermaßen verstanden werden, wenn der Zustand begrenzt ist, dh er existiert nur innerhalb einer bestimmten Region, sodass die Wahrscheinlichkeitsdichte in dieser Region im Laufe der Zeit endlich sein sollte. Wenn der Zustand dagegen eine freie Bewegung ist, breitet sich das Wellenpaket im Laufe der Zeit aus, sodass die Wahrscheinlichkeitsdichte an jedem Punkt gegen Null tendiert, wenn die Zeit gegen unendlich geht.

Bearbeiten: Jetzt möchte ich sagen, dass diskrete Eigenzustände ODER Überlagerungen davon gebundene Zustände sind; während sonst eine unbegrenzte ist.

Beachten Sie, dass in dieser Definition des gebundenen Zustands die durchschnittliche Energie E < v ( ± ∞ ) hält immer. Jedoch, E < v ( ± ∞ ) kann einen begrenzten Zustand nicht garantieren. Beispielsweise kann ein Zustand (wie dieser) , der sowohl aus diskreten Spektren als auch aus Kontinuumspektren besteht, seine durchschnittliche Energie haben E entweder größer oder kleiner als v ( ± ∞ ) . Man könnte sagen, es ist ein unbegrenztes, es kommt darauf an.

Das Kriterium E < v ( ± ∞ ) garantiert genau dann einen beschränkten Zustand, wenn durch E Sie beziehen sich auf die Energie eines Eigenzustands.

Was ist mit 0,5 Wahrscheinlichkeit in der endlichen Region A und den anderen 0,5 Abstrichen bis ins Unendliche? Scheint im Widerspruch zu Ihrem 1. Satz def zu stehen.
@huotuichang Ja, das habe ich gestern auch gedacht. Sollen wir dann sagen, dass der gebundene Nicht-Eigenzustand die Überlagerung der Eigenzustände ist, die den diskreten Eigenwerten entsprechen? Während es weder gebunden noch ungebunden ist, wenn es eine unendliche Bewegungskomponente hat?
Warum nicht verwenden E > v ( ∞ ) als Kriterium für unbeschränkte Zustände?
@huotuichang Die Verwendung dieses Kriteriums bedeutet, dass einige Zustände eine unendliche Bewegungskomponente haben, während andere möglicherweise nicht begrenzt sind. Daher denke ich, dass es zweideutig ist, gebunden oder ungebunden zu sprechen, wenn es sich um eine Mischung aus diskreten und kontinuierlichen Zuständen handelt.
Nein, ich halte es für eindeutig. Ich fand gerade den oben erwähnten endlichen Fall A + Unendlich unrealistisch, da er nur auftritt, wenn eine unendlich hohe Wand steht, wodurch die beiden Regionen de facto völlig unverbunden sind. Geben Sie mir also ein Beispiel für den Mischungstyp, wenn Sie können.
@huotuichang Ich habe kein Beispiel für ein echtes System zur Hand. Warum erläuterst du nicht, warum du das für unrealistisch hältst? Denn mathematisch gesehen können wir immer einen Zustand schreiben, der sich aus diesen beiden Teilen zusammensetzt.
Betrachten Sie den harmonischen Oszillator , alle gebundenen Zustände fallen exponentiell ab, sind aber fast überall ungleich Null. Für eine wirklich strenge Definition müssten Sie sagen, dass sich ein gebundener Zustand bis zu einem exponentiellen Abfall in einem endlichen Bereich befindet. Was im Grunde so ist, als würde man sagen, dass das Spektrum des Staates streng darunter liegt v ( ∞ ) . Der einzige Vorteil dieser Definition liegt im Fall von zeitabhängigen Hamiltonoperatoren.
@Void Für die gebundenen Zustände, die stationäre Zustände sind E n < v ( ∞ ) , was ich sagen möchte, ist, dass die Linearkombination von ihnen auch ein gebundener Zustand ist. Der Erwartungswert der Energie E denn dieser Zustand ist offensichtlich kleiner als v ( ∞ ) , es ist das gleiche wie Ihre Argumentation. ps: was meinst du mit deinem letzten satz
@luming Ja, das meine ich damit, dass das Spektrum streng darunter liegt v ( ∞ ) - es ist eine Überlagerung von Energie-Eigenzuständen mit Energie darunter v ( ∞ ) und Sie müssen nicht in komplizierte Definitionen einsteigen, um einen anderen gebundenen Zustand zu definieren. Im Falle eines zeitabhängigen Hamiltonoperators könnte das Potential den Zustand zB durch Umkehrung des Vorzeichens „rauswerfen“ (dh Energieeigenzustände zu einer festen Zeit sind nicht stationär). Dann ist es nützlich, dass der gebundene Zustand zu jeder Zeit als mit einem exponentiellen Abfall definiert ist.
@Void Was ist mit dem Zustand eine Mischung aus diskret und kontinuierlich, es ist schwer zu sagen, dass es sich um einen gebundenen Zustand handelt. Jedoch E < v ( ∞ ) ist in diesem Fall möglich.
@luming Ich verstehe nicht wirklich, was du fragst. Kontinuumseigenzustände sind niemals E < v ( ∞ ) und selbst wenn dies der Fall wäre, ist die Zerlegung in die Energieeigenzustände mit einem vollständigen Satz pendelnder Observablen eindeutig . Aus der Schrödinger-Gleichung folgt unmittelbar, dass z x , v ( x ) > E die Wellenfunktion muss exponentiell abfallen.
@Void Ich spreche nicht mehr vom Eigenzustand, ich versuche das zu sagen E < v ( ∞ ) Kriterium schlägt fehl, wenn wir über einen physikalischen Zustand wie diesen sprechen physical.stackexchange.com/q/139311 . Da die durchschnittliche Energie kleiner sein kann als v ( ∞ ) in diesem Fall kann man allerdings nicht sagen ob es gebunden ist oder nicht

