Wie steif ist eine gequetschte Stange oder ein gequetschter Zylinder?

Gesamtdurchbiegung

Wenn man bedenkt, dass es einen kleinen Kontaktbereich gibt und wir das Hertzsche Modell verwenden können, scheint es eine analytische Lösung 1 zu geben (obwohl ich dies nicht als Zerkleinerung bezeichnen würde ) .

$$2\delta = \frac{P}{L} (V_1 + V_2)\left[1 + \log\left\{\frac{2L^3}{(V_1 +V_2) P d}\right\}\right]$$

Wo$V_i = (1 - \nu_i^2)/(\pi E)$. Wenn wir annehmen, dass die Ebenen gegenüber dem Zylinder unendlich starr sind, erhalten wir

$$2\delta = \frac{P V_1}{L} \left[1 + \log\left\{\frac{2L^3}{V_1 P d}\right\}\right]$$

oder

$$2 \delta = \frac{P}{\pi E_1 L} \left(1 - \nu_1^2\right) \log{\left[\frac{2 \pi E_1 L^3}{d P \left(1 - \nu_1^2\right)} \right]}$$

Diese Gleichung kann invertiert werden, um zu erhalten

$$P = \frac{2 \pi E_1 L^3}{d \left(1 -\nu_1^2\right)} e^{\operatorname{LambertW}{\left (- \frac{d \delta}{L^2} \right )}}$$

Stress im Innenraum

Wir können den Zylinder als 2D-Problem modellieren: eine Scheibe mit radialen Kräften in den Polen. Die Spannungsfunktion für eine Scheibe mit Durchmesser$d$mit Zentrum im Ursprung und radial nach innen gerichteten und entgegengesetzten Kräften$P$platziert bei$(0, d/2)$Und$(0, -d/2)$wird von gegeben

$$\phi = x\arctan\left[\frac{x}{d/2 - y}\right] + x\arctan\left[\frac{x}{d/2 + y}\right] + \frac{P}{\pi d}(x^2 + y^2)$$

Wir wissen, dass die Spannungen gegeben sind durch

$$\begin{align} \sigma_{xx} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\\ \sigma_{yy} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}\\ \sigma_{xy} = -\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} \end{align}$$

das gibt

$$\sigma_{xx} = 2 \left[\frac{P}{\pi d} - \frac{32 x^{4}}{\left(d + 2 y\right)^{5} \left(\frac{4 x^{2}}{\left(d + 2 y\right)^{2}} + 1\right)^{2}} - \frac{32 x^{4}}{\left(d - 2 y\right)^{5} \left(\frac{4 x^{2}}{\left(d - 2 y\right)^{2}} + 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{\left(d + 2 y\right)^{3} \left(\frac{4 x^{2}}{\left(d + 2 y\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{8 x^{2}}{\left(d - 2 y\right)^{3} \left(\frac{4 x^{2}}{\left(d - 2 y\right)^{2}} + 1\right)}\right]$$ $$\sigma_{yy} = 2 \left[\frac{P}{\pi d} - \frac{8 x^{2}}{\left(d + 2 y\right)^{3} \left(\frac{4 x^{2}}{\left(d + 2 y\right)^{2}} + 1\right)^{2}} - \frac{8 x^{2}}{\left(d - 2 y\right)^{3} \left(\frac{4 x^{2}}{\left(d - 2 y\right)^{2}} + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(d + 2 y\right) \left(\frac{4 x^{2}}{\left(d + 2 y\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{2}{\left(d - 2 y\right) \left(\frac{4 x^{2}}{\left(d - 2 y\right)^{2}} + 1\right)}\right]$$ $$\sigma_{xy} = - 8 x \left[\frac{4 x^{2}}{\left(d + 2 y\right)^{4} \left(\frac{4 x^{2}}{\left(d + 2 y\right)^{2}} + 1\right)^{2}} - \frac{4 x^{2}}{\left(d - 2 y\right)^{4} \left(\frac{4 x^{2}}{\left(d - 2 y\right)^{2}} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(d + 2 y\right)^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{\left(d + 2 y\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{1}{\left(d - 2 y\right)^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{\left(d - 2 y\right)^{2}} + 1\right)}\right]$$

und für Belastungen

$$\begin{align} \epsilon_{xx} &= \frac{1}{E}(\sigma_{xx} - \nu \sigma_{yy})\\ \epsilon_{yy} &= \frac{1}{E}(\sigma_{yy} - \nu \sigma_{xx})\\ \epsilon_{xy} &= \frac{\sigma_{xy}}{G} \, . \end{align}$$

Für Verschiebungen fallen mir zwei Möglichkeiten ein.

1. Schreiben Sie die Spannungsfunktion in Polarkoordinaten um und verwenden Sie dann die Mitchell-Lösung für Verschiebungen. Die Stressfunktion sollte in etwa so aussehen

$$\phi(r,\theta) = r\theta \sin\theta + \frac{2P}{\pi d}r^2$$

2. Integrieren Sie die Stämme

$$\begin{align} u_x = \int\epsilon_{xx} dx + f(y)\\ u_y = \int\epsilon_{yy} dy + g(x) \end{align}$$

mit$2\epsilon_{xy} = \partial u_x/\partial x + \partial u_y/\partial y$, differenziere diese Gleichung bzgl$y$Und$x$und löse nach$f$Und$g$.

Verweise

1. Puttock, MJ, & Thwaite, EG (1969). Elastisches Zusammendrücken von Kugeln und Zylindern bei Punkt- und Linienkontakt. Melbourne, Australien: Wissenschaftliche und industrielle Forschungsorganisation des Commonwealth.