Zusammenhang zwischen einer Wellenfunktion und einem Wellenpaket

Nehmen wir zunächst an, dass wir uns im einfacheren Kontext der Quantenmechanik (und nicht der Feldtheorie) befinden. Nehmen wir der Einfachheit halber auch an, dass Photonen der (nicht ganz korrekten) Schrödinger-Gleichung gehorchen. Also versuchen wir, die Gleichung zu lösen

$$\begin{equation}\hat{H}|\psi\rangle = i\hslash \frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle\tag{1}\label{eq:Schrod}\end{equation}$$

um seine Wellenfunktion zu erhalten,$|\psi\rangle$. Eine Wellenfunktion ist also eine normalisierte Lösung für die Schrödinger-Gleichung (in dieser Einstellung).

Es gibt jedoch viele Techniken, um ein solches System je nach vorliegendem Fall zu lösen. Eines der Verfahren besteht darin, eine Fourier-Transformation anzuwenden und die Gleichung in Bezug auf den Impuls zu lösen. Zusätzlich könnte man auch nach stationären Lösungen suchen, Lösungen, deren Zeitabhängigkeit geschrieben wird als$e^{-\frac{i}{\hslash}Et}$. Dies könnten die gebräuchlichsten oder grundlegendsten Behandlungen sein, und sie führen zu der Idee, die Gleichung nach einem „pro Modus“-Ansatz zu untersuchen. Das heißt, man konzentriert sich darauf, eine Lösung für ein festes Momentum zu finden$k$oder Energie$E$. Dabei wird jedoch meist vergessen, dass es sich um Teillösungen realistischerer Szenarien handelt, bei denen das Photon (eigentlich Photonenfeld) wahrscheinlich aus vielen Lösungen dieser Art mit vielen unterschiedlichen Impulsen zusammengesetzt ist. Es stellt sich heraus, dass die Linearität der Gleichung$\eqref{eq:Schrod}$, sagt uns, dass diese Superpositionen von Lösungen, nämlich Summen (oder Integrale), auch Lösungen dafür sind. Diese Überlagerungen sind sogenannte Wellenpakete. Mathematisch gesehen sollten sie ungefähr so ​​​​aussehen

$$\Psi(x) \sim \sum_k c_k\psi_k(x)$$ was der Fourier-Transformation ähnelt. Das Bild, das man sich vorstellt, ist das einer lokalisierten Erhebung, deren Form durch die jeweiligen Koeffizienten gegeben ist $c_k$Packen der einzelnen Modi (die fixed $k$Wellenfunktionen).

Ich hoffe, das verdeutlicht den Unterschied. Bei der Kugelwelle handelt es sich nur um einen bestimmten Koordinatensatz für das Problem, aber es ändert nichts an dem, was ich beschrieben habe. Abschließend möchte ich Sie vielleicht auf das Thema der Quantenfeldtheorie hinweisen, insbesondere auf die QED (Quantenelektrodynamik), die die Theorie ist, die die Ausbreitung und Wechselwirkung von Photonen mit Materie richtig erklärt.