Wie werden die Positionen der Lagrange-Punkte berechnet?

Einzelheiten zu L4 und L5, einschließlich einer faszinierenden Lösung, bei der das gleichseitige Dreieck kontinuierlich seine Größe ändert, aber gleichseitig bleibt, finden Sie in dieser Antwort . Diese und andere Varianten des Dreiecksmusters funktionieren auch dann, wenn keine der Massen ignoriert wird. Wenn die drei Massen gleich sind, ist der Massenmittelpunkt gleich dem geometrischen Mittelpunkt. Es gibt mehrere Definitionen des Mittelpunkts eines Dreiecks , aber für ein gleichseitiges Dreieck stimmen sie alle überein. Wenn die Massen nicht alle gleich sind, liegt der Schwerpunkt am gewichteten Durchschnitt der Positionen der drei Körper, und das gesamte Dreieck dreht sich um diesen Punkt mit einer bestimmten konstanten Winkelgeschwindigkeit.$\omega^2 = G (m_1 + m_2 + m_3)/d^3$, Wo$d$ist der Abstand der drei Massen zueinander .

L3 ist einer der linearen, der zuerst von Euler gefunden wurde, genau wie L1 und L2. Es liegt auf der Linie zwischen den beiden größeren Massen, aber auf der gegenüberliegenden Seite der größten Masse, also sieht die Aufstellung so aus:

L3 --- Primär --- L1 --- Sekundär --- L2.

Typische Gleichungen für L1, L2 und L3, wie z. B. auf Wikipedia , gehen davon aus, dass die kleinste Masse effektiv Null ist, aber das erweist sich auch nicht als notwendig. Die drei Massen müssen auf einer Linie liegen, und diese Linie muss sich gleichmäßig in einer festen Ebene drehen, aber wir können die drei Positionslösungen finden, selbst wenn alle drei Massen signifikant sind. Die zu lösende Gleichung ist ein Polynom fünften Grades im Verhältnis der Abstände zwischen den Massen. Ich werde nichts ableiten, sondern Sie nur auf das Buch verweisen, in dem ich es gelesen habe: Richard Battin 's An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics , Kapitel 8. Beschriften Sie die Körper nicht nach ihren Massen, sondern nach ihren Positionen von links nach rechts, auf der$\xi$Achse, als$\xi_1 < \xi_2 < \xi_3$. Definieren$r_{ij}$als Abstand$\xi_j-\xi_i$(garantiert positiv, von der Art, wie wir sie beschriftet haben) und lassen$\chi=r_{23}/r_{12}$. Der Wert$\xi=0$ist der Punkt, um den sich das ganze System dreht,$\xi_1$muss negativ sein, und$\xi_2$kann auch sein, abhängig von den genauen Verhältnissen der Massen. Nach etwas Algebra gelangt man zur Gleichung