Wie ist es möglich, dass Umlaufbahnen stabil bleiben?

Wenn die Geschwindigkeit eines Satelliten von der richtigen Geschwindigkeit einer kreisförmigen Umlaufbahn abweicht, implizieren Newtons Gleichungen, dass sich das Objekt einfach entlang einer nicht kreisförmigen Umlaufbahn, einer Ellipse, bewegt. Diese Tatsache sowie die detaillierten Parameter dieser Ellipse waren bereits Johannes Kepler bekannt.

Alle Planeten und Monde in der realen Welt umkreisen ihre Sterne oder Planeten entlang Ellipsen und hier gibt es keinerlei Feinabstimmung. Die Abweichung von einer Kreisbahn wird als "Exzentrizität" der Ellipse bezeichnet und ist für alle realen Himmelskörper ungleich Null: Keiner von ihnen hat eine fein abgestimmte Geschwindigkeit. Für jede Anfangsposition oder -geschwindigkeit findet man eine Ellipse (die ein Kreis sein kann, wenn jemand, zB die NASA, die Parameter verfeinert) oder eine Hyperbel oder eine Parabel (wenn die Geschwindigkeit die Fluchtgeschwindigkeit überschreitet oder gleich dieser ist) und das Objekt bewegt sich gemäß den Newtonschen Bewegungsgesetzen daran entlang.

Alle elliptischen Trajektorien des 2-Körper-Systems sind stabil (und die elliptischen sind periodisch): Eine kleine Störung des Anfangszustands führt nur zu ebenso kleinen Störungen des Endzustands. Dieser Satz muss für 3 Körper und größere Zahlen (chaotisches Verhalten) und für nahe Umlaufbahnen um sehr schwere Objekte in der allgemeinen Relativitätstheorie, die möglicherweise instabil sind, modifiziert werden. Aber in Newtons Theorie für 2 Körper ist alles einfach.

Betrachten wir den Fall eines einzelnen Teilchens, das um ein 1/r-Potential herumgeht (dh Mond um Erde). Im rotierenden Rahmen der Mondumlaufbahn gibt es ein effektives Potential, das gegeben ist durch:

Somit ist jede kleine Verschiebung stabil und führt einfach zu einer Oszillation des Orbitalradius.

Das sind die Bedingungen für Kreisbahnen .

Umlaufbahnen haben keine Probleme mit nicht kreisförmigen (elliptischen) Sorten. Dabei variieren Geschwindigkeit und Radius so, dass der Drehimpuls konstant bleibt.

Sie können den Drehimpuls zu einem bestimmten Zeitpunkt als finden$L = m * v_t$Wo$v_t$ist die Geschwindigkeit quer zur Verbindungslinie der beiden Körper. Aus den Überlegungen, die Sie für kreisförmige Umlaufbahnen gemacht haben, sollten Sie in der Lage sein, abzuleiten, wann die Umlaufbahn nach außen und wann nach innen zeigt.

Die reale Situation kann wahrscheinlich als ein Punkt angenähert werden, der einen anderen Punkt in der Newtonschen Physik umkreist. Angenommen, ein Punkt umkreist einen anderen Punkt in einem perfekten Kreis in der Newtonschen Physik, hat aber kein eigenes Gravitationsfeld, sodass sich der andere Punkt überhaupt nicht bewegt. Nehmen wir den rotierenden Bezugsrahmen, in dem beide Punkte stationär sind. In diesem Bezugsrahmen gibt es zwei fiktive Kräfte, die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft. Die Fliehkraft zieht radial nach außen und verändert sich so$mr\omega^2$Wo$m$ist die Masse,$r$ist der Abstand vom stationären Punkt, und$\omega$ist die Winkelfrequenz. Die Corioliskraft zieht senkrecht zur Geschwindigkeit. Es zieht 90° im Uhrzeigersinn der Geschwindigkeit in einem sich gegen den Uhrzeigersinn drehenden Bezugssystem und 90° gegen den Uhrzeigersinn der Geschwindigkeit in einem sich im Uhrzeigersinn drehenden Bezugssystem. Die Größe der Coriolis-Kraft ist$2mv$Wo$v$ist die Geschwindigkeit im sich drehenden Bezugssystem. Im Bezugssystem, in dem beide Punkte stationär sind, gibt es auch eine echte Gravitationskraft, die sich mit der minus zweiten Potenz der Entfernung ändert. Die Mathematik zeigt, dass die Coriolis-Kraft ausreicht, um eine leichte Störung in der Umlaufbahn zu stabilisieren.