Würde ein auf 15 Millionen Grad Celsius erhitzter Stecknadelkopf jeden in einem Umkreis von 1000 Meilen töten?

Bei dieser Gelegenheit ließ Vsauce den Ball eher fallen, sollte ich meinen. Wie die anderen Antworten zeigen, macht die angegebene Behauptung nicht viel Sinn, wenn Sie die Zahlen eingeben, und wenn Sie die Quelle bis zu ihrem Ursprung verfolgen, gibt es einen entscheidenden Kontext, der entlang der Kette verloren gegangen ist.

Die Videobeschreibung schreibt das Zitat dem Buch The Universe and the Teacup: The Mathematics of Truth and Beauty von KC Cole zu, das das James Jeans zugeschriebene Zitat (jedoch ohne tatsächlichen Verweis) auf der zweiten Seite von Kapitel 2 enthält ,

Ein Stecknadelkopf, der auf die Temperatur des Sonnenzentrums erhitzt wird, schreibt Jeans, "würde genug Hitze abgeben, um jeden zu töten, der sich ihm auf tausend Meilen nähert."

Das Zitat selbst stammt aus The universe around us (Cambridge University Press, 1930), S. 289, und es lautet

Die berechnete zentrale Temperatur von 30 bis 60 Millionen Grad übersteigt unsere Erfahrung so weit, dass es schwierig ist, zu erkennen, was sie bedeutet. Lassen Sie uns in der Vorstellung einen Kubikmillimeter gewöhnlicher Materie – ein Stück von der Größe eines gewöhnlichen Stecknadelkopfes – auf einer Temperatur von 50.000.000 Grad halten, der ungefähren Temperatur im Zentrum der Sonne. So unglaublich es auch scheinen mag, nur um diesen Stecknadelkopf aus Materie auf einer solchen Temperatur zu halten – dh um die Energie wieder aufzufüllen, die er durch Strahlung von seinen sechs Seiten verliert – wird die gesamte Energie benötigt, die von einem Motor mit drei Milliarden Pferdestärken erzeugt wird. Energie; Der Stecknadelkopf aus Materie würde genug Hitze abgeben, um jeden zu töten, der sich ihr auf tausend Meilen näherte.

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OK, nachdem wir die Referenzen ausgefüllt haben, nehmen wir die Berechnung auseinander und sehen, was die Behauptung tatsächlich ist. Was Cole und Vsauce beim Zitieren übersehen haben, ist ein entscheidendes Kriterium:

nur um diesen Stecknadelkopf aus Materie auf einer solchen Temperatur zu halten ...

Die Behauptung ist daher, dass ein Objekt mit einer so hohen Temperatur, wenn es als schwarzer Körper wegstrahlen würde, während es auch eine magische Energiepumpe hätte, um es auf dieser Temperatur zu halten, genauso tödlich wäre wie behauptet.

Um zu sehen, ob dies wahr ist, lassen Sie uns einige Zahlen eingeben. Ein schwarzer Körper auf Temperatur$T$strahlt eine Leistung ab, die durch das Stefan-Boltzmann-Gesetz bestimmt wird, das lautet$P=\sigma AT^4$, wo$A=6\:\mathrm{mm}^3$ist die Fläche des kubischen Stecknadelkopfes des Absatzes und$\sigma = 5.67\times 10^{-8}\:\mathrm{W\:m^{-2}\:K^{-4}}$ist die Stefan-Boltzmann-Konstante, und diese Leistung wird dann gleichmäßig über einen Kugelradius verteilt$R=1000\:\mathrm{mi}$, das ergibt also eine Leistungsdichte in diesem 1000-Meilen-Radius von

