Wurde die Logik formalisiert?

Zu der Frage:

Angesichts dessen, was einer der letzten Meister des Fachs [Paul Cohen] gesagt hat, warum gehen dann viele Menschen davon aus, dass eine Formalisierung der Logik vollständig erreicht ist?

Ich denke, es ist keine "gute Praxis" in der Wissenschaft, nach "vollständig abgeschlossenen" ... Lösungen, Theorien und so weiter zu fragen.

Die Wissenschaftsgeschichte (einschließlich Mathematik) zeigt uns, dass die Geschichte bisher "offen" war.

Die beeindruckende Menge an Ergebnissen, die die mathematische Logik im vergangenen Jahrhundert erzielt hat, schließt nicht aus, dass neue Ideen und Entdeckungen in Zukunft unser Verständnis der Disziplin verändern werden.

Das Zitat stammt von der zweiten Seite des Papiers:

Sie [Mathematiker] mögen das Gefühl haben, dass die „offizielle“ Darstellung der Mengenlehre, dh der gesamten Mathematik, die formale Systeme und bestimmte Axiomensysteme verwendet, wenig Relevanz für ihre Arbeit als forschende Mathematiker hat. Andererseits hat die Existenz einer ganzen Reihe überraschender Ergebnisse die Selbstgefälligkeit vieler Mathematiker bis zu einem gewissen Grad erschüttert, und es gibt eine ungerechtfertigte Aura des Mysteriums und der Ehrfurcht, die das Thema umgibt. Insbesondere die Existenz vieler möglicher mathematischer Modelle ist bei der ersten Begegnung schwer zu akzeptieren, so dass eine mögliche Reaktion durchaus sein kann, dass axiomatische Mengenlehre irgendwie nicht einem intuitiven Bild des mathematischen Universums entspricht, und dass diese Ergebnisse es sind nicht wirklich Teil der normalen Mathematik. In diesen Vorträgen werde ich versuchen, einige dieser Verwirrungen aufzuklären und Sie davon zu überzeugen, dass diese Ergebnisse tatsächlich leicht zugänglich sind, sogar für einen Laien. Ich kann versichern, dass bei meiner eigenen Arbeit einer der schwierigsten Teile von ...

Ich denke, dass diese Worte "mit meinen Kommentaren übereinstimmen.

Der Mathematiker entwickelte nach dem Ende des Kampfes zwischen "Grundlagenschulen" (Logikismus, Intuitionismus und Formalismus) in den 30er Jahren und nach der Entdeckung von Gödels Unvollständigkeitssatz eine Haltung des "Desinteresses" in Bezug auf die mathematische Logik: Sie ist nützlich für "In Szene setzen" ... aber der Job des "arbeitenden Mathematikers" ist ein anderer.

Auch die Mengenlehre wurde als "Rahmen" wahrgenommen: eine gemeinsame Sprache, wie Latein oder Esperanto ...

Die Ergebnisse von Cohen (aber erinnern Sie sich an Godel (1937) zum gleichen Thema: wieder Godel!) waren wichtig, weil sie neue und leistungsfähige Werkzeuge für die "erste" Forschung in der Mengenlehre entwickelten: Nach Cohen wurde die Mengenlehre wieder zu einem lebendigen Forschungsgebiet (fragen Sie @Asaf Karagila auf Math.Stackexchange) mit einem Reichtum an Methoden und Problemen (siehe Imre Lakatos über Probleme als treibende Kraft der mathematischen "Evolution").

Die kurze, aber interessante historische Skizze von Cohen (Cantor, Frege, Zermelo) weist auf ein interessantes Thema hin: die Rolle der Logik (dh Formalisierung) als treibende Kraft für neue Ergebnisse, und dies ist die "Botschaft", die ich in seinen Worten lese: Logik ist nicht nur mathematische "Hygiene".

Bis zu einem gewissen Grad ist das zugrunde liegende Problem hier (und etwas, das Cohen in dem verlinkten Artikel stillschweigend diskutiert) eines der Abgrenzung . Wo endet die Mathematik der Mengenlehre und wo beginnt die Logik der mathematischen Wahrheit?

Mir hat Cohens Beschreibung des Satzes von Lowenheim-Skolem auf S. 1085 sehr gut gefallen

das erste nichttriviale Ergebnis der Logik.

Um diese Antwort relativ abgeschlossen zu halten, ist das LS-Theorem ein Ergebnis der klassischen Logik erster Ordnung, das zeigt, dass wir überall dort, wo wir ein transfinites Modell einer Theorie haben, zeigen können, dass es ein zählbares gibt, und in der Tat eine von beliebiger Kardinalität. Dies ist ein logisches Ergebnis, kein mengentheoretisches, in dem Sinne, dass es sich eher um eine Eigenschaft der abstrakten Erfüllbarkeit von Theorien als um etwas besonders Semantisches handelt. Tatsächlich scheint das traditionelle Verständnis dieses Ergebnisses in vielerlei Hinsicht im Widerspruch zu dem zu stehen, was die Mengentheorie über mathematische Ressourcen jenseits der endlichen Ordinalzahlen zu sagen versucht – ein Schein, der als Skolem-Paradoxon ( SEP Link ) bezeichnet wird.

Cohen kennt und versteht dieses Theorem unglaublich gut - es spielt eine wichtige Rolle bei der Technik, Modelle der Mengentheorie zu erzwingen, um "neue" Modelle durch eine zählbare Behandlung zu erhalten, die neue "generische" Mengen hinzufügt. Diese Behandlung ist in gewisser Weise auch unabhängig von ihrer mengentheoretischen Interpretation, da es für die Zwecke der Verwendung von Forcen nicht wirklich darauf ankommt, dass die Modelle mengentheoretisch sind, sondern dass sie einer booleschen Modellstruktur folgen, was garantiert ist dass es eine teilweise Ordnung gibt, wie wir neue erzwingende Bedingungen hinzufügen, die die klassische Negationsschließung und den Ausschluss berücksichtigen; Die Mengentheorie ist einfach die Standardinterpretation und -darstellung von Modellen mit booleschen Werten.

