Wie können Sie feststellen, ob eine kritische Energiedichte tatsächlich ein Schwarzes Loch ist?

Hier ist eine Frage, die von Edwards Antwort auf diese Frage inspiriert wurde .

Nach meinem Verständnis ist die durchschnittliche Energiedichte eines Schwarzen Lochs in seinem Ruhesystem ρ BH ( A ) , eine Funktion der Oberfläche. Ich habe gerechnet 3 C 2 / 2 G A für ein Schwarzschild-Schwarzes Loch, aber das trifft hier vermutlich nicht zu, da ich von einer ausgedehnten Energieverteilung spreche. Angenommen, Sie befinden sich in einem Raum, der mit einer Art Energie, Materie oder was auch immer gefüllt ist, was einen potenziell zeitabhängigen Spannungs-Energie-Tensor erzeugt. Nehmen Sie weiter an, dass es einen endlichen, kugelförmigen Oberflächenbereich gibt A in diesem Raum, über dem Sie die durchschnittliche Energiedichte messen, sein ρ BH ( A ) , die Nettoladung Null und der Gesamtdrehimpuls der Materie innerhalb der Region Null. (Ich gehe davon aus, dass es ein Messverfahren gibt, das ohne Betreten der Region durchgeführt werden kann, falls es darauf ankommt.)

Nun, Edwards Argument in der anderen Frage zeigt, dass es mindestens zwei Möglichkeiten gibt, diese (durchschnittliche) Energiedichte zu erzeugen:

  1. Die Energiedichte ergibt sich aus einer Flüssigkeit oder einem anderen Material in Ruhe, so dass die Region ein Schwarzes Loch ist und keine zeitähnlichen Geodäten aus ihr austreten
  2. Die Energiedichte wurde durch einen Lorentz-Boost von einem anderen Frame „erhöht“, was darauf hindeutet, dass es zeitähnliche Geodäten gibt, die die Region verlassen

Ist es im Allgemeinen möglich, zwischen Fall 1 und Fall 2 zu unterscheiden, indem man nur die anderen Komponenten des Spannungsenergietensors betrachtet, ohne die Geodäten tatsächlich zu berechnen? Wenn das so ist, wie? Was wäre die "Signatur" eines Schwarzen Lochs in den Komponenten von T μ v (oder besser gesagt, ihre Durchschnittswerte über die betreffende Region)?

Hoffentlich ist dies nicht der Fall, aber ich glaube, derzeit gibt es keine bekannte einfache Antwort. Was Sie im Wesentlichen wollen, ist ein vollständiger Beweis der Reifenvermutung, von dem ich keinen kenne. Es macht zwar intuitiv Sinn, dass sich ein Schwarzes Loch bildet, wenn wir genügend Masse in eine Region schieben, aber es ist schwierig, dies genau zu diskutieren. Es ist sogar schwierig zu definieren, was wir unter Masse in einer lokalen Region in einem ganz allgemeinen Fall verstehen en.wikipedia.org/wiki/Mass_in_general_relativity
@Edward: Danke, ich dachte mir, dass es eine gute Chance gibt, dass ich etwas frage, das nicht beantwortet werden kann. Ich werde aber sehen, was die Leute zu sagen haben.
Sorry, David, aber die Energiedichte T 00 in der Schwarzschild-Lösung des Schwarzen Lochs ist überall Null, mit Ausnahme der Singularität, wo sie schlecht definiert ist. Ihre Ablehnung dieser einfachen Tatsache macht Ihre Frage, gelinde gesagt, verwirrend. Fragen Sie eigentlich nach den Sternen, die irgendwann in der Zukunft in Schwarze Löcher kollabieren werden?
@Luboš: Ja, ich weiß, dass der Spannungs-Energie-Tensor selbst singulär ist, aber ich habe über die durchschnittliche Energiedichte gesprochen, die (wie ich zu verdeutlichen versuchte) als Masse des Schwarzen Lochs dividiert durch das Volumen definiert werden könnte eine euklidische Kugel mit der gleichen Oberfläche wie der Ereignishorizont. Ich wäre sehr überrascht zu hören, dass entweder Masse oder Oberfläche für ein Schwarzes Loch schlecht definiert sind. Ich habe versucht, die Frage so zu formulieren, dass sie sich nicht darauf stützt, den Wert von zu messen T 00 an einem einzelnen Punkt, nur im Mittel über eine Region.
Die asymptotische Struktur der Raumzeit wird Ihnen einen kovarianten asymptotischen 4-Impuls-Vektor definieren, der eine Größe haben wird M , also ist die Masse wohldefiniert. Aber das vom Schwarzen Loch eingeschlossene Volumen ist keine Invariante. Sie können damit etwas knifflig werden, da die R = 0 Die Singularität hat eine ähnliche Struktur wie die R = 0 Singularität einer Punktladung, so dass Sie sich in gewisser Weise vorstellen können ρ als Delta-Funktion, aber ich glaube nicht, dass dies sogar auf die Kerr-Metrik verallgemeinert werden kann, also ist es wahrscheinlich nicht nützlich.