Gebundene Zustände werden üblicherweise als quadratintegrierbare Energieeigenzustände verstanden; das heißt, Wellenfunktionen ψ ( x ) die befriedigen

∫ − ∞ ∞ | ψ ( x ) | 2 d x < ∞ und H ^ ψ = E ψ .

Dies wird typischerweise im Vergleich zu Kontinuumszuständen verwendet , die (formal) der Eigenwertgleichung gehorchen H ^ ψ = E ψ , dessen Norm aber unendlich ist. Da ihre Norm unendlich ist, liegen diese Zustände nicht im üblichen Hilbert-Raum H , normalerweise angenommen L 2 ( R 3 ) , weshalb die Eigenwertgleichung nur bei naiver Annahme formal wahr ist - die Zustände liegen außerhalb des Wirkungsbereichs des Operators. (Natürlich ist es möglich, rigoros mit Kontinuumszuständen umzugehen, und zwar über ein Konstrukt, das als manipulierte Hilbert-Räume bekannt ist, für das dieses hier eine gute Referenz ist .)

Da Zustände, die keine Eigenzustände des Hamiltonoperators sind, auch keine Eigenzustände der Zeitentwicklung sind, macht es keinen Sinn, für diese Zustände von "gebundenen Zuständen" zu sprechen, da sie ständig in andere Zustände übergehen. Bei Energie-Eigenzuständen ist es sinnvoll, von "einem gebundenen Zustand" zu sprechen, da dieser Zustand für immer derselbe bleibt, wenn nicht darauf eingewirkt wird.

Nach dieser Definition sind auch Coulomb-Wellen gebundene Zustände.

Gebundene Zustände eines Systems sind die Zustände, für die das Teilchen für alle Zeiten in einem begrenzten Bereich des Raums lokalisiert bleibt. Betrachten wir den Fall für ein einzelnes Teilchen. H := L 2 ( R 3 ) ist der Hilbert-Raum eines einzelnen Teilchens wo r ∈ R 3 . Ein reiner Zustand | ψ ⟩ ∈ H heißt gebundener Zustand genau dann, wenn für alle gilt ϵ > 0 , gibt es eine beschränkte Menge EIN ⊂ R 3 so dass

∫ EIN | ψ ( r , t ) | 2 d 3 r ≥ 1 − ϵ
für alle t ∈ R . Das Integral erfasst die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen in der Region zu finden ist EIN zum Zeitpunkt t . Bleibt diese Wahrscheinlichkeit beliebig nahe bei 1 für alle Zeiten, dann können wir sagen, dass das Teilchen für alle Zeiten in dieser Region bleibt. Beachten Sie, dass wir zuerst beheben EIN und entwickeln dann die Zustände mit der Zeit. Unsere Auswahl an EIN sollte für alle Zeiten gültig sein.

In streuenden Zuständen kann man sich vorstellen, dass das Teilchen im Laufe der Zeit ins Unendliche entweicht. Ebenso if für jede beschränkte Menge EIN ⊂ R 3

∫ EIN | ψ ( r , t ) | 2 d 3 r → 0 ,
als t → + ∞ , sagen wir , dass die Zustände Streuzustände sind . Nun, für welche Wahl unserer beschränkten Menge auch immer, das Integral, dh die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen innerhalb unserer Region zu finden EIN sollte verschwinden als t → + ∞ . Wenn wir annehmen, dass unser Hamiltonoperator zeitunabhängig ist, können wir ersetzen t von | t | .

Die Definitionen können in geeigneter Weise auf den Mehrteilchenfall erweitert werden.

Verweise:

  1. Blanchard, Philippe; Brüning, Eduard (2015). "Einige Anwendungen der Spektraldarstellung". Mathematische Methoden in der Physik: Verteilungen, Hilbert-Raumoperatoren, Variationsmethoden und Anwendungen in der Quantenphysik (2. Aufl.). Schweiz: Springer International Publishing. p. 431. ISBN 978-3-319-14044-5.
  2. Gustafson, Stephen J.; Sigal, Israel Michael (2011). "Spektrum und Dynamik". Mathematische Konzepte der Quantenmechanik (2. Aufl.). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. p. 50. ISBN 978-3-642-21865-1.
  3. Ruelle, David (9. Januar 2016). "Eine Bemerkung zu gebundenen Zuständen in der Potentialstreuungstheorie". Nuovo Cimento A (1965-1970) . 61 (Juni 1969): 655–662. doi: 10.1007/BF02819607. pdf .
Ich weiß nicht, ob eine ähnliche Definition für gemischte oder nicht normale Zustände gilt.
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