Zusammenhänge zwischen Arbeit und Energie verstehen

Manchmal, wenn Sie an Dingen festhängen, ist es hilfreich, sich die Mathematik dessen anzusehen, was behauptet wird. Zum Beispiel erscheint nirgendwo in den drei Newtonschen Gesetzen „Energie wird erhalten“.

Energieeinsparung tritt jedoch auf, wenn Sie ein System haben, das sich wie folgt verhält$m \ddot{x}=-\nabla U$, für irgendeine Funktion$U$, Wo$x$ist ein Positionsvektor als Funktion der Zeit. In diesem Fall ist es ein mathematisches Theorem, das$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} m \|\dot{x}\|^2+U\right)=0$.

Obwohl es leicht ist, sich hinreißen zu lassen und über Natur und Systeme zu sprechen und warum einige Kräfte als dargestellt werden können$\nabla U$, in jedem normalen Mechanikbuch*, das ich gelesen habe, läuft es darauf hinaus.

*normale Mechanik im Gegensatz zu höherer Mechanik. In der höheren Mechanik sagt man, dass die Aktion$A[u]=\int L(u(t),u'(t),t)dt$wird tendenziell minimiert. Daraus ist ein mathematisches Theorem, dass wenn$L(u,\dot{u},t)=L(u,\dot{u},t+t_0)$für alle$t_0$, dann bleibt die Energie erhalten. Dann lautet Ihre Frage jedoch: „Warum neigt die Natur dazu, die Aktion zu minimieren“ oder äquivalent dazu: „Warum müssen wir eine Funktion wie verwenden?$L$?" Worauf man sich auf Experimente berufen muss! Es gibt keine Beweise für die Energieerhaltung, ebenso wenig wie es Beweise für die Newtonschen Gesetze gibt!

Ableitung, die Arbeit wie oben definiert anwendet, führt für ein Teilchen, das sich entlang einer geraden Linie bewegt, zu einer Änderung seiner kinetischen Energie (ich hoffe, es ist nicht zu komplex zu verstehen):

In dem Fall die resultierende Kraft$F$in Größe und Richtung konstant ist, und parallel zur Geschwindigkeit des Teilchens bewegt sich das Teilchen mit konstanter Beschleunigung a entlang einer geraden Linie. Die Beziehung zwischen der Nettokraft und der Beschleunigung ist durch die Gleichung gegeben$F = ma$(zweites Newtonsches Gesetz) und die Teilchenverschiebung$s$kann durch die Gleichung ausgedrückt werden$s = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2a}$was folgt aus$v_2^2 = v_1^2 + 2as$.

Die Arbeit der Nettokraft wird als Produkt aus ihrer Größe und der Partikelverschiebung berechnet. Setzt man die obigen Gleichungen ein, erhält man:$W = Fs = mas = ma \left(\frac{v_2^2 - v_1^2}{2a}\right) = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \Delta {E_k}$

Im allgemeinen Fall einer geradlinigen Bewegung, wenn die Nettokraft$F$nicht konstant im Betrag, aber konstant in der Richtung und parallel zur Geschwindigkeit des Teilchens, muss die Arbeit entlang der Bahn des Teilchens integriert werden:

$W = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\cdot \mathbf{v}dt = \int_{t_1}^{t_2} F \,v dt = \int_{t_1}^{t_2} ma \,v dt = m \int_{t_1}^{t_2} v \,{dv \over dt}\,dt = m \int_{v_1}^{v_2} v\,dv = \tfrac12 m (v_2^2 - v_1^2)$.