Wie leitet man den Freiteilchen-Propagator in 2D ab?

Ich versuche, den folgenden Ausdruck des freien Teilchenpropagators in 2D abzuleiten, gegeben durch

ρ 0 ( R , R ' , β ) = ⟨ R ' | e − β H ^ | R ⟩ = 1 4 π β e − ( R − R ' ) 2 4 β
Wo H ^ = − ∇ R 2 der Freiteilchen-Hamiltonoperator in 2D ist, und wo wir angenommen haben ℏ 2 2 M = 1 .

In einem ersten Versuch habe ich versucht, Rotationsinvarianz der Wellenfunktion anzunehmen ψ ( R , θ ) = 1 2 π R ( R ) (wobei also nur s-Wellen-Lösungen berücksichtigt werden), was Lösungen der Schrödinger-Gleichung in Form von Bessel-Funktionen nullter Ordnung ergibt. Leider kann ich diese Ergebnisse nicht mit der obigen Gleichung in Einklang bringen.

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Sie haben auch genommen β = ich T / ℏ . Die beiden kartesischen Teile des Problems kommunizieren nicht, also faktorisieren sie. Warum um alles in der Welt würdest du zu Polarkoordinaten gehen?

Ihre Antwort ist eine triviale 2D-Gaußsche Fourier-Transformation, also das bloße Produkt zweier vollständig getrennter 1D-Propagatoren!

ρ 0 ( R , R ' , β ) = ⟨ R ' | e − β H ^ | R ⟩ = ⟨ R ' | e − β H ^ ∫ D k   | k ⟩ ⟨ k | R ⟩ = ∫ D k   e ich k ⋅ ( R ' − R ) 4 π 2 e − β k 2 = 1 4 π β e − ( R − R ' ) 2 / 4 β ∴

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