Wie sind die Definitionen eines kohärenten Zustands äquivalent?

Ich versuche, kohärente Zustände zu verstehen . Soweit ich finden konnte, gibt es drei äquivalente Definitionen und im Allgemeinen gehen viele Quellen von einer anderen aus, aber ich sehe ihre Äquivalenz nicht. Ich wiederhole die Definitionen und ihre Äquivalenzen, die auf der Wikipedia-Seite angegeben sind:

  1. Eigenzustand des Vernichtungsoperators:
    a | a ⟩ = a | a ⟩
  2. Verschiebungsoperator des Vakuums:
    | a ⟩ = e a a † − a ∗ a | 0 ⟩
  3. Zustand minimaler Unsicherheit:
    Δ X = Δ P = 1 2

Ich kann nicht sehen, wie sie gleich sind! Kann mir bitte jemand erklären, wie man diese voneinander ableiten kann?

Beachten Sie, dass (1) nicht sehr direkt aus (3) folgt, da gequetschte Zustände auch minimale Unsicherheitszustände sind, aber keine Eigenzustände von sein müssen a . Es wird jedoch immer einen Vernichtungsoperator geben b ^ = u x ^ + ich v j ^ für die sie Eigenzustände sind.
@EmilioPisanty, deshalb hat (3) \delta X = \delta P (bei der Wahl der Einheiten, bei denen m = \hbar = \omega = 1). Gequetschte Zustände erfüllen die Gleichheit nicht.
Sie können das definitiv tun, aber beachten Sie diese Einstellung ω = 1 ist keineswegs eine natürliche Einheit. Sie können einstellen − ich [ x , p ] = ℏ = 1 , sondern spezifizieren ω und m macht ein bisschen Gewalt, um den Raum zu phasen. Sie sollten entweder sagen Δ x Δ p = 1 2 ⇒ ∃ a :   a | a ⟩ = a | a ⟩ , oder geben Sie die minimalen Unsicherheiten an, die Sie in Bezug auf die Konstanten festlegen, die definieren a bezüglich x und p .
Hmm, ich mag den Begriff „Gewalt zum Phasenraum“. Oder stattdessen kann (3) definiert werden, wie es aussieht Δ X = ℏ 2 m ω , Δ P = ℏ m ω 2 ? Wird in diesem Fall auch diese Beziehung durch gequetschte Zustände erfüllt?
Siehe auch : physical.stackexchange.com/q/60655/2451 und darin enthaltene Links.

Antworten (1)

Siehe die schöne Ergänzung zu kohärenten Zuständen im Buch von Cohen-Tannoudji, Diu und Laloë, Band 1. Es beginnt damit, kohärente Zustände als keinen der von Ihnen erwähnten zu definieren, und leitet dann alle Eigenschaften ab.

Um die Frage zu beantworten, wenn Sie mit Definition 2 beginnen, können Sie leicht 1 zeigen und dann von 2, 3. Erweitern Sie zuerst die Exponentialfunktion mit der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel :

e a a † − a ∗ a = e a a † e − a ∗ a e − 1 2 | a | 2 [ a † , − a ]
und auf den Vakuumzustand einwirken lassen | 0 ⟩ bekommen
| a ⟩ = e − | a | 2 / 2 e a a † e − a ∗ a | 0 ⟩ = e − | a | 2 / 2 e a a † | 0 ⟩ = e − | a | 2 / 2 ∑ n = 0 ∞ a n n ! | n ⟩
Nun, da Sie den Ausdruck für haben | a ⟩ In Bezug auf Zustände, die Sie bereits kennen, können Sie operieren a darauf, um festzustellen, dass es sich tatsächlich um einen Eigenzustand des Absenkungsoperators handelt, was zeigt, dass Definition 2 Definition 1 impliziert.

Eigenschaft 3 folgt aus dem Finden ⟨ X 2 ⟩ und ⟨ P 2 ⟩ für diesen Zustand, indem die Operatoren in Bezug auf ausgedrückt werden a und a † , eine ziemlich normale Übung.

Tut mir leid, können Sie erklären, warum e − a ∗ a | 0 ⟩ = | 0 ⟩ „Das sehe ich nicht. Wenn ich die Exponentialfunktion zu einer Taylor-Reihe erweitere, dann sollte dieser ganze Term einfach zu Null berechnet werden.
@Quantumwhisp, wenn Sie es um den Term nullter Ordnung erweitern (in a ) der Exponentialreihe ist die Identität, die gibt | 0 ⟩ .
Der Erwartungswert beispielsweise des Zahlenoperators in einem kohärenten Zustand | a > erweist sich | a | 2 . Wenn wir wählen a = | a | e ich θ , was sind dann die typischen Werte für | a | und θ ?
Wie sind die Definitionen eines kohärenten Zustands äquivalent?
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