Wo lebt die Wellenfunktion des Universums? Bitte beschreiben Sie sein Zuhause

Die Wellenfunktion lebt im Quantencafé, siehe den Abschnitt von 3:40 oder so bis zum Ende

http://www.youtube.com/watch?v=unJ2ajHH-94

Im Ernst, eine Wellenfunktion ist ein speziellerer Name des "Zustandsvektors", der das Element des Hilbert-Raums ist${\mathcal H}$, ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Der Hilbertraum aller realistischen Systeme ist unendlichdimensional; für eine unendliche Dimension kann man nicht wirklich sagen, ob die Basis zählbar oder so groß wie ein Kontinuum ist, weil diese beiden Basen tatsächlich vollständig gleichwertig sind.

Endlich dimensionale Hilbert-Räume werden nur als vereinfachte Spielzeugmodelle für einige Aspekte einiger physikalischer Systeme verwendet. Aber sie sind in Theorie und Praxis immer noch sehr wichtig, weil realistische Situationen oft aus ähnlich kleinen Hilbert-Räumen zusammengesetzt werden, indem Tensorprodukte verwendet werden. Die zweidimensionalen Hilbert-Räume (z. B. Spin-up vs. Spin-down) scheinen sehr einfach zu sein, aber sie sind bereits sehr reichhaltig und werden als Werkzeuge zum Unterrichten der Quantenmechanik verwendet. Quantencomputing findet normalerweise in Hilbert-Räumen statt$N$Qubits, das ist$2^N$-dimensional, auch endlichdimensional. Es wird angenommen, dass die verbleibenden unendlich vielen Zustände eines realen physikalischen Systems unzugänglich sind, sodass wir den Hilbert-Raum "abschneiden" können. Beachten Sie jedoch, dass so einfache Systeme wie ein Elektron, das ein Proton umkreist, oder ein harmonischer Oszillator bereits einen unendlich dimensionalen Hilbert-Raum haben.

Der Fockraum ist eine besondere Form des Hilbertraums. Es ist der Hilbert-Raum einer Freifeldtheorie oder äquivalent ein unendlichdimensionaler harmonischer Oszillator. Üblicherweise definiert man den freien - bilinearen - Hamiltonoperator auch auf dem Fockraum. Wenn wir nicht sagen, dass es einen Hamilton-Operator gibt, ist die Identität des Fock-Raums eigentlich bedeutungslos, weil alle unendlichdimensionalen Hilbert-Räume isomorph oder "einheitliches Äquivalent" zueinander sind.

Der Fock-Raum ist also nicht wirklich "etwas ganz anderes" (oder größer) als der Hilbert-Raum; es ist ein Sonderfall davon. Dasselbe gilt für die Hilbert-Räume, die mit jeder erdenklichen Theorie verbunden sind (die die Welt um uns herum beschreibt oder eine fiktive oder hypothetische Welt beschreibt), sei es das Standardmodell, das minimale supersymmetrische Standardmodell oder – die umfassendste Theorie – Stringtheorie. Alle diese Theorien haben, ähnlich wie alle anderen Theorien, die die Postulate der Quantenmechanik respektieren, ihren eigenen Hilbert-Raum, und all diese unendlich dimensionalen Räume in der Stringtheorie oder ein einfacher unendlich dimensionaler harmonischer Oszillator oder sogar ein einfaches Wasserstoffatom sind tatsächlich zu jedem isomorph andere.

Außerdem sollte man erwähnen, dass der tatsächliche Zustand des physikalischen Systems nicht durch alle Informationen gegeben ist, die in einem Element des Hilbert-Raums enthalten sind. Die Phase und die absolute Normierung – dh der volle multiplikative Faktor, der komplex sein kann – ist unphysikalisch. Der Raum inäquivalenter "reiner Zustände" ist also eigentlich der Quotient${\mathcal H}/{\mathbb C}^*$.

Abgesehen von „Wellenfunktionen“, also reinen Zuständen, die Elemente des Hilbertraums sind, kann man bis auf eine Normierung ein physikalisches System auch durch eine allgemeinere „Dichtematrix“ beschreiben, die im Raum der hermiteschen Matrizen lebt$\rho$. Für reine Zustände$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$und die Phase bricht ab. Es gibt jedoch auch allgemeinere gemischte Zustände, die Überlagerungen ähnlicher Begriffe sind.

Das Wort „Raum“ in der Mathematik ist nicht dasselbe ontologische Objekt wie physikalischer Raum. Es ist so etwas wie die Frage in der klassischen Physik, wo sich der Raum aller Geschwindigkeitsvektoren befindet? Es ist nicht so, dass sie tatsächlich irgendwo "da draußen" sind, es sind nur mathematische Abstraktionen, aus denen nützliche Informationen extrahiert und Rückschlüsse auf messbare Größen gezogen werden können, die der Abstraktion analog sind. Ein Vektorraum (Hilbert, Fock und viele andere Variationen von Vektorräumen existieren!) ist ein mathematisches Objekt, das viele Berechnungen bequem macht, die man mit Mengen von Zahlen (Vektoren, Matrizen, Tensoren usw.) erfundene algebraische Eigenschaften (Schließung, Kommutativität, Assoziativität, etc...).