Woher kommt die Verwendung von Tensoren zur Beschreibung der Orientierungsabhängigkeit physikalischer Phänomene?

Der Tensor selbst ist nicht das Modell, sondern der Tensor dient dazu, die Anisotropie zu modellieren (man könnte auch sagen, beschreiben oder quantifizieren).

Ein Beispiel ist ein anisotroper elektrischer Leiter. Die Leitfähigkeit$\sigma$beschreibt, welcher Strom als Reaktion auf ein elektrisches Feld auftritt$\vec j = \sigma \vec E$. Bei isotropen Materialien (z. B. Glas, mikrokristalline Metalle im Mittel) ist diese Größe skalar, dh der Strom zeigt in die gleiche Richtung wie das elektrische Feld und wie viel Stromdichte das elektrische Feld erzeugt, hängt nicht von der Richtung ab.

Im Allgemeinen ist die Leitfähigkeit jedoch ein Tensor 2. Grades. Beispielsweise ist in einem Graphit-Einkristall (der aus lose gekoppelten Schichten besteht) die Leitfähigkeit in den Schichten viel höher als die Leitfähigkeit senkrecht zu den Schichten. Also in einem Koordinatensystem, in dem die Schichten entlang gestapelt sind$z$-Richtung haben wir einen Leitfähigkeitstensor der Form (unter der Annahme, dass die Leitfähigkeit innerhalb der Schichten ungefähr isotrop ist):

$$\begin{align*} \sigma &= \begin{pmatrix} \sigma_l & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_l & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_p \end{pmatrix} \end{align*}$$ Hier $\sigma_l \gg \sigma_p$. Wir können also den Strom berechnen, der auftritt, wenn wir mit diesem Tensor ein beliebiges elektrisches Feld anlegen, und der Strom wird entlang der Schichten größer sein als senkrecht zu den Schichten. Das Schöne an dieser Beziehung ist, dass $\vec j = \sigma \vec E$in jedem Koordinatensystem gilt, wir müssen nur die Komponenten transformieren $\sigma$entsprechend. (Wir können sogar die Orientierung der Schichten aus einer makroskopischen Messung des Leitfähigkeitstensors bestimmen, indem wir die Hauptachsen des Tensors berechnen).

Beachten Sie, dass es Anisotropien gibt, die durch Tensoren höheren Ranges beschrieben werden müssen. Beispielsweise ist die mechanische Spannung in einem Material ein Tensor 2. Rangs und der Elastizitätstensor (der die Spannung mit der Dehnung in Beziehung setzt) ​​ein Tensor 4. Ranges.

Dass Tensoren die hier vorkommenden Objekte sind, hat zwei Gründe:

1. Die Gleichungen müssen unter der Wahl der Koordinatensysteme invariant sein, und Tensoren sind die natürlichen Objekte, wenn wir Gleichungen suchen, die unter Rotationen (oder allgemeiner unter beliebigen Koordinatentransformationen) invariant sind.

2. Wir arbeiten oft in linearisierten Theorien und der Gleichung$A^{(n)} = B^{(n+m)} C^{(m)}$(wobei die Nebeneinanderstellung die Kontraktion bezeichnet und die oberen Indizes den Tensorrang bezeichnen) ist die allgemeinste lineare Beziehung zwischen den Tensoren$A$und$C$.

Ich würde Sebastians nette Antwort erweitern, um darauf hinzuweisen, dass jede orientierungsempfindliche Größe$f(\hat v)$kann durch sphärische Harmonische erweitert werden, und der symmetrische Rang-2-Tensor kann häufig verwendet werden, um den ersten Term ungleich Null darzustellen.

Um dies zu verstehen, beginnen Sie mit der Feststellung, dass alle diese sphärischen Harmonischen einen polynomialen Strukturfaktor haben. Sie können sie aus der Atomorbitaltheorie (aus Wikipedia) erkennen:

In diesem Fall versuchen wir, die Wellenfunktion darzustellen$\psi(\vec r)$.

Beachten Sie in der dritten Reihe diese Polynome, die die verschiedenen Orbitale kennzeichnen. Für einen festen Drehimpuls (l) kann ein Zustand mit diesem Impuls durch ein Polynom vom Grad l mit komplexen Koeffizienten gekennzeichnet werden, wobei wir das "Spurpolynom" betrachten.$x^l + y^l + z^l$äquivalent zu Null sein (dies trägt nur zur Isotropie ($l = 0$) Antwort).