Antworten (3)

David,

Wie Sie aus Lubos 'Kommentar sehen können, gibt es einen schwerwiegenden Fehler in der Formulierung dieser Frage, daher werde ich diese Antwort einfach verwenden, um einige Aspekte des Themas zu erläutern. Erstmal der Fehler:

die Energiedichte eines Schwarzschild-Schwarzen Lochs

Die Schwarzchild-Lösung ist eine Lösung der Vakuum-Einstein-Gleichungen, dh R u , v = 0 und so T u , v = 0 dh der Stress-Energie-Tensor ist in der gesamten Schwarzschild-Lösung Null (das Entfernen des Ursprungs von dieser Mannigfaltigkeit vermeidet die Unbestimmtheit dort). Bei Null-Stress-Energie gibt es keine Flüssigkeiten oder lokalen Energiedichten, die gemessen oder untersucht werden müssen.

Was in der Frage gemeint ist (wie es sich aus den früheren Stack-Fragen ergibt), hat einige Beziehungen zur Hoop-Vermutung, wie Edward betont, aber nur zur Klarstellung werde ich mehr hinzufügen.

Betrachten wir nicht länger ein Einstein-Vakuum und nehmen an, dass irgendeine Form von Materie (oder Strahlung - ich sage im Folgenden nur Materie) "ursprünglich" vorhanden gewesen sein muss. Diese Materie ist Teil einer Nicht-Vakuum- Lösung der Einstein-Gleichungen, und daher wird es einen entsprechenden Spannungs-Energie-Tensor ungleich Null geben, dessen Materie dazu bestimmt ist, das Schwarze Loch zu werden. Jetzt beginnt die Frage also Sinn zu machen.

Die Frage dreht sich also wirklich darum, was bestimmt, ob eine gegebene Nicht-Vakuum-Lösung der Einsteinschen Gleichungen ein Schwarzes Loch bildet und ob diese Tatsache lokal messbar ist. Der Satz, der danach fragt, lautet:

Was wäre die "Signatur" des Schwarzen Lochs in den Komponenten von T u , v ?$

Ich glaube nicht, dass diese Antwort bekannt ist, teilweise weil der Raum aller Lösungen von Einsteins Gleichungen noch nicht bekannt ist. Wenn man die unten aufgeführten Punkte berücksichtigt, könnte man auch zu dem Schluss kommen, dass GR allein nicht ausreichte, um die BH-Bildung vorherzusagen – Materieeigenschaften sind ebenfalls zentral.

Es gibt die klassischen Hawking-Penrose-Theoreme, die eine topologisch-geometrische Antwort auf diese Frage geben, indem sie die Existenz "geschlossener eingeschlossener Oberflächen" zusammen mit bestimmten Eigenschaften von postulieren T u , v . In diesem Sinne gibt es eine Antwort, aber sie sagt uns nicht, wann sich die geschlossenen eingeschlossenen Oberflächen bilden werden (allgemein).

