Wie lange dauert es, um Position und Geschwindigkeit optimal zu ändern?

Question

Wie lange dauert es, um Position und Geschwindigkeit optimal zu ändern?

Matthäus Piziak

Ein Raumschiff, das sich in zwei Dimensionen bewegt, ist in Position $(x, y)$ und hat eine Geschwindigkeit $(v_x, v_y)$ . Es hat auch eine maximale Beschleunigung $a_{max}$ . Sein Ziel ist es, in Position zu sein $(x', y')$ mit einer Geschwindigkeit von $(v'_x, y'_x)$ . Welcher Weg nimmt am wenigsten Zeit in Anspruch?

Ich sehe, dass sich das Problem auf ein Raumschiff reduzieren lässt $(0, 0)$ mit einer Geschwindigkeit von $(0, 0)$ , versucht, ein Objekt abzufangen, das gerade bei ist $(x'-x, y'-y)$ mit einer Geschwindigkeit von $(v'_x - v_x, y'_x - y_x)$ .

Ich habe eine Vermutung, dass der optimale Weg immer eine konstante Beschleunigung in eine Richtung sein wird, möglicherweise mit einer Umkehrung irgendwo auf dem Weg.

Ich bin neugierig, weil ich glaube, dass die Gesamtzeit eine konsistente und zulässige Heuristik für einen Newtonschen Pfadalgorithmus sein wird, der die Geschwindigkeit berücksichtigt.

Klärung

Es gibt keine zusätzlichen Einschränkungen. Das Problem besteht darin, die Zeit zu minimieren, nicht zu sparen $\Delta v$ .

QMechaniker

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fibonatisch

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WalyKu · Answer 1

Ich erinnere mich, dass der Lagrange-Multiplikator für diese Art von Problem verwendet werden kann. Ich hatte es selbst nicht oft benutzt, also werde ich nicht versuchen, es vom theoretischen Standpunkt aus zu erklären.

Kurz gesagt, es ist ein Verfahren zum Auffinden lokaler Maxima/Minima für eine gegebene Funktion unter bestimmten Randbedingungen.

Diese Methode wird Ihnen die Lösung geben, aber Sie müssen nachlesen, wie man sie benutzt. Alternativ können Sie jetzt versuchen, einige Beispiele zu finden, da Sie wissen, wie es heißt, es wird wahrscheinlich etwas Ähnliches wie bei Ihrem Raumschiffproblem geben.

Viel Glück!

BEARBEITEN :

Sehen Sie sich den Artikel Brachistochrone-Kurve an . Es ist die Anwendung der Lagrange-Methode auf eine Klasse von Problemen, die Ihrer ähnlich ist.

nivag · Answer 2

Deine Vermutung ist richtig. Die optimale Lösung ist die Beschleunigung bei $a_{max}$ gefolgt von einer Verzögerung. Das richtige Verhältnis (und Richtung) der beiden hängt von der relativen Anfangs- und Endgeschwindigkeit ab.

Für den 1D-Fall mit Geschwindigkeitsänderung von $v_i$ Zu $v_f$ , von der Position $x_i$ Zu $x_f$ , Beschleunigung für $t_1$ und abbremsen für $t_2$ . Sie können die folgenden Gleichungen ableiten.

v_{F} = v_{ich} + A (T_{1} - T_{2})

$v_f=v_i + a(t_1-t_2)$

X_{F} = X_{ich} + v_{ich} (T_{1} + T_{2}) + \frac{1}{2} A (T_{1}^{2} - T_{2}^{2}) + A T_{1} T_{2}

$x_f=x_i+v_i(t_1+t_2)+\frac{1}{2}a(t_1^2−t_2^2)+at_1t_2$

Dies sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, für die Sie auflösen können $t_1$ Und $t_2$ .

Wenn Sie auch die Richtung ändern (es ist also eigentlich ein 2D-Problem, wie Sie angeben), ist es etwas komplizierter, da Sie auch die Schubrichtung optimieren müssen, aber es gelten immer noch die gleichen Prinzipien.

Als Nebenbemerkung neigen echte Raumfahrzeuge dazu, dies nicht zu tun, da sie nicht am sparsamsten sind, was für Raumfahrzeuge ein größeres Problem darstellt.

Vielen Dank für Ihre Antwort! Ich habe Probleme beim Herleiten der zweiten Gleichung. Ich fühle, dass $x_f$ kann nicht unabhängig sein von $v_i$ . Ich erhalte $x_f = x_i + v_i(t_1 + t_2) + \frac{1}{2}a({t_1}^2 - {t_2}^2) + at_1t_2$ .
Ja du hast Recht. Ich habe nicht aufgepasst, werde meine Antwort bearbeiten
Ich bin mir nicht so sicher, ob dies die optimale Lösung wäre, da Sie beide nicht die Kriterien für eine optimale Lösung und den Nachweis, dass diese erfüllt sind, angeben. Für mich scheint es nicht optimal zu sein, die ganze Zeit mit maximaler Beschleunigung zu fahren. Wenn beispielsweise beide Geschwindigkeiten (nahezu) Null sind und Sie nur eine bestimmte Strecke zurücklegen müssen, scheint es mir, dass ein sehr kleiner Anfangsimpuls am Anfang und am Ende ausreichen würde (wenn Sie diesen verwenden, wird die gesamte ausgestoßen $\Delta v$ wäre die Kostenfunktion).
Vielen Dank für Ihren Kommentar und Ihren Fragelink. Ich habe die Problembeschreibung präzisiert. Ziel ist es, den Weg zu finden, der am wenigsten Zeit in Anspruch nimmt. $\Delta v$ ist nicht Teil der Kostenfunktion.

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