Warum gibt es in der Umlaufbahn des Mondes um die Sonne keine Konkavität?

Turners Ausdruck für den Krümmungsradius ρ ist korrekt, aber im Fall (3) gilt ρ = -0,988 a , wobei sich der Mond im ersten oder letzten Viertel befindet ( θ = 7,5° oder 22,5°). Bei Vollmond ( θ = 15°) sollte ρ -0,749 a sein .

Fall (1) modelliert ein Raumfahrzeug, das bei L1 ( b = a / 100, ρ = -0,99 a ) oder L2 ( b = - a / 100, ρ = -1,01 a ) stationiert ist, ungefähr 4 Mal die Mondentfernung von der Erde.

Der Fall (2) Beispiel b- Wert ist zu groß für eine stabile Umlaufbahn um die Erde. Stattdessen können wir einen geosynchronen Satelliten mit n = 366 und b = a / 3550 modellieren. Dann ist ρ +0,0218 a auf der Tagseite und -0,0314 a auf der Nachtseite. Diese Flugbahn ist abwechselnd zur Sonne hin und von ihr weg konkav und ähnelt Turners Figur 1, jedoch mit kürzeren Wellen.

Zwischen den Fällen (2) und (3) können wir Parameter finden, so dass auf der Sonnenseite der Erde der Nenner des ρ- Ausdrucks gegen Null geht und die Flugbahn vorübergehend gerade ist. Dies ist nahezu der Fall, wenn n = 24 und b = a / 575, was einer Umlaufbahn von 15,2 Tagen bei 0,677 Mondentfernung entspricht.

Jede Krümmung in der Flugbahn eines Objekts ist auf eine Beschleunigung in Richtung der darauf wirkenden Nettokraft zurückzuführen. Das kennen wir von Newton

Für den Mond ist die Sonne etwa 390-mal so weit wie die Erde, aber 330.000-mal so massereich, also zieht die Sonne ungefähr doppelt so stark:$F_\oplus$≈ 0,45$F_\odot$. Bei Vollmond ziehen Sonne und Erde den Mond in die gleiche Richtung, und die kombinierte Kraft beträgt 1,45$F_\odot$Richtung Sonne. Bei Neumond ziehen sie in entgegengesetzte Richtungen; die resultierende Kraft beträgt nur 0,55$F_\odot$aber immer noch in Richtung Sonne. Während der Krümmungsradius schwankt, kehrt sich die Krümmungsrichtung niemals um.

Für einen geosynchronen Satelliten in 0,11 Mondentfernung,$F_\oplus$≈ 38$F_\odot$. Auf der Nachtseite der Erde ist die resultierende Kraft 39$F_\odot$Richtung Sonne. Auf der Tagesseite ist es 37$F_\odot$ weg von der Sonne.

Prolog

Warum gibt es in der Umlaufbahn des Mondes um die Sonne keine Konkavität?

Das ist eine gute Frage, und Sie fragen sich natürlich völlig zu Recht, wie es möglicherweise die Sonne umkreisen kann, ohne dass seine Flugbahn nicht nur für einen kleinen Teil der Zeit, sondern für einen beträchtlichen Teil jedes Umlaufs um die Erde konkav zur Sonne verläuft.

Antworten

Die Antwort ist, dass die Bewegung des Mondes immer konkav zur Sonne ist und nichts in dem Artikel etwas Gegenteiliges sagt. Die Krümmung hat normalerweise kein Vorzeichen. Wenn wir Probleme zeichnen, können wir aber "Kurven nach links oder rechts" sagen$k = 1/R$Wo$R$ist der Radius des Schmiegkreises , und wir nehmen immer den positiven Wert für$R$. Wenn wir zu einer komplexeren Vektornotation übergehen und die Bewegungsrichtung einbeziehen, können wir über die Richtung des Drehimpulsvektors sprechen, aber das würde den Rahmen dieses Problems sprengen.