$$j = \frac{\sigma \, A \, T^4}{ 4\pi R^2} \approx 0.0104 \left(T/\mathrm{MK}\right)^4 \:\mathrm{W/m^2}.$$ Jetzt kommen wir zu einem der heiklen Punkte: Die Behauptung in Jeans' Buch hat die Temperatur des Kerns der Sonne um etwa überschätzt $50/15\approx 3.33$, aber Vsauce hat diese Diskrepanz übersehen und wiederholt die Behauptung für den moderneren Wert von $15\:\mathrm{MK}$. Normalerweise wäre dies kein Problem, da Faktoren von $3$sind in Fermi-Analysen ziemlich ignorierbar, aber das Stefan-Boltzmann-Gesetz hat eine quartische Abhängigkeit in $T^4$und dies kann sich schnell summieren und eine Diskrepanz von ergeben $(50/15)^4\approx 120$zwischen dem Vsauce-Anspruch und seiner Jeans-Quelle.

In diesem Fall spielt der Unterschied eine Rolle, wahrscheinlich weil Jeans seine Zahlen so gewählt hat, dass sie ungefähr am Rande dessen liegen, was sie geben können. Wenn wir die Zahlen für den modernen Wert der Kerntemperatur eingeben, erhalten wir

$$j_\mathrm{Vsauce} \approx 0.0104 \times 15^4 \:\mathrm{W/m^2} \approx 530\:\mathrm{W/m^2},$$ was kurioserweise knapp unter der Hälfte der Solarkonstanten liegt, also der Energieflussdichte der eigentlichen Sonne an der Erdoberfläche. Wenn Sie dem also aus reiner Wärmeflussperspektive über einen längeren Zeitraum ausgesetzt waren, könnten Sie einen leichten Sonnenbrand bekommen, aber es ist bei weitem nicht tödlich.

Der Jeans-Claim hingegen ist aufgrund des Faktors Hundert etwas anders

$$j_\mathrm{Jeans} \approx 0.0104 \times 50^4 \:\mathrm{W/m^2} \approx 65\:\mathrm{kW/m^2} = 6.5 \:\mathrm{W/cm^2},$$ und das ist viel näher an den Schadensschwellen. Going by Safety with Lasers and Other Optical Sources: A Comprehensive Handbook (Sliney und Mellerio, Springer, 1980, S. 162), liegt die Schwelle für Blitzverbrennungen bei etwa $12\:\mathrm{W/cm^2}$, während Verbrennungen zweiten Grades bei beginnen $24\:\mathrm{W/cm^2}$- für eine Blitzbelichtung von weniger als einer halben Sekunde Dauer. Bleiben Sie länger als eine Minute in der Nähe und es klingt ungefähr richtig, dass Sie sehr schnell einige sehr schwere Verbrennungen entwickeln und ihnen nicht lange danach erliegen werden.

Wie in den Kommentaren ausgeführt, wird der Großteil der Strahlung, die diese Energie trägt, jedoch in Form von hochenergetischen Photonen vorliegen, die ihren Höhepunkt bei etwa erreichen$1.3\:\mathrm{keV}$(zum$T=15\:\mathrm{MK}$; es ist$4.3\:\mathrm{keV}$bei$T=50\:\mathrm{MK}$), und das ist am Anfang des Regimes ionisierender Strahlung (genauer gesagt Grenzstrahlen ), was bedeutet, dass die Effekte etwas schwieriger zu modellieren sind, und die detaillierte Radiometrie dessen, was passieren würde, ist vielleicht eine interessante Übung für ein xkcd Was wäre wenn? Folge.