Insbesondere z$l = 2$(das Quadropolmoment) sprechen wir von quadratischen Polynomen, und wir können diese als spurlose symmetrische Matrix darstellen$A$von

$$v^T A v,$$

wo$v$ist der Vektor$v^T = (x,y,z)$. Diese spurlose symmetrische Matrix$A$, sobald wir es von der räumlichen Position abhängig machen, wird unser symmetrischer Tensor auf Rang 2. Für viele Anwendungen ist dies das erste Multipolmoment, das nicht Null ist (weil generische Potentiale quadratisch nahe dem Gleichgewicht sind). In diesen Fällen ist diese Matrix in erster Ordnung das Objekt des Interesses.

Im Allgemeinen werden die sphärischen Harmonischen jedoch mit symmetrischen Tensoren aller Ränge bezeichnet, und diese Zerlegung hat mit der Darstellungstheorie zu tun$SO(3)$. Ein fortgeschritteneres Modell muss möglicherweise höhere Multipolmomente enthalten, um die Orientierungsabhängigkeit zu erfassen.

Sebastians Beispiel der Leitfähigkeitsmatrix finde ich eigentlich etwas verwirrend, da wir hier von einer vektorwertigen Größe sprechen, die auch von der Orientierung abhängt, nämlich$\vec j(\vec E)$. In diesem Fall kommt die Leitfähigkeitsmatrix wirklich von der$l = 1$Moment (es ist Rang (1,1), nicht Rang (2,0)). Die Symmetrie dieser Matrix wird nicht durch die Darstellungstheorie garantiert, sondern durch die Onsager-Reziprozität. Höhere Momente würden von nichtlinearen Korrekturen des Ohmschen Gesetzes herrühren, aber diese Symmetriebeziehung würde immer noch nahezu im Gleichgewicht bleiben!

In ähnlicher Weise ist der elastische Tensor ein Rang(2,2)-Tensor, symmetrisch in jedem Faktor ($l=2$) und eigentlich auch symmetrisch zwischen den beiden, aber der Grund für diese letzte Symmetrie ist mir rätselhaft...

Im Zusammenhang mit Anisotropie habe ich oft gelesen, dass die Verwendung eines Tank-2-Tensors "ein Modell" ist. Aber was ist die Idee hinter dieser Wahl? Kann jemand beschreiben, in welchem ​​Sinne die Verwendung von Tensoren in diesem Zusammenhang ein "Modell" ist?

Ohne Kontext ist es schwierig zu erraten, was genau jemand meinen könnte, wenn er einen Tensor zweiter Ordnung als „ ein Modell “ bezeichnet, da es sich um eine Anspielung auf eine Reihe verschiedener Beobachtungen handeln könnte.

Ich persönlich denke, dass ich mich am meisten darüber beschwert habe, wegen der typischen Vermutung der Örtlichkeit, die darin steckt. Als einfaches frühes Beispiel gibt es den Cauchy-Spannungstensor aus der Strömungsmechanik:
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Ich kann vollkommen verstehen, warum die Leute denken, dass dies ziemlich allgemein ist, da es zu jedem Zeitpunkt Annahmen über die Dynamik zu vermeiden scheint .

Der Tensor spiegelt jedoch die implizite Annahme wider, dass mechanische Wechselwirkungen lokal sind, dh dass sie an jedem beliebigen Punkt vollständig erfasst werden . Und vielleicht scheint dies eine ausreichend vertretbare Annäherung für einen kristallinen Feststoff zu sein, aber selbst in diesem besten Szenario ist es nur eine Annäherung.

Dann gibt es am anderen Ende des Spektrums, z. B. bei Niederdruckgasen, offensichtlich signifikante freie Pfade , so dass mechanische Wechselwirkungen eines Fluids schlecht beschrieben werden, indem man das lokale Modell annimmt, das durch den Tensor impliziert wird.

Dies ist nicht unbedingt das, was ein Sprecher in einem bestimmten Kontext meint, obwohl es eine mögliche Art von Modellierungsannahme ist, die durch einen Tensor dargestellt wird, auf den sich jemand beziehen könnte.

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Fand einen Wikipedia-Artikel, der eine Lockerung diskutiert:

In der Kontinuumsmechanik befasst sich die Finite -Strain-Theorie – auch Theorie großer Dehnung oder Theorie großer Deformation genannt – mit Deformationen , bei denen Dehnungen und/oder Rotationen groß genug sind, um Annahmen zu entkräften, die der Theorie infinitesimaler Dehnungen innewohnen .

– „Finite Strain Theory“ , Wikipedia

Wenn Sie jedoch mit Tensoren zweiter Ordnung arbeiten, arbeiten Sie im Allgemeinen wahrscheinlich mit einem Modell, das diese Tensoren verwendet, um unendlich lokalisierte Wechselwirkungen zu erfassen, was ein äußerst praktisches, aber offensichtlich fehlerhaftes Modell in jedem realen ist. Weltphysik Situation.