Was sind Quantenfelder mathematisch?

Die Definition eines Quantenfelds hängt leicht vom verwendeten Formalismus ab, aber allgemein werden Quantenfelder als Operatorwertverteilungen definiert. Das heißt, wenn Sie ein Quantenfeld haben$\Phi$, es ist definiert als

Es bildet glatte Funktionen mit kompakter Unterstützung auf der Raumzeit-Mannigfaltigkeit auf lineare Operatoren auf dem Hilbert-Raum ab, wo Ihre Quantentheorie definiert ist. Durch etwas Notationsmissbrauch schreiben wir es manchmal als$\Phi(x)$, obwohl dies nur dann gut definiert ist, wenn die Verteilung auch selbst eine glatte Funktion ist.

Dies ist mit einigen Schwierigkeiten verbunden (da Verteilungen nicht einfach miteinander multipliziert werden können und QFT viele Produkte von Feldern beinhaltet), was bedeutet, dass man Methoden wie Wellenfrontsätze und Renormalisierungen verwenden muss, um alles zu verstehen.

Die Antworten, die darauf hindeuten, dass die Antwort auf "Was ist ein Quantenfeld?" unklar oder sogar offen sind, sind falsch.

Der Eindruck, dass dies unklar sein könnte, ist darauf zurückzuführen, dass die Standardlehrbücher an den Heuristiken festhielten, die Tomonaga-Schwinger-Feynman-Dyson halfen, die Theorie vor vielen Jahrzehnten zu erraten, aber die mathematische Natur der realistischen Quantenfeldtheorie wurde Mitte der 70er Jahre vollständig verstanden und seitdem weiterentwickelt. Eine Übersicht über den Stand der Technik ist bei

• PhysicsFormums-Insights -- Einführung in die Theorie der störenden Quantenfelder

Zunächst einmal lohnt es sich zu erkennen, dass es einen Unterschied zwischen einer Feldkonfiguration und einer Observablen auf dem Raum aller Feldkonfigurationen gibt.

Ein Feld selbst ist entweder in der klassischen Physik oder in seiner Quantisierung einfach eine Funktion der Raumzeit, die jedem Raumzeitpunkt den "Wert" dieses Feldes an diesem Punkt zuweist. Oder allgemeiner gesagt, es ist ein Abschnitt eines Bündels über der Raumzeit, das als Feldbündel bezeichnet wird. Wenn das Feldbündel beispielsweise ein Spinbündel ist, dann ist das Feld ein Spinor, wenn es das Differentialformbündel ist, dann ist das Feld ein Eichpotential wie beim Elektromagnetismus usw.

Aus der Lagrange-Dichte erhält man nun zweierlei: die Bewegungsgleichungen sowie eine präsymplektische Form auf dem Raum all jener Feldgeschichten, die die Bewegungsgleichungen lösen. Dies wird der kovariante Phasenraum der Theorie genannt.

Eine Observable ist eine Funktion auf diesem kovarianten Phasenraum. Es sendet jede Feldgeschichte an eine Zahl, den "Wert dieser Beobachtungsgröße in dieser Feldgeschichte". Aber da der kovariante Phasenraum selbst ein Raum von Funktionen (oder besser Abschnitten) ist, ist eine Funktion darauf ein funktionales .

Darunter befinden sich die "Punktbewertungsfunktionale", dh die Observablen, deren Wert in einem Feldverlauf der Wert dieses Feldes an einem bestimmten Punkt ist. Die Sache mit Verteilungen ist einfach, dass bei diesen Punktauswertungsfunktionen die Peierls-Poisson-Klammer nicht definiert ist (nur ihr integraler Kern ist definiert, was Sie in den Lehrbüchern sehen). Man beschränkt sich also auf jene Observablen, die Funktionale auf dem Raum der Feldgeschichten sind, auf denen die Poisson-Klammer tatsächlich schließt. Dies sind Abstriche der Punktauswertungsfunktionale durch kompakt unterstützte Raumzeitfunktionen. Dann wird ein Punktauswertungsfunktional zu einer Karte, die, sobald eine Schmierfunktion spezifiziert wurde, eine Observable ergibt. So sind bereits klassische Punktauswertungen Feldobservablen Verteilungen: "

Alles, was nun bei der Quantisierung passiert, ist, dass die punktweise Produktalgebra von Funktionalen auf dem kovarianten Phasenraum zu einer nichtkommutativen Algebra deformiert wird. Es ist traditionell zu fordern, diese Algebra innerhalb einer Algebra von Operatoren auf einem Hilbert-Raum darzustellen, aber zum größten Teil ist dies ein Ablenkungsmanöver. Was zählt, ist die nichtkommutative Algebra der Quantenobservablen. Zur Berechnung der Vorhersagen der Theorie, ihrer Streuamplituden, ist es eigentlich nicht notwendig, diese durch Operatoralgebra darzustellen.

Unabhängig davon, ob Sie die nichtkommutative Algebra der Quantenobservablen nun durch Operatoren darstellen möchten oder nicht, in jedem Fall ergibt sich jetzt, dass ein Punktauswertungsfunktional etwas ist, das eine Schmierfunktion einliest und dann die entsprechende Observable erzeugt, die nun als dargestellt wird ein Element einer nichtkommutativen Algebra. Auf diese Weise sind Quantenobservable auf Feldern Algebra-Element-bewertete (z. B. Operator-Algebra-Element-bewertete) Verteilungen.

Und ja, für freie Felder ergibt dies die vertrauten Erstellungs-Vernichtungs-Operatoren, für Details, wie das funktioniert, siehe

• auf dem nLab bei Wick Algebra .

Eine ausführliche Darstellung dieser Fragen finden Sie unter

• Geometrie der Physik -- Eine erste Idee der Quantenfeldtheorie

Derzeit ist dies bis zur klassischen Geschichte geschrieben. Für die Quantentheorie schauen Sie sich die Seite in zwei Monaten noch einmal an.

Es gibt noch keine mathematisch fundierte Formulierung einer realistischen QFT, daher haben wir an dieser Stelle keine wirkliche Antwort auf Ihre Frage. Die QFT, die Physiker verwenden, um Vorhersagen zu treffen, ist in der sogenannten Lagrange-Formulierung enthalten, die ein heuristisches Framework zum Erhalten von Störungsentwicklungen unter Verwendung von Feynman-Diagrammen ist. Es gibt auch algebraische oder axiomatische QFT , mathematisch wohldefiniert, aber bisher auf freie Theorien und Spielzeugmodelle beschränkt. Die Idee ist, dass QFT eine Liste von Axiomen erfüllen muss, wobei die Wightman-Axiome am häufigsten verwendet werden, und die Herausforderung darin besteht, realistische Theorien zu konstruieren, die diese erfüllen. Die mathematische Konstruktion einer Yang-Mills-