Als grobe Schätzung, wenn Sie davon ausgehen, dass die gesamte Strahlung absorbiert wird (angemessen angesichts dieser Darstellung der Dämpfungslängen in Wasser), und eine Oberfläche von$1\:\mathrm{m}^2$und eine Körpermasse von$75\:\mathrm{kg}$, entspricht der Jeans-Energiefluss, wenn er als ionisierende Strahlung angesehen wird, einer absorbierten Dosis von etwa$870\:\mathrm{Gy/s}$, die sofort aus dem Ruder läuft. Die Niedertemperaturquelle bei$15\:\mathrm{MK}$liefert eine äquivalente Dosis von ca$7\:\mathrm{Gy/s}$, was meiner Meinung nach nach ein paar Sekunden ein bisschen über dem Stadion eines Tschernobyl-Liquidators liegt. Es scheint also, dass Sie bei beiden Temperaturen wahrscheinlich an Strahlenkrankheit sterben werden, obwohl es schwierig sein wird, die Details herauszufinden - aber andererseits ist es nicht wirklich das, was eine der ursprünglichen Quellen impliziert.

Um es jedoch zu betonen – diese Berechnung geht davon aus, dass Sie eine magische Energiequelle haben, die die liefern kann${\sim}2\times 10^{18}\:\mathrm{W}$(!) erforderlich, um diesen Stecknadelkopf beizubehalten$50\:\mathrm{MK}$. Es ist eine vernünftige Annahme, wenn Sie sich bereits im Land der Hypothesen befinden, aber es ist eine völlig andere Frage als die Energie, die tatsächlich in diesem winzigen Stück hochionisierten Eisenplasmas gespeichert ist, und es ist wichtig, dies im Voraus zu sagen.

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Ich behalte das für das nächste Mal, wenn ich jemanden erschrecken muss, seine Quellen zu überprüfen – es ist ein Denkmal akademischer Nachlässigkeit , wenn Sie so wollen – weil es so ein gutes Beispiel dafür ist, wie die Dinge auseinanderfallen, wenn Sie nicht genau genug hinsehen . Die Behauptung ist in ihrem ursprünglichen Kontext ungefähr vernünftig – aber die Vsauce-Behauptung versagt selbst bei einer milden Prüfung.

Ein Stecknadelkopf entspricht vielleicht einem kugelförmigen Stück Eisen mit einem Durchmesser von 2 mm. Das ergibt ein Volumen von etwa 4 mm$^3$und eine Masse von$3.2 \times 10^{-6}~\rm{kg}$; Die Berechnung der Wärmekapazität von Materie bei diesen Temperaturen ist schwierig, aber welche Methode Sie auch verwenden, der Energieinhalt des Stifts, den Sie berechnen, wäre nicht ausreichend, um alle Lebewesen in dieser Entfernung zu töten.

Aber was wäre, wenn Sie an die äußerste Grenze gehen würden – die Materie irgendwie vollständig in Energie umgewandelt würde? In diesem Fall wäre die Energie

$$E = mc^2 = 3\cdot 10^{11} \:\mathrm{J}\, .$$

Das ist viel mehr Energie - aber wenn Sie das über eine Kugel mit einem Radius von 1000 Meilen verteilen, hätten Sie 9 mJ (Millijoule) Energie pro Quadratmeter: Dies ist eindeutig nicht genug, um "alles" in dieser Entfernung zu töten.

Wenn Sie andererseits einen Stecknadelkopf auf diese Temperatur erhitzen und ihn so heiß halten könnten , würde dies eine sehr erhebliche Menge an Energie erfordern (und freisetzen).

Unter der Annahme eines perfekten schwarzen Strahlers mit einem Radius von 1 mm bei 15 MK wäre die pro Zeiteinheit abgegebene Leistung

$$P = A\sigma T^4 = 4\pi 10^{-6} \cdot 5.67\cdot 10^{-8} (15\cdot10^6)^4 = 4\times 10^{16} \:\mathrm{W} \, .$$

Das ist eine beachtliche Leistung, aber wenn wir diese Leistung über eine Kugel mit einem Radius von 1000 Meilen verteilen, beträgt die Leistungsdichte etwa 1,2 kW/m$^2$, was ungefähr der Intensität des Sonnenlichts entspricht.