Die Frage, ob Cohens Technik die Kohärenz einer vollständigen Formalisierung der Logik in Frage stellt, ist daher sehr nuanciert. Unter Verwendung von Forcen zeigt uns Cohen, dass es möglich ist, mit einigen anerkannten Grundlagen in den Axiomen der Mengenlehre eine Vielzahl von Modellen zu konstruieren, von denen einige hypothetische "Axiome" oder wünschenswerte Eigenschaften angemessen widerspiegeln, auf die Mathematiker möglicherweise weiter eingehen möchten. und andere, die möglicherweise Eigenschaften aufweisen, die sich nicht sofort darin widerspiegeln, wie Mathematiker ihr Handwerk ausüben. Es muss nicht unbedingt ein Gefühl für einen richtigen und falschen Weg geben, unsere Axiome zu formalisieren, da diese verschiedenen Modelle alle unabhängig voneinander mathematisch interessant sein können und alle im Rahmen der mathematischen Logik, wie sie derzeit vorhanden ist, betrachtet und theoretisiert werden können steht.

Aber andererseits scheint die Logik, die er verwendet, um diese Technik zu demonstrieren, selbst durch diese Beobachtung nicht gefährdet zu sein, aus dem einfachen Grund, dass die Modalität des Forcierens sich dank der nur in den Bereich des Transfiniten verzweigt Satz von Lowenheim-Skolem. Nichts beim Erzwingen von Erweiterungen wird Ihnen etwas Ungewöhnliches darüber sagen, ob 5+7=12- sie könnten sich intuitiv semantisch darin unterscheiden, was genau die Summe von Ordnungszahl 5 und Ordnungszahl 7 ist (es sei denn, wir haben auch das Axiom, dass wir ein zählbares Standardmodell haben), aber danke Auf die Art und Weise, wie Forcing die Erfüllung der ZF-Axiome von Modell zu Modell bewahrt, wird die Wahrheit der relativierten Versionen von Aussagen über die endlichen Ränge der mengentheoretischen Hierarchie zwischen forcierten Erweiterungen von ZF-Modellen bewahrt.

Worum es sich also zu drehen scheint, ist, welche Art von Konsequenz auf dem Spiel steht, wenn wir uns mit der Frage befassen, was etwas zur Logik oder zur Mathematik macht. Eine intuitive Art von „Wahrheit über alle Modelle hinweg“-Konzeption würde sagen, dass es etwas ernsthaftes mit dem gibt, was Cohen hier mit der Logik macht, weil er im Wesentlichen „neue“ logische Modelle erstellt, die er sicherlich hätte erkennen müssen, bevor er sie verwendet LS-Theorem als logisches Ergebnis. Aber das scheint nicht das zu sein, was Cohen zu tun glaubt - nehmen wir einen Abschnitt aus S. 1089:

Trotzdem war das Hochgefühl, dass ich viele falsche Möglichkeiten ausgeschlossen hatte, indem ich den beweistheoretischen Ansatz völlig verlassen hatte. Ich war wieder in der Mathematik ... Also ging ich sofort davon aus, dass ich ein Standardmodell der Mengenlehre habe, das zwar "offensichtlich" ist, aber in ZF nicht bewiesen werden kann.

Obwohl Cohens Ergebnisse logisch sind , sind sie eher mathematische Konsequenzen als Logik ; Cohen via Godel war es gelungen, Taktiken in reiner Logik bis zu einem gewissen Grad einzusetzen, musste aber nach außen treten, um zusätzliche Kraft zu erlangen, um seine interessanten Ergebnisse bei seiner Klassifizierung mathematischer Strukturen zu erzielen. Der Begriff der mathematischen Wahrheit scheint eine ganz besondere Art von Wahrheit zu sein, sobald man über einen bestimmten akzeptierten Kern der Logik hinausgeht (dies würde mit Hilberts Vorstellungen über die Rolle von Konsistenzbeweisen von Theorien übereinstimmen, die über endlicher Arithmetik definiert sind).

Wenn dies richtig ist, dann kann die Idee, dass wir uns auf der klassischen Prädikatenlogik erster Ordnung "festgesetzt" haben, als konsistent mit Cohens Überlegungen über die große Vielfalt angesehen werden, die in der Mengenlehre zu finden ist, denn worüber wir uns einig sind und welche Logik in Abstraktion streng davon abweicht mathematische Inhalte für uns entscheiden können, ist jener stabile endliche Kern, den alle möglichen Modelle akzeptieren. Das wäre meine Art, der These, dass die Logik in gewissem Sinne richtig formalisiert wurde, etwas Glaubwürdigkeit zu verleihen.

Aber vielleicht ist das nicht alles, was es zu sagen gibt; vielleicht sollten wir weiter in Betracht ziehen, dass wir mehr logische Strukturierung und höhere Kardinalzahlen hinzufügen können, um über Wahrheitsgrade zu sprechen, je nachdem, wie typisch einige Aussagen über die verschiedenen erzwingenden Erweiterungen hinweg sind, auf die wir stoßen könnten. Wenn Sie sich einige dieser eher esoterischen Analysen ansehen möchten, könnten Sie es schlimmer machen, als sich einige der Ideen in Woodins Ω-Logik anzusehen ( Bagaria et al . haben eine fortgeschrittene Einführung zum weiteren Lesen).