Wie man ∫Σδ(∗F)∧δA=∫ΣdΣμδFμν∧δAν∫Σδ(∗F)∧δA=∫ΣdΣμδFμν∧δAν\int_{\Sigma}\delta(*F)\wedge\delta A =\int_{ herleitet \Sigma}d\Sigma^{\mu}\delta F_{\mu\nu}\wedge\delta A^{\nu} für freie EM? [Duplikat]

Lassen Sie uns hier nur den letzten konzeptionellen Teil der Frage von OP (v4) ansprechen.

Gegeben sei eine 4-dimensionale orientierbare Lorentz-Mannigfaltigkeit $(M,\mathbb{g})$mit kanonischem Pseudovolumen$^1$form

$$\Omega~:=~\sqrt{|g|}\mathrm{d}x^{0}\wedge \mathrm{d}x^{1}\wedge\mathrm{d}x^{2}\wedge\mathrm{d}x^{3}~\in~\Gamma(\bigwedge \! {}^4(T^{\ast}M)), \qquad g~:=~\det(g_{\mu\nu}). \tag{A}$$ [Beachten Sie, dass dieses Omega nichts mit der symplektischen Form in Gl. (1) & (2)] Hamiltonsche Quantisierung in der Feldtheorie beruht typischerweise auf der Wahl eines Vektorfeldes $X\in \Gamma(TM)$der den Fluss eines Evolutionsparameters darstellt, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Für ein zeitähnliches Vektorfeld können wir es immer normieren, wenn wir wollen; aber wenn es lichtartig ist, gibt es keine kanonische Wahl $X$.

Als nächstes wählen wir eine Cauchy-Oberfläche aus $\Sigma\subset M$der Kodimension 1, dh eine Hyperfläche, so dass

$$T^{\ast}_p\Sigma~=~{\rm Ker}(X_p), \qquad p~\in~\Sigma.\tag{B}$$ Hier haben wir den Vektor identifiziert $$X_p: T^{\ast}_pM~\to~ \mathbb{R}\tag{C}$$ mit einem Funktional auf dem Kotangensraum $T^{\ast}_pM$. Wir können dann eine Pseudovolumenform definieren $\omega \in \Gamma(\bigwedge\! {}^3(T^{\ast}\Sigma))$auf der Cauchy-Oberfläche $\Sigma$über eine Kontraktion $$\omega_p~:=~i_{X_p}\Omega_p, \qquad p~\in~\Sigma.\tag{D}$$

--

$^1$Eine Pseudovolumenform transformiert sich als

$$\Omega^{\prime} ~=~{\rm sgn }(J)~\Omega, \qquad J~:=~\det(\frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\mu}}), \tag{E}$$ unter allgemeinen Koordinatentransformationen $x^{\mu} \to x^{\prime \nu}=f^{\nu}(x)$.