Wie kam Kepler zu den Potenzen in seinem dritten Hauptsatz?

Wie kam Kepler zu dem Schluss, dass genau das Quadrat der Periode und die dritte Potenz der großen Halbachse der Ellipse proportional sind? Warum ist nur quadratisch dividiert durch kubisch = konstant? Warum funktionieren andere Dimensionen nicht? Kepler hat sicherlich nicht einfach alle Potenzen ausprobiert. Ist das nicht ein ähnliches Problem wie der letzte Satz von Fermat?

Der letzte Satz von Fermat bezieht sich auf (positive) ganzzahlige Lösungen der Gleichung A N + B N = C N . Da Planetenumlaufzeiten und -entfernungen nicht auf ganze Zahlen beschränkt sind, ist Fermats letzter Satz nicht anwendbar.
Ja, macht Sinn danke! Aber wissen Sie, wie Kepler zu ^2 und ^3 kommt und nicht zu irgendeiner anderen Dimension?
Ich frage mich, ob Antworten auf Wie hat Kepler sein drittes Gesetz aus Daten „erraten“? sind hilfreich?

Antworten (1)

Wenn Sie den Logarithmus der Periode gegen den Logarithmus der großen Halbachse auftragen, dann ist das offensichtlich P 2 ∝ A 3 . Jede andere Machtgesetzbeziehung würde einfach nicht passen.

Log-Log-Plot

Die folgende Passage (von https://www.mathpages.com/rr/s8-01/8-01.htm ) scheint relevant zu sein:

Ist es nur ein Zufall, dass John Napiers „Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto“ (veröffentlicht 1614) zum ersten Mal gegen Ende des Jahres 1616 von Kepler gesehen wurde? Wir wissen, dass Kepler sofort von Logarithmen begeistert war, was nicht verwundert, wenn man bedenkt, wie viele Berechnungen zur Erstellung der Rudolphine-Tabellen erforderlich sind. Tatsächlich schrieb er 1621 sogar ein eigenes Buch zu diesem Thema. Es ist auch interessant, dass Kepler sein „Drittes Gesetz“ zunächst in Form eines Verhältnisses von 1,5 der Proportionen beschrieb, genau wie es in einem Log-Log-Plot erscheinen würde als in den bekannteren Begriffen von Quadratperioden und Kubikdistanzen. Es scheint, als ob eine rein mathematische Erfindung, nämlich Logarithmen, deren Absicht darin bestand, die Last manueller arithmetischer Berechnungen zu erleichtern, möglicherweise direkt zur Entdeckung/Formulierung eines wichtigen physikalischen Gesetzes geführt hat, dh Keplers drittes Gesetz der Planetenbewegung. (Ironischerweise tadelte Keplers akademischer Mentor, Michael Maestlin, ihn – vielleicht im Scherz? – dafür, dass er sich überhaupt für Logarithmen interessierte, und bemerkte, dass „es für einen Mathematikprofessor nicht angebracht ist, sich über eine Verkürzung der Berechnungen kindisch zu freuen“. ) Bis zum 18. Mai 1618 hatte Kepler das logarithmische Muster in den Planetenbahnen vollständig verstanden:

Wie anhand moderner Daten gezeigt wird, ist eine Steigung von 1,5 im Log-Log-Diagramm eindeutig die beste Anpassung. Aber ich frage mich, wie genau die Zahlen (insbesondere große Halbachsen) damals bekannt waren und ob sie beispielsweise Steigungen von 1,4 oder 1,6 ausschließen würden. Wenn nicht, dann geht es gewissermaßen auch um das Vertrauen in / die Bevorzugung von einfachen ganzzahligen Verhältnissen im Potenzgesetz.
@ELNJ Ich denke, sie waren sehr genau bekannt. Das ist eines der Dinge, die Kepler getan hat. Was eine Präferenz für ganzzahlige Verhältnisse betrifft, die als in der "harmonischen" Natur der Dinge angesehen worden wären, und ich bezweifle, dass kompliziertere Beziehungen überhaupt in Betracht gezogen worden wären.
@ELNJ Kepler arbeitete an den Daten aus über 20 Jahren, die Tycho Brahe ihm hinterlassen hatte. Zu dieser Zeit verfügte Kepler über den besten Satz an Beobachtungsdaten, der einem Astronomen bis zu diesem Zeitpunkt in der Menschheitsgeschichte zur Verfügung stand, und an der Grenze der technologischen Werkzeuge des Tages.
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