Das Teilchenkonzept in QFT

Etwas überraschend ist das "generische" Teilchen von QFT tatsächlich vollständig delokalisiert.

Genauer gesagt wird angenommen, dass Teilchen aus der Modenexpansion freier Felder stammen . Da jedes freie relativistische Feld$\phi$erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung$(\partial^\mu\partial_\mu - m^2)\phi = 0$, eine Fourier-Transformation zeigt, dass es erweitert werden kann als

$$\phi(x) = \int \frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2p^0}}(a(\vec p)\mathrm{e}^{\mathrm{i}px} + a^\dagger(\vec p)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}px})$$

wobei die Lorentz-Invarianz nicht manifest ist, aber dennoch gezeigt werden kann. Ein Quantenfeld ist operatorbewertet , und die operatorbewerteten Objekte$a(\vec p),a^\dagger(\vec p)$genau die richtigen Vertauschungsbeziehungen erfüllen, um als Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren interpretiert zu werden. Das$n$-Teilchenzustand von Teilchen, die dem Feld zugeordnet sind$\phi$ist jetzt definiert als

$$\lvert n;p_1,\dots,p_n \rangle := a^\dagger(p_1)\dots a^\dagger(p_n)\lvert \Omega \rangle$$

wo$\lvert \Omega \rangle$ist der (meistens) eindeutige Vakuumzustand. Auf diese Weise erzeugt man zunächst alle im Impulsraum scharf lokalisierten (und damit im Ortsraum vollständig delokalisierten) Teilchenzustände und kann aus den scharfen Impulszuständen durch das übliche Bilden von "Wellenpaketen" mit unscharfem Impuls lokalisierte Teilchenzustände aufbauen :

Ein QM-Wellenpaket der Breite$\sigma_x$lokalisiert bei$x_0$ist aus den reinen Impulszuständen aufgebaut$\lvert \vec p \rangle$als so etwas wie

$$\lvert x_0,\sigma_x\rangle = \int \frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\mathrm{e}^{\mathrm{2i\sigma_x^2(x - x_0)^2}}\lvert p \rangle$$ Es funktioniert genauso für lokalisierte QFT-Teilchen, außer dass man das Maß mit multiplizieren sollte $\frac{1}{\sqrt{2p^0}}$um eine Lorentz-invariante Integration zu haben, und natürlich $\lvert p \rangle = a^\dagger(p)\lvert \Omega \rangle$.

Die Idee, dass "Teilchen lokale Anregungen der Felder sind", kommt von der Beobachtung, dass diese Modenexpansion fast vollständig analog zu einem klassischen Feld ist, das eine Wellengleichung wie die Klein-Gordon-Gleichung erfüllt, wo die$a(\vec p),a^\dagger(\vec p)$würde direkt eine Anregung des Feldes der Wellenzahl darstellen$\vec p$. Es kann im Zusammenhang mit QFT nicht präzisiert werden, da das Quantenfeld operatorbewertet ist und keine bestimmten Werte hat, sodass völlig unklar ist, welchen strengen Sinn es haben könnte, "angeregt" zu sein. Es ist ein schönes Bild, aber nichts, was man zu wörtlich nehmen sollte.

Beachten Sie auch, dass dies für das freie Feld gilt . Das wahre Wechselwirkungsfeld einer QFT kann auf diese Weise nicht moduserweitert werden, und Teilchenzustände werden (durch den LSZ-Formalismus) nur in der asymptotischen Vergangenheit und Zukunft erhalten (wenn sie weit genug voneinander entfernt waren, damit Wechselwirkungen effektiv nicht existieren). Die Theorie - der Hilbert-Raum (und damit alle Zustände, die Sie als Teilchen identifizieren oder nicht identifizieren konnten) von interagierenden QFTs ist im Wesentlichen unbekannt .

Darüber hinaus konstruieren mathematischere Methoden zum Konstruieren von QFTs oft zuerst die$a,a^\dagger$und den Fock-Raum der Teilchenzustände, und dann das Feld daraus definieren - dann sind die Rollen von Teilchen und Feld als "fundamental" und "abgeleitet" etwas umgekehrt.

Ein guter Weg, ein Teilchen in der Quantenfeldtheorie zu verstehen, ist eine Analogie zur Physik der Festkörper (kondensierte Materie).

Stellen Sie sich einen Festkörper vor, es gibt ein Gitter aus Atomen mit regelmäßigen Abständen. Aber die Atome können sich bewegen, wenn man zu seinem Nachbarn verschoben wird, bewegt sich dieser Nachbar ein bisschen weg und beeinflusst so seinen Nachbarn und so weiter. Es gibt also eine zugrunde liegende Struktur, das stationäre Gitter. Und es gibt Störungen in dieser zugrunde liegenden Struktur, diesen verschiedenen Schwingungsmodi. Du könntest dir eine kleine Schwingung oder eine größere Schwingung vorstellen. Diese Schwingungsmoden werden Phononen genannt, und das ist kein Tippfehler, sie sind wie Schallpartikel. Sie sind keine fundamentalen Teilchen, sie sind Schwingungsmoden des Gitters. Aber sie gehorchen bestimmten Regeln, besonders wenn wir uns die Quantennatur der Gitterwechselwirkungen ansehen.

Stellen Sie sich jetzt anstelle eines Atomgitters ein einzelnes Elektron-Positron-Feld vor, das den gesamten Raum ausfüllt. Es könnte einen Vakuumzustand haben, und vielleicht gibt es Störungen oder Schwingungsmodi dieses Vakuumzustands, einige dieser Modi werden Elektronen genannt, andere werden Positronen genannt. Manche haben Schwung in eine Richtung, manche in andere. Einige haben eine Aufwärtsdrehung, andere eine Abwärtsdrehung. Jeder ist ein Modus in dem einzigen vereinheitlichten Elektron-Positron-Feld, das die Raumzeit erfüllt. So wie die Gitterschwingungen quantisierte Moden hatten und wir sie Phononen nannten, so sind auch diese Moden des Elektron-Positron-Feldes Quanten und sie sind Elektronen (oder Positronen).

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Wenn Sie sich eine Reihe von Massen ansehen, die durch Federn verbunden sind, sind die normalen Moden überhaupt nicht lokalisiert. Sie können die Eigenmoden für ein 1d-System aus einigen identischen Massen mit identischen Federn tatsächlich berechnen, und es ist eine gute Übung, wenn Sie dies noch nie zuvor getan haben. Ebenso sind die Moden eines Quantenfeldes nicht im Geringsten lokalisiert und das Feld selbst ist überall.

Es ähnelt einer Welle mit einer Fourier-Transformation oder einer periodischen Welle mit einer Fourier-Reihe. Wenn es eine Fourier-Version hat, kann man es als "bestehend" aus einem Teil dieses Modus und einem Teil dieses Modus beschreiben. Wenn Sie später eine ganz andere Fourier-Transformation haben, können Sie davon sprechen, dass die Kuppel dieser Bits zerstört oder erzeugt wurde. Keiner der Teile, keiner der Modi, keiner von ihnen ist lokalisiert.

In der QFT wird ein Partikel manchmal als Unregelmäßigkeit im Feld angesehen

Wenn Sie sich das Gitter als regelmäßig vorstellen, dann können Sie sich diese Schwingungsmoden als Unregelmäßigkeit vorstellen, aber sie sind nicht im Geringsten lokalisiert. Ein Schwingungsmodus könnte darin bestehen, die Atome gedanklich zu Paaren von Partnernachbarn zu gruppieren, die dann ihren Massenschwerpunkt konstant halten, während sie sich symmetrisch auf ihren Partner zu und dann in regelmäßigen Abständen von ihrem Partner weg bewegen. Dieser Modus ist nicht im geringsten lokalisiert. Alle Moden sind qualitativ so, sie können als Abweichungen vom regulären Gitter betrachtet werden, aber sie sind Abweichungen mit ihrer eigenen Regelmäßigkeit und sind überall verteilt, so wie das ursprüngliche Gitter überall verteilt war.

Für die QFT haben Sie also anstelle eines Gitters einen Vakuumzustand eines Quantenfelds (wie das Elektron-Positron-Feld). Der Vakuumzustand ist nicht Null, er ist nicht trivial und er hat Regelmäßigkeiten. Es ist überall verteilt. Die höherenergetischen Erregungsmodi sind wie Abweichungen, die selbst regelmäßig sind und sich über den gesamten Raum ausbreiten, genau wie der Vakuumzustand regelmäßig war und sich über den gesamten Raum ausbreitete. Und während Sie daran gewöhnt sind, daran zu denken, dass es viele Elektronen gibt, gibt es nur ein Feld für jedes Elektron im Universum (und alle Positronen teilen sich dieses Feld auch). Es sind nur viele Anregungen gleichzeitig erlaubt, so wie eine schwingende Saite viele Obertöne gleichzeitig haben kann.

QFT behandelt Teilchen als angeregte Zustände eines zugrunde liegenden physikalischen Feldes, daher werden diese als Feldquanten bezeichnet

Genau dasselbe, es gibt ein zugrunde liegendes Feld, es kann auf viele Arten angeregt werden, die Anregungen sind das, was wir Teilchen nennen. Sie sind wie Schwingungsmoden oder Abweichungen des Vakuumzustands. Und alle sind über den ganzen Raum verteilt.