Wie kann das Endliche das Unendliche enthalten?

Dieser Artikel behauptet, dass alle endlichen Dinge tatsächlich unendlich sind, erklärt jedoch nicht, wie dies möglicherweise funktionieren kann, sondern dass die Welt wirklich so funktioniert. Zahlen und Geraden sind endlich, aber zweifellos unendlich teilbar, also enthält das Endliche letztlich das Unendliche!

Aber das ist das Unlogischste und erscheint mir widersprüchlich, wie kann etwas gleichzeitig endlich und unendlich sein (vielleicht ist dies im Wesentlichen Zenos Paradoxon)? Soll das Unendliche nicht endlos und grenzenlos sein , was das genaue Gegenteil des Messbaren und Quantifizierbaren ist?

Meine Frage ist also zweigeteilt:

  1. Stimmt es, dass das Endliche das Unendliche enthält (was auch immer das bedeutet)?
  2. wie ist das logisch zu erklären?
Zahlen und Striche existieren nicht „wirklich“, sie sind Idealisierungen, mathematische Fragen darüber beschäftigen sich nicht damit, wie die Welt „wirklich“ funktioniert. Etwas kann in verschiedenen Bedeutungen gleichzeitig endlich und unendlich sein, wie hier, endlich in der Größe, unendlich in der Anzahl der Teile. Eine Kugel ist endlos und grenzenlos, aber nicht unendlich groß, und ein Segment hat Grenzen und endliche Größe, enthält aber unendlich viele Punkte.
Dieser Artikel ist Mist (das ist ein Fachausdruck). Es unterscheidet nicht zwischen physikalischer Realität und abstrakter Mathematik. Ein häufiger Fehler in diesen Zeno-Diskussionen.
Vielleicht möchten Sie etwas über die Mandelbrot-Menge und Fraktale lesen....
@ user4894 sagst du, dass die Dinge in Wirklichkeit endlich sind, aber theoretisch unendlich sein können? Ich sehe auch nicht, wie das Sinn macht.
Nach unseren besten zeitgenössischen physikalischen Theorien sind das Universum und sein Inhalt endlich. Die Mathematik befasst sich routinemäßig mit dem Unendlichen. Es ist eine wichtige Unterscheidung. Die mathematische Lösung von Zenos Pfeilparadoxon hängt von der unendlichen Teilbarkeit von Raum und Zeit ab. In der Physik beschränkt die Planck-Skala das, was wir vernünftigerweise sagen oder wissen können, unterhalb bestimmter Intervalle von Raum und Zeit.
Man muss vorsichtig sein, was mit "endlich" gemeint ist, damit die Frage "in der Realität" Sinn ergibt. Zum Beispiel ist es sinnlos zu fragen, ob der "reale" Raum unendlich viele Punkte hat (oder ob "reale" Felder stetig sind), das sind Eigenschaften mathematischer Modelle, nicht die Realität selbst. Man kann basierend auf beiden Möglichkeiten gleich gute Modelle erstellen.

Antworten (1)

Ein endliches Liniensegment kann als Summe von unendlich vielen kleineren Liniensegmenten angesehen werden, die sich nicht überlappen, indem die Technik in dem Artikel verwendet wird, der Zeno von Elea zugeschrieben wird. Das heißt, schneiden Sie das Liniensegment an einem einzigen Punkt in zwei Hälften. Lassen Sie diesen einen Punkt, mit dem Sie den Schnitt gemacht haben, mit der ersten Hälfte gehen. Behalte die erste Hälfte, aber schneide die andere mit der gleichen Methode noch einmal in zwei Hälften. Wenn man das unendlich oft tun könnte, was unwahrscheinlich ist, hätte man unendlich viele Liniensegmente, die disjunkt sind und deren Längen gleich der Länge des ursprünglichen Liniensegments wären.

Man hat also ein Liniensegment endlicher Länge, das man sich als zusammengesetzt aus unendlich vielen nicht überlappenden Liniensegmenten kleinerer Länge vorstellen könnte.

Alternativ könnte man das Endliche einerseits als die Kardinalzahl einer Menge betrachten, die ein Liniensegment enthält, das eine endliche Länge hat, nennen Sie es L. Was andererseits unendlich ist, ist die Kardinalzahl einer anderen Menge, die enthält kleinere Liniensegmente, deren Summe der Längen ebenfalls L ist. Was diese beiden Mengen miteinander verbindet, ist, dass die Summe der Längen der Liniensegmente in jeder dieser Mengen dieselbe Zahl ist, d.h. L.

Wie kann das Endliche das Unendliche enthalten?
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