Wie verstehe ich die kinetische Energieformel? [Duplikat]

Wenn Leute oft fragen: "Wie kann ich diese Gleichung oder diesen Prozess verstehen?" Was sie wirklich meinen, ist, ob sie es in vertrautere Prozesse herunterbrechen können, die sie als selbstverständlich für grundlegend halten. Man kann nicht immer wieder fragen, was oder warum oder wie man schließlich an einen Punkt kommen muss, an dem keine weitere Vereinfachung mehr möglich ist, und man die Dinge so nehmen muss, wie sie sind. Normalerweise ist eine gute Vereinfachung eine, die am meisten erklären oder die größte Menge an Informationen über das Verhalten der physischen Welt umfassen kann. Newtons Gleichung mit seiner Gravitationstheorie erklärt einen sehr großen Teil unserer täglichen Erfahrungen.

Nehmen wir an, jemand fragt: „Was ist Masse?“. In der Schule lernt man „es kommt auf die Menge an Substanz an“ und ist damit zufrieden. Aber was ist Substanz? Nehmen wir an, wir sagen, Masse ist das Maß der Trägheit. Was ist dann Trägheit? Trägheit ist die Eigenschaft, aufgrund derer verschiedene Objekte unter derselben Kraft auf unterschiedliche Geschwindigkeiten beschleunigt werden. Ich muss jetzt Kraft oder zumindest einen Begriff von „gleicher“ Kraft definieren. Angenommen, eine Feder, die aus ihrer Gleichgewichtsposition um 1 cm verlängert wird. Was ich dann getan habe, ist nur, ein Maß meiner intuitiven Vorstellung von dem zu schaffen, was ich Kraft nenne. Vielleicht ist eine gröbere Definition ein Vorstoß von meinem Freund Jack. Wenn Sie diesen Weg einschlagen, werden Sie sich entweder in „Definitions“-Kreisen bewegen oder auf unbestimmte Zeit neue Begriffe definieren.

Natürlich ändern sich diese Definitionen, wenn Sie mehr und mehr Physik lernen. In der Quantenmechanik gibt es keine Kraft. Es macht also keinen Sinn, über Bewegung oder Beschleunigung zu sprechen, um die Masse zu definieren, da sie in unserer Theorie keine grundlegenden physikalischen Eigenschaften sind. Was Sie also verstehen müssen, ist, dass physikalische Größen letztendlich Objekte sind, die uns helfen, Muster in der Natur zu verstehen. Normalerweise wandelt man sie in Zahlen um, die in irgendeine mathematische Theorie passen, die irgendein Verhalten unseres beobachteten Universums darstellt.

Nun, nachdem dies gesagt wurde, ist der beste Weg, um zu verstehen, wie diese spezifische Gleichung der kinetischen Energie zustande kommt, einfach in Bezug auf die Erhaltung. Woher wissen wir, dass etwas konserviert ist? Wir finden es aus Experimenten. Es wurde aus Experimenten herausgefunden, dass diese Menge tatsächlich historisch ist$\sum_i m_iv_i^2$, blieb erhalten. Sagen wir, wir machen ein paar Kollisionsexperimente. Wir sehen aus diesen Experimenten, dass bei einigen Kollisionsprozessen$\sum_i mv^2$(wie die Hälfte kam, ist eine andere Geschichte) konserviert wird. Wir können aus diesen Experimenten auch sehen, dass die Menge$mv$bleibt in allen Fällen eine Konstante (wenn wir ein vorheriges Maß für die Masse haben). Als unser experimentelles Wissen über die Welt zunahm, fanden wir heraus, dass diese Größe grundlegender ist, als wir bisher dachten, und Teil eines grundlegenderen Prinzips der Energieeinsparung ist.

Wenn man nun die Arbeit, die an einem Objekt durch die Anwendung einer Kraft geleistet wird, definiert als

$$\begin{eqnarray} W = \int_{x_1}^{x_2}F(x)\,\mathrm d x.\\ =\int_{x_1}^{x_2}m \frac{dv}{dt} dx\\ =\int_{x_1}^{x_2}m \frac{dx}{dt} dv\\ =\int_{v_1}^{v_2}m v dv\\ =\frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 \end{eqnarray}$$ Das bedeutet, dass sich jede am Körper verrichtete Arbeit als Veränderung manifestiert$\frac{1}{2}mv^2$des Objekts. Das gibt uns eine Vorstellung davon, was die Menge ist. Aber nichtsdestotrotz hat die Gleichung selbst meines Wissens nach keine weitere Bedeutung als diese oder kann besser "verstanden" werden.

