Hamiltonoperator von einem Lagrangeoperator mit Einschränkungen?

Question

Hamiltonoperator von einem Lagrangeoperator mit Einschränkungen?

Quanten-Spaghettifikation

Nehmen wir an, ich habe die Lagrange-Funktion:

L = T - v .

$L=T-V.$ Zusammen mit der Einschränkung, dass

F \equiv F (\vec{Q}, T) = 0.

$f\equiv f(\vec q,t)=0.$ Wir können dann schreiben:

L^{'} = T - v + λ F .

$L'=T-V+\lambda f.$ Was ist jetzt mein Hamiltonoperator? Ist es

H^{'} = {\dot{Q}}_{ich} P_{ich} - L^{'} ?

$H'=\dot q_i p_i -L'~?$ Oder etwas anderes? Ich habe mindestens ein Beispiel gefunden, bei dem die Verwendung der obigen Formel eine andere Antwort liefert als der Hamiltonian, der gefunden wurde, indem die Freiheitsgrade um eins verringert wurden, anstatt Lagrange-Multiplikatoren zu verwenden.

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Hamiltonoperator von einem Lagrangeoperator mit Einschränkungen?

QMechaniker · Answer 1

Kommentare zur Frage (v2):

Um vom Lagrange- zum Hamilton- Formalismus zu gelangen, sollte man eine (mögliche singuläre) Legendre-Transformation durchführen . Traditionell erfolgt dies über das Rezept/Kochbuch von Dirac-Bergmann, siehe z. 1-2. Beachten Sie insbesondere, dass die Einschränkung $f$ kann eine sekundäre Einschränkung erzeugen

G := {F, H^{'}}_{P B} + \frac{\partial F}{\partial T} \approx \frac{D F}{D T} \approx 0.

$g ~:=~ \{f,H^{\prime}\}_{PB} +\frac{\partial f}{\partial t}~\approx~\frac{d f}{d t}~\approx~0.$

[Hier das $\approx$ symbol bedeutet gleichheit modulo eqs. von Bewegung oder Einschränkungen.]

Verweise:

PAM Dirac, Vorlesungen über QM, (1964).
M. Henneaux und C. Teitelboim, Quantisierung von Eichsystemen, 1994.

Bild357 · Answer 2

Der Hamiltonoperator ist definiert durch

H = \sum_{ich = 1}^{N} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} {\dot{Q}}_{ich}) - L

$H = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \dot q_i \right) - L$ Also in deinem Fall:

H^{'} = H - λ f

$H' = H - \lambda f$

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Bild357

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