Am Anfang des Artikels sagt der Autor ausdrücklich, dass die Umlaufbahn des Mondes immer konkav zur Sonne ist:

Aufgrund der Tatsache, dass der Abstand des Mondes von der Erde im Vergleich zum Abstand der Erde von der Sonne sehr gering ist (etwa 1/400), und auch aufgrund der Tatsache, dass er in einem Jahr etwa 13 Umdrehungen um die Erde macht, es ist besser, die Bahn des Mondes als die eines Körpers zu betrachten, der eine Umlaufbahn um die Sonne beschreibt und der ständig durch die Anziehungskraft der Erde leicht gestört wird. Ein solcher Pfad wäre immer konkav zur Sonne, aber nahe an der Umlaufbahn der Erde und würde sie zweimal im Monat überqueren.

Abbildung 1. Falsche Darstellung der Mondbewegung.

Epilog

Wie verhalten sich also die Abstände Erde-Sonne und Mond-Sonne, wenn wir vergessen, dass sie sich in riesigen Kreisen bewegen?

Wenn wir vergessen, dass die Hauptkonkavität immer da ist, und nur die Schwankungen betrachten, kommt die Erde im Laufe des Jahres ein wenig näher und weiter, aber der Mond ist ziemlich beschäftigt! Es bewegt sich ständig etwas näher und etwas weiter. Das bedeutet nicht, dass die Bewegung nicht immer konkav zur Sonne hin ist, aber es bedeutet, dass der Abstand zwischen Mond und Sonne mehr als ein Dutzend Maxima und Minima pro Jahr hatte! Wer hat es gedacht?

Python:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from skyfield.api import Topos, Loader       
load = Loader('~/Documents/fishing/SkyData')  # avoids multiple copies of large files
data = load('de421.bsp')
ts = load.timescale()
times = ts.utc(2020, 1, np.arange(367))
sun, earth, moon = [data[x].at(times).position.km for x in ('sun', 'earth', 'moon')]
r_earth = np.sqrt(((earth - sun)**2).sum(axis=0))
r_moon = np.sqrt(((moon - sun)**2).sum(axis=0))
plt.figure()
plt.plot(r_earth - r_earth.mean())
plt.plot(r_moon - r_moon.mean())
plt.title('daily solar distances for Earth and Moon for 2020', fontsize=14)
plt.ylabel('Deviation from mean (km)', fontsize=14)
plt.xlabel('Days in 2020', fontsize=14)
plt.show()

Hier ist ein Quickie, wie die falsche Ansicht aussehen würde, wenn sie pro Anfrage in den Kommentaren korrekt wäre:

Hier ist ein Video und ein GIF von dieser Antwort

Lesen Sie in dieser Antwort mehr über die Tools, mit denen dieses Video erstellt wurde .

GIF unten: Screenshots aus der YouTube-Video- Lagrange-Punkte-Animation .

Ich denke, was Sie vielleicht vermissen, ist das$\rho$ist ein sich stetig ändernder Wert. Die aufgeführten Funktionen sind stetig und überall differenzierbar, und wie der Text sagt, gibt es nie einen Vorzeichenwechsel. Die Bahn, die der Mond nimmt, ist nicht "wellig", obwohl er von hinten nach vor der Erde geht.

Meine Frage ist dann, wie schafft es die Umlaufbahn des Mondes, keine Konkavität zu haben, egal wie klein sie ist, während sie von der Vollmond- zu den Neumondpositionen übergeht? Ist das nicht eine mathematische Unmöglichkeit?

TL;DR-Antwort: Weil die Gravitationsbeschleunigung des Mondes zur Sonne etwa doppelt so hoch ist wie die Gravitationsbeschleunigung des Mondes zur Erde und weil die Geschwindigkeit, mit der die Erde die Sonne umkreist, etwa dreißigmal so hoch ist wie die Geschwindigkeit, mit der der Mond um die Sonne kreist Erde.