Nun ist es erwähnenswert (wie von David Hammen hervorgehoben), dass die Wellenlängenverteilung dieser Leistung "weit jenseits des Sichtbaren" liegt. Tatsächlich sagt uns das Wiensche Verschiebungsgesetz, dass der Höhepunkt erreicht ist$\lambda = \frac{b}{T}$wo$b=2.9\cdot 10^{-3} m K$. Bei einer Temperatur von 15 MK liegt die Spitzenwellenlänge bei 0,2 nm – dem Bereich der Röntgenstrahlen. Tatsächlich ist die praktische Umrechnung von Wellenlänge in eV E = (1240 eV nm) /$\lambda$, also hat 0,2 nm eine Energie von etwa 6 keV. Glücklicherweise ist das eine Energie, die von Luft gut absorbiert wird - laut dieser Tabelle beträgt der Dämpfungskoeffizient bei 6 keV etwa 23 cm$^2$/ g. Bei einer Luftdichte von etwa 1,2 kg / m$^3$oder 1,2 mg/cm$^3$beträgt die Dämpfungslänge in Luft 0,027 cm$^{-1}$. Das bedeutet, dass keine dieser Strahlungen sehr weit reichen würde. Die lokale Luft wäre massiv ionisiert, würde dann aber Energie bei zunehmend längeren Wellenlängen wieder emittieren; Bei 1000 Meilen wären Sie ziemlich gut abgeschirmt.

Natürlich würde es Sie töten, wenn Sie einem so heißen Körper sehr nahe kommen, aber bei 1000 Meilen erhalten Sie "nur" die Kraft der Sonne - die Sie überleben sollten. Schauen Sie nur nicht direkt auf die Stecknadel – Sie werden wahrscheinlich blind.

Und angesichts der erforderlichen Leistung - nein, Sie können einen kleinen Materieklumpen nicht so heiß machen (und halten).

Eine kleine Atombombe wandelt etwa 1g ihrer Masse in Energie um.

Selbst im besten (schlechtesten?) Fall, dass ein Stecknadelkopf perfekt in Energie umgewandelt wird, ist dies nur ungefähr die Menge an Energie, die für eine grundlegende Sanierung der Innenstadt einer Kleinstadt benötigt wird. Es hat sicherlich nicht jeden im Umkreis von 1000 Meilen getötet

Es hängt davon ab, wie schnell Sie es erhitzt haben. Wenn Sie es nicht sofort wie in einem Bruchteil einer Sekunde getan haben, sondern sagen wir mal eine Stunde dafür gebraucht haben. Die wirklich kleine Stahlmasse, von der Sie sprechen, würde beim Erhitzen allmählich die folgenden Phasenänderungen durchlaufen.

fest bis flüssig

wenn irgendwie auf das Stecknadelkopfvolumen beschränkt:

flüssig zu gasförmig

schließlich Gas zu Plasma

Da nach dem Gesetz von Boyle das Volumen einer Gasmenge mit der Temperatur zunimmt, müssten Sie die ursprüngliche Stecknadelkopfmasse irgendwie einschränken, um in diesem Stecknadelkopfvolumen zu bleiben, und dies umso mehr, wenn sich die Masse von Gas zu Plasma ändert. In jedem Sinne wird eine allmähliche Erwärmung nicht die thermische Schockwelle verursachen, die eine schnelle sofortige Erwärmung verursachen wird.

Pinhead besteht aus Stahl, der zu etwa 80 % aus Eisen und zu 20 % aus Kohlenstoff besteht. Während Sie einige Kohlenstoffkerne durch Quantentunneln bei 15 Millionen Grad zum Schmelzen bringen können, ist diese Temperatur immer noch unzureichend für die Eisen-Eisen-Fusion oder die Kohlenstoff-Eisen-Fusion.

Selbst wenn Sie in der Lage wären, die Fusion aller Kohlenstoffkerne in dieser winzigen Probe zu bewirken, hätten Sie nicht genug Energie, um diese Verwüstung zu vollbringen; nicht einmal einen Bruchteil davon.