Schwarze Löcher entstanden als physikalisch plausible Lösungen für Einsteins Gleichungen aufgrund der frühen Arbeiten von Oppenheimer et al. Hier werden zwei Metriken kombiniert, um die Materie zu bilden, die zu einem Schwarzen Loch führt:

Friedmann Dust (innen) + Schwarzchild (außen)

(Ein cleverer Trick, um "masselosen Staub" zu betrachten, ermöglicht es, nur die Friedmann Dust-Lösung zu verwenden). Diese beiden Lösungen müssen "zusammengeklebt" werden, um die Oberfläche des Sterns zu bilden. Der T u , v (in dem sich bewegenden Rahmen und seiner Übersetzung in andere Rahmen), denn dies wurde in Edwards früherer Antwort angegeben und ist im Inneren des Sterns ungleich Null.

Was eine weitere Ebene der Komplikation bei der Diskussion der Entstehung von Schwarzen Löchern und Ereignishorizonten verursacht, ist die teleologische Natur ihrer Entstehung in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Dies kommt daher, dass "Zeit" in der Theorie nur ein Parameter ist und die Entstehung des Schwarzen Lochs durch die Gesamtlösung (also zeitunabhängig) bestimmt wird. Nun wurde der Schluss gezogen, dass sich für stellare Objekte mit einer Masse > TOV-Grenze ein Schwarzes Loch bilden wird. Aber wie oben erwähnt, ist es möglicherweise nicht möglich, diese Bedingung in eine Bedingung des Stress-Energie-Tensors zu übersetzen.

Physikalisch könnte man erwarten, dass es trotz all dieser Probleme eine lokale Bedingung gibt, wie z. B. die Hoop-Vermutung, die die Masse des Objekts in ihre Formulierung einbezieht. Es gibt mehrere Feinheiten, die mit dieser unbewiesenen Vermutung verbunden sind, und ein Problem hier ist, dass „Masse“ keine lokale Eigenschaft in GR ist (weil Masse = Energie und das Gravitationsfeld auch Energie beisteuert, nicht nur der Spannungs-Energie-Tensor – daher können wir es wieder tun brauchen die vollständige Lösung von G u , v = T u , v .)

Ich werde diesen Link von Willie Wong für alle hinzufügen , die an den neuesten Informationen zur Hoop-Vermutung interessiert sind.

Schließlich könnte meine Antwort auf die verknüpfte Frage von Interesse sein.

Nette Antwort :) Ich muss das ein bisschen überdenken. Übrigens mein ρ BH ( A ) ist in der Tat das gleiche, was Sie als bezeichnet haben D R in deiner Antwort auf die andere Frage.

Beachten Sie auch, dass es exakte Lösungen der Einstein-Gleichung gibt, die nackten Singularitäten entsprechen. Für ein einfaches Beispiel, wenn Sie ein geladenes Schwarzes Loch mit haben Q > M , es gibt überhaupt keinen Ereignishorizont, aber Sie haben immer noch eine Masse M gemessen von einem Beobachter im asymptotischen Unendlichen. Diese Lösungen sind also eine Klasse von Lösungen, die an der Singularität eine "unendliche" Dichte haben, aber gleichzeitig keine schwarzen Löcher sind.