Um die längere Antwort zu erhalten, ist eine Definition dessen, was "Konvexität" bedeutet, erforderlich. Dies ist für eine einfache geschlossene ebene Kurve einfach: Eine einfache geschlossene ebene Kurve (auch bekannt als Jordan-Kurve ) ist konvex, wenn für zwei beliebige Punkte im Inneren der Kurve alle Punkte auf dem Liniensegment, das die beiden Punkte verbindet, in der liegen Innere der Kurve.

Leider ist weder die Bahn der Erde noch des Mondes um die Sonne geschlossen oder planar. Um diese Probleme zu lösen, werde ich zuerst das tun, was der zitierte Artikel getan hat, nämlich koplanare kreisförmige Umlaufbahnen eines Planeten mit Punktmasse um einen Stern und eines Mondes mit unendlich kleiner Punktmasse um den Planeten zu untersuchen, so dass

• Die Umlaufgeschwindigkeit des Planeten$v_p$um den Stern ist umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Entfernung$r_p$zwischen dem Stern und dem Planeten,
• Die Umlaufgeschwindigkeit des Mondes$v_m$um den Planeten ist umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Entfernung$r_m$zwischen dem Planeten und dem Mond, und
• Die Proportionalitätskonstante für den Planeten$\left(\frac{{v_p}^2}{r_p}\right)$ist viel größer als die für den Mond$\left(\frac{{v_m}^2}{r_m}\right)$.

Für hinreichend kleine Werte von$r_m$, wird die Umlaufgeschwindigkeit des Mondes um den Planeten die des Planeten um den Stern überschreiten, wodurch sich die Bahn des Mondes um den Stern selbst schneidet:

Die Schleifen werden kleiner, wenn die Umlaufbahn des Mondes zunimmt, und werden schließlich zu nach innen weisenden Spitzen an dem Punkt, an dem die Umlaufgeschwindigkeit des Mondes um den Planeten auf den Punkt abgenommen hat, an dem sie der Umlaufgeschwindigkeit des Planeten um die Sonne entspricht. Während diese Kurve geschlossen sein kann oder nicht, ist sie aufgrund der nach innen gerichteten Spitzen definitiv nicht konvex. Die Spitzen verbreitern sich in Intervalle, in denen die primäre Normale nach außen zeigt, wenn der Umlaufradius des Mondes noch weiter vergrößert wird:

Diese Kurve ist immer noch nicht konvex, wie sich daran zeigt, wie die primäre Normale abwechselnd nach innen und nach außen zeigt. die Krümmung der Bahn des Mondes um den Stern ist an diesen Übergangspunkten Null: Die Bahn ist zumindest augenblicklich eine gerade Linie. Dies geschieht, weil der Beschleunigungsvektor an diesen Übergangspunkten parallel zum Geschwindigkeitsvektor ist.

Die Intervalle, in denen die Bahn des Mondes um die Sonne eher konkav als konvex ist, schrumpfen, wenn die Umlaufbahn des Mondes noch weiter zunimmt. An einem kritischen Punkt schrumpfen die Intervalle der Konkavität zu Nichts. Der Pfad ist überall bei dieser Umlaufentfernung und darüber hinaus konvex:

Diese kritischen Punkte treten dort auf, wo die Beschleunigung des Mondes zum Stern hin identisch Null ist. Dies sollte nicht überraschen, da es einen sehr engen Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Beschleunigung und Krümmung gibt. Insbesondere ist die Krümmung einer Kurve an einem gewissen Punkt

Beachten Sie, dass der Vektor$\vec v \times \vec a$zeigt in Richtung der Einheit binormal. Dies legt eine einfache Metrik nahe, die sich auf nicht-ebene Umlaufbahnen erstreckt: Eine Umlaufbahn um einen zentralen Punkt, wenn das Kreuzprodukt zwischen Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bezug auf diesen zentralen Punkt immer in derselben Halbebene liegt. Eine noch einfachere Metrik besteht darin, zu testen, ob die Größe der Gravitationsbeschleunigung in Richtung des Sterns größer ist als die in Richtung des Planeten.