Wie teilen sich Impuls und Drehimpuls beim Stoß auf?

Wie teilen sich Impuls und Drehimpuls beim Stoß auf?

Der Schlüssel hier ist, dass das Objekt einen vertikalen Impuls vom Boden erfährt. Die Beschreibung, wie sich der Impuls in Impuls und Drehimpuls aufteilt, wird durch das Aufbringen von Kräften und Drehmomenten über einen Zeitraum gegeben. Wenn$S=F \Delta t$ist der in der Vertikalen aufgebrachte Impuls, können wir uns ansehen, wie sich Linear- und Drehimpuls ändern:

• $m\dot{y}'=m\dot{y}+S$(linear Momentum)
• $I\omega'\hat{z}=I\omega \hat{z}+\vec{r}\times (S\hat{y})$(Drehimpuls -$\vec{r}$ist der Vektor vom Massenmittelpunkt des Objekts zum Kontaktpunkt des Objekts)

Wenn Sie diese beiden Gleichungen in eine Gleichung einsetzen, die Energieerhaltung fordert, können Sie nach dem Impuls auflösen$S$, zusammen mit$\dot{y}'$Und$\omega'$, und dies gibt eine vollständige Beschreibung der Auswirkungen. Ich arbeite es unten vollständig aus.

Allgemeine Lösung für einen starren Körper, der mit dem Boden kollidiert

Um mit einem rotierenden starren Körper umzugehen, arbeite ich im 3D-Raum (obwohl wir wirklich nur zwei Dimensionen benötigen) und mit einem Rechteck, wie in Ihrem Bild gezeigt. Ich werde den Drehimpuls nutzen. Die Schlüssel hier sind das Vektorkreuzprodukt und das Konzept eines Impulses!

Weiter zu Definitionen:$(x,y)$sind die Koordinaten des Massenschwerpunkts des Objekts. Ich gehe davon aus, dass sich das Objekt in einer 2D-Ebene bewegt$z=0$. Das Objekt hat eine$x$Geschwindigkeit$\dot{x}$, A$y$Geschwindigkeit$\dot{y}$, eine Winkelgeschwindigkeit$\omega$, eine Masse$m$, und ein Moment der Trägheit über die$\hat{z}$Achse,$I$.

Der Block berührt irgendwo den Boden und erhält einen vertikalen "Schlag" - einen Impuls - vom Boden. Um diesen Schlag zu beschreiben, lassen Sie$\vec{r}$sei der Vektor vom Massenmittelpunkt des Objekts zu der Ecke, wo es den Boden berührt. Das Objekt hat Energie$E=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}m\dot{y}^2+\frac{1}{2}I \omega^2$und Drehimpuls$\vec{L}=I\omega\hat{z}$. Indem wir aufschreiben, wie sich diese Größen ändern (Impuls, Drehimpuls, Energie), lösen wir die Aufgabe.

Nach dem Stoß hat das Objekt Geschwindigkeiten$\dot{x}'$Und$\dot{y}'$, und Winkelgeschwindigkeit$\omega'$. Das Problem besteht darin, diese Größen zu bestimmen. Es ist hilfreich, sich vorzustellen, dass die Kollision nicht sofort erfolgt, sondern über einen kurzen Zeitraum stattfindet$\Delta t$.

Für die Dauer des Aufpralls wirkt eine nach oben gerichtete Normalkraft$F\hat{y}$. Über den gesamten Zeitraum$\Delta t$das gibt einen Impuls$F\Delta t=S$. Die Änderung der vertikalen Geschwindigkeit durch diesen Impuls ist gerecht$S/m$, so dass$\dot{y}'=\dot{y}+S/m$. Die Kraft$F$liefert ein Drehmoment$\vec{r}\times (F\hat{y})$, Wo$\vec{r}$ist der Vektor vom Massenmittelpunkt des Objekts zu seinem Kontaktpunkt mit dem Boden. Dies ergibt eine Gesamtänderung des Drehimpulses:$I\omega'\hat{z}=I\omega \hat{z}+\vec{r}\times (F\hat{y})$

Wir haben also drei Gleichungen:

1. $\frac{1}{2}m\dot{y}^2+\frac{1}{2}I \omega^2=\frac{1}{2}m\dot{y}'^2+\frac{1}{2}I \omega'^2$(Energieeinsparung.$\dot{x}$kann sich nicht ändern, da die Kraft vertikal gerichtet ist)
2. $I\omega'\hat{z}=I\omega \hat{z}+\vec{r}\times (S\hat{y})$(Drehimpulsänderung durch Vertikalimpuls)
3. $m\dot{y}'=m\dot{y}+S$(Impulsänderung durch vertikalen Impuls)

Dies ergibt drei Gleichungen in drei Unbekannten:$\omega'$,$\dot{y}'$, Und$s$. Wenn Sie die Gleichungen zwei und drei in Gleichung 1 einsetzen, erhalten Sie eine quadratische Gleichung$s$und du kannst es lösen. Eine quadratische Gleichung hat zwei Lösungen.

Die erste Lösung ist$\omega'=\omega$,$\dot{y}'=\dot{y}$, Und$s=0$. Nichts passiert steht im Einklang mit der Energieeinsparung!

Die zweite Lösung ist, wo$\vec{r}=(r_x, r_y,0)$:

Beachten Sie, dass die vertikale Geschwindigkeit des Kollisionspunkts ist$\omega r_x$, und diese Menge erscheint einige Male in der Formel!