Rechts. Aber andererseits haben Sie die kosmische Zensurvermutung, die besagt, dass sich keine nackten Singularitäten bilden können. Und selbst wenn sie es tun, ist die Existenz einer Singularität in irgendeiner Form ein Hinweis auf einen Zusammenbruch der bestehenden Theorie. In jeder Theorie sind die Werte verschiedener Felder und Observablen, in denen die Theorie Singularitäten entwickelt, de facto Grenzwerte.
@Jerry: Interessant, daran habe ich nicht gedacht ... danke für den Hinweis. Ich denke, die Frage ist ein strittiger Punkt für Schwarze Löcher mit ausreichender Ladung oder Drehimpuls, aber ich hatte eine Situation im Sinn, in der Q = 0 Und J = 0 Daher werde ich die Frage aktualisieren, um dies klarzustellen, falls sich dadurch etwas ändert. +1 für deine Einsicht ;)
@Deepak: Aber die kosmische Zensurvermutung hat sich zumindest bei der Ergänzung einer dichten Teilmenge von anfänglich physikalisch vernünftigen Anfangszuständen von GR als falsch erwiesen. Ungeachtet dessen zeigt dies, dass die Vorstellung einer „universellen Energiedichte eines Schwarzen Lochs“ nicht funktionieren wird.
Außerdem gibt es exotischere nackte Singularitäten, die Massenschichten oder -linien entsprechen, für die sich kein Horizont bildet, selbst wenn Sie unendliche Masse erhalten. Sie können diese für (sehr erfundene) physikalisch vernünftige (aber nicht asymptotisch flache) Anfangsbedingungen erhalten.
@Jerry, Sie sagen, dass es sich bei einem Komplement einer dichten Teilmenge als falsch erwiesen hat ... wäre das Komplement einer dichten Teilmenge nicht eine nicht dichte Teilmenge des Lösungsraums? Können Sie diese Aussage in etwas weniger technischer Sprache erklären?
@Deepak: Es gibt Lösungen von Einsteins Gleichung, die mit physikalisch normaler Materie beginnen und sich zu nackten Singularitäten entwickeln. Alle, die ich kenne, erfordern jedoch eine äußerst sorgfältige Feinabstimmung der Anfangsbedingungen. Leute, die versuchen, kosmische Zensur zu beweisen, versuchen jetzt zu beweisen, dass die Menge von Lösungen, die die kosmische Zensur erfüllen, eine dichte Teilmenge des relevanten Konfigurationsraums ausfüllen. Wie in, das gewünschte Ergebnis würde beweisen, dass alle Lösungen, die die kosmische Zensur verletzen, instabile Feinabstimmungen beinhalten.

Es ist wirklich keine Dichte. Die kritische räumliche Größe ist der Schwarzschild-Radius R   =   2 G M / C 2 , wo die Masse M ist in einem Volumen mit einem Radius enthalten R . Der kritische Faktor ist nicht die Menge an Materie pro Volumeneinheit oder Dichte. Ein supermassereiches Schwarzes Loch hat eine Masse von 10 Milliarden Sonnenmassen und einen Radius, der das 10-Milliarden-fache des Sonnenmassenradius von 1,5 km beträgt. Das Volumen in Standardkoordinaten ist 3.4 × 10 30 k M 3 . Die Sonne hat ein Volumen von 1.4 × 10 18 k M 3 . !0 Milliarden Sonnen haben ein Volumen von 1.4 × 10 28 k M 3 . So könnten 10 Milliarden Sonnen in das Volumen eines Schwarzen Lochs mit 10 Milliarden Sonnenmassen gepackt werden, wobei noch Platz übrig wäre.

Richtig, und die kritische durchschnittliche Dichte für ein Schwarzes Loch dieser Größe wäre 0,7 kg/m^3, was um einen Faktor von fast 2000 geringer ist als die Dichte der Sonne. Ich verstehe nicht wirklich, worauf Sie hinauswollen. ..
Absolut @David, und dies deutet darauf hin, dass die auf Volumendichten basierende Untersuchungslinie möglicherweise falsch ist. Unabhängig von der Dichte der inneren Masse - die groß oder sehr klein sein kann, wie Sie betonen - ist ein gemeinsames Merkmal aller Schwarzen Löcher, dass ihre Begrenzungsfläche (der "Horizont") zufriedenstellend ist S = A / 4 . Daher ist es meiner Meinung nach die Entropiedichte pro Flächeneinheit an der Grenze einer Region mit einer gegebenen Feldkonfiguration, die letztendlich bestimmt, ob diese Region graviert wird oder nicht. Zusammenbruch. Dies umgeht auch alle Fragen zur Definition von Energie.
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