Magnetisches Monopol- und Vektorpotential

Sie suchen eine 1-Form$A$An$\mathbb{R} - \{0\}$so dass$\mathrm{d}A = B$. Auf allen$\mathbb{R} - \{0\}$,$\mathrm{d}B = 0$, das könnte also existieren. Da Sie jedoch einen magnetischen Fluss haben, benötigen Sie das Integral von$B$über jeder 2-Sphäre um den Ursprung herum sein sollte$g$. Daher gilt nach dem Satz von Stokes:

was ein Widerspruch zu ist$g \neq 0$. Daher eine solche$A$kann nicht existieren.

^{Dies ist eine formellere Umformulierung der Antwort von Holographer .}

Der magnetische Fluss durch jede geschlossene Oberfläche, die den Ursprung umschließt, ist gerade$g$(die magnetische Ladung liegt bei). Wenn das Magnetfeld von einem Vektorpotential stammt$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$, ist dieses Oberflächenintegral nach dem Satz von Stokes ein Integral von$\vec{A}$um die Grenze der Oberfläche. Aber die Oberfläche ist geschlossen, hat also keine Grenze, also muss die Antwort verschwinden. Dies ist ein Widerspruch, wenn$g$ist ungleich Null, also nicht so$\vec{A}$existiert.

(Dies hat eine differenziertere Interpretation in der Sprache der Differentialformen und der de Rham-Kohomologie, aber das ist hier nicht wirklich notwendig!)

user23873 hat meine Frage in den Kommentaren beantwortet. Ich zitiere: "Versuchen Sie mal das Buch 'Geometry, Topology and Gauge Fields: Foundations' zu lesen, der Autor (Naber) hat diese Diskussion gleich im einleitenden Kapitel und weist darauf hin, wie die Unmöglichkeit, ein richtiges Vektorpotential auf ℝ3−0 zu definieren, damit zusammenhängt seine Topologie (die zweite Homotopiegruppe ist nicht trivial) und auch, wie klassische Dirac-Monopole daraus entstehen. Obs: Ihre Hypothese hat ein Flussintegral ungleich Null, genau wie die äquivalente Lösung für das elektrische Punktladungsfeld.