Ich glaube nicht, dass ich Ihrer Frage gerecht geworden bin, und ich habe das Gefühl, dass meine Antwort eher wie ein Schimpfwort ist. Aber wenn Sie immer noch ratlos sind, ist es immer schön, etwas Geschichte nachzuschlagen, um zu sehen, wie die Gründerväter der Physik sich ebenso wenig bewusst waren und wie sie es verstanden haben. Unser Problem ist einfach, dass wir einige Dinge für selbstverständlich halten, die überhaupt nicht sehr offensichtlich sind.

Kannst du ein bisschen klarstellen, was du zu verstehen versuchst? Der$v^2$Begriff sagt Ihnen, dass die kinetische Energie eines Objekts mit Masse$m$steigt mit dem Quadrat der Geschwindigkeit.

$$KE\propto v^2$$ Wenn also die Objekte ihre Geschwindigkeit verdoppeln$v_{f}\rightarrow 2\cdot v_{i}$das bedeutet, dass sich seine kinetische Energie um den Faktor erhöht$4$.

$$KE_{i}\propto v_{i}^2$$ $$KE_{f}\propto v_{f}^2$$ Aber$v_{f}=2\cdot v_{i}$was bedeutet, dass: $$KE_{f}\propto \left(2\cdot v_{i}\right)^2=4\cdot v_{i}^2$$ Und das bedeutet, dass die kinetische Energie zugenommen hat$4$mal: $$\frac{KE_{f}}{KE_{i}}=\frac{4\cdot v_{i}^{2}}{v_{i}^{2}}=4$$

$m$ist nur die Masse des Objekts. Die kinetische Energie eines Objekts proportional zu seiner Masse. Betrachten wir zwei Objekte mit unterschiedlichen Massen. Die Masse des Objekts$1$Ist$m_{1}$und die Masse des Objekts$2$Ist$m_{2}$, Wo$m_{1}\neq m_{2}$. Sagen wir$m_{1}>m_{2}$. Wir können den kinetischen Energieausdruck für beide Objekte schreiben (ohne die$\tfrac{1}{2}$Begriff):

$$KE_{1}\propto m_{1}v_{1}^{2}$$ $$KE_{2}\propto m_{2}v_{2}^{2}$$

Wenn beide Objekte die gleiche Geschwindigkeit haben$v=v_{1}=v_{2}$, wir können schreiben:

$$KE_{1}\propto m_{1}v^{2}$$ $$KE_{2}\propto m_{2}v^{2}$$

Teilen$\tfrac{KE_{1}}{KE_{2}}$wir bekommen:

$$\frac{KE_{1}}{KE_{2}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}$$

Also wenn$m_{1}>m_{2}$, das bedeutet, dass$KE_{1}>KE_{2}$.

Der$\tfrac{1}{2}$Term ist nur eine Konstante und aus physikalischer Sicht irrelevant. Es ist nur eine Zahl, mit der Sie den Ausdruck multiplizieren müssen und die sich aus der mathematischen Berechnung ergibt. Auch dieser kinetische Energieausdruck ist nur gültig, wenn$\tfrac{v}{c}\ll 1$. Der allgemeine Ausdruck für die kinetische Energie lautet:

$$KE=E-E_{0}$$

also die Differenz zwischen der Gesamtenergie des Teilchens und seiner Ruheenergie.

Weiter ausbauen:

$$KE=mc^2\left(\gamma -1\right)$$

$$KE=mc^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} -1\right)$$

Wir können diesen Begriff übernehmen$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$und schreibe seine Taylorentwicklung:

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}(a)}{n!}(x-a)^n=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots$$

In unserem Fall$f(x)$Ist:

$$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\left(\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^{1/2}=\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$$ Wir sind interessiert an$\tfrac{v}{c}\ll 1$. $$\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}=1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)^2+\cdots$$

Gehen wir zurück und setzen diese Erweiterung in die allgemeine Formel für kinetische Energie ein:

$$KE=mc^2\left[\underbrace{\left(1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)^2+\cdots\right)}_{\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}} -1\right]$$

$$KE=mc^2\left[\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)^2+\cdots\right]$$

Wir können also Folgendes berücksichtigen:

$$KE\approx \frac{1}{2}mv^2 \quad, \text{ for $\tfrac{v}{c}\ll 1$}$$

Also,$\frac{mv^2}{2}$ist das Ergebnis, das wir aus dem Arbeitsenergiesatz erhalten.

$$dW_{net}=\vec{F_{net}}.d\vec{s}=m\vec{a_{net}}.d\vec{s}$$ Nachdem wir diese Gleichung weiter gelöst haben, erhalten wir:

$$W_{total}=\Delta K.E=\frac{m(v_{f}^2-v_{i}^2)}{2}$$

Hoffe das hilft!