Wird der Schwerpunkt mit dem Massenmittelpunkt zusammenfallen, wenn die Dichte des Objekts ungleichmäßig ist?

Der Schwerpunkt wird immer derselbe sein wie der Massenmittelpunkt in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld (konstante Größe und Richtung). Dies gilt sowohl für Körper mit ungleichmäßiger Dichte als auch für solche mit gleichmäßiger Dichte. Das Gravitationsfeld der Erde kann als gleichmäßig betrachtet werden, wenn die Abmessungen des Objekts viel kleiner sind als sein Abstand vom Erdmittelpunkt.

Der Grund dafür ist, dass bei der Berechnung von CM-Massenbestandteilen diese mit ihrer Masse „gewichtet“ werden$m_i$und Vektordistanz$\vec{r_i}$von einem beliebigen Fixpunkt:

$$\vec{r_{CM}} \times \sum m_i = \sum m_i \vec{r_i} \tag{1}$$

während bei der Berechnung von CG dieselben Elemente durch ihr Gravitationsgewicht gewichtet werden$m_i g(\vec{r_i})$was je nach Position variieren kann$\vec{r_i}$:

$$\vec{r_{CG}} \times \sum m_i g(\vec{r_i}) = \sum m_i g(\vec{r_i})\vec{r_i} \tag{2}$$

Wenn$g(\vec{r_i})=g$für alle Elemente gleich ist (dh das Gravitationsfeld ist einheitlich), dann ergibt die Berechnung das gleiche Zentrum (CM=CG). Wenn$g(\vec{r_i})$nicht konstant ist (dh das Gravitationsfeld ist nicht einheitlich), dann sind die Positionen von CM und CG wahrscheinlich unterschiedlich.

In besonderen Fällen ist es jedoch möglich, dass CM und CG zusammenfallen. Beispielsweise könnten sich die Wirkungen eines ungleichmäßigen Felds und einer ungleichmäßigen Dichte aufheben, wodurch CM und CG zusammenfallen.