Wie lässt sich die Spin-Spin-Relaxation in MRI/NMR quantenmechanisch erklären?

Im Allgemeinen ermöglicht die Wechselwirkung von Protonenmagnetisierungszuständen mit benachbarten Atomen Zustandsübergänge. Wenn wir sie als kleine Störungen betrachten können, ist in Bezug auf die zeitabhängige Störungstheorie die Übergangswahrscheinlichkeitsrate vom Zustand i nach f gegeben,

$$\begin{equation} W_{fi} = \frac{2\pi}{\hbar} |<f|V|i>|^{2} \delta(E_{f}-E_{i}) \end{equation}$$ Um Energie zu sparen, wenn Übergang von $m=-1/2$Zu $m=+1/2$passiert, sollte ihm ein weiteres Proton folgen $m=+1/2$Zu $m=-1/2$. Nehmen Sie dann zwei beliebige Zustände ein $a,b$mit b-Zustand hat eine höhere Energie. Bezeichnen Sie einen Energieübergang nach oben mit $a-$ $\rightarrow$ $b+$und Abwärtsübergang durch $b+$ $\rightarrow$ $a-$.

Wenn$N_{+}$ist die anfängliche Anzahl von Drehungen mit$m=+1/2$Dann,

$$\begin{equation} \frac{dN_{+}}{dt} = W_{b+a-}N_{-}n_{a}-W_{a-b+}N_{+}n_{b} \end{equation}$$

Wo$n_{b}$ist die Anfangszahl Zustände mit höherer Energie und$n_{a}$niedrigere Energie, bezogen auf den Boltzmann-Faktor,

$$\begin{equation} \frac{n_{a}}{n_{a}} = e^{-\hbar B_{0} \gamma /kT} \end{equation}$$

Für unseren Fall sind die Wahrscheinlichkeitsübergänge gleich, was in der Fall ist$1^{st}$oder Störungstheorie,

$$\begin{equation} W_{b+a-} = W_{a-b+} = W \end{equation}$$

Die Gesamtzahl der Zustände ist festgelegt,

$$\begin{equation} N = N_{+}+N_{-} \end{equation}$$ und Schreiben, $$\begin{equation} N_{\pm} = \frac{N \pm \Delta N}{2} \end{equation}$$ Kombinieren Sie nun die vorherigen Gleichungen, $$\begin{equation} \frac{d \Delta N}{dt} = WN(n_{a}-n_{b})-W\Delta N(n_{a}-n_{b}) \end{equation}$$ Wir wollen im Gleichgewicht $$\begin{equation} \frac{d \Delta N}{dt} = 0 \end{equation}$$ Aber das impliziert $$\begin{equation} \Delta N_{0} = \frac{n_{a}-n_{b}}{n_{a}+n_{b}}N \end{equation}$$ Definieren $W(n_{a}+n_{b})$als $\frac{1}{T_{1}}$Längsrelaxationszeitkonstante, dann erhalten wir

$$\begin{equation} \frac{d \Delta N}{dt} = \frac{\Delta N_{0} -\Delta N}{T_{1}} \end{equation}$$

Nehmen Sie schließlich den Durchschnitt über die Lautstärke und Sie erhalten etwas Ähnliches

$$\begin{equation} \frac{d M_{z}}{dt} = \frac{M_{0}-M_{z}}{T_{1}} \end{equation}$$ Dies ist die Längskomponenten-Relaxationsgleichung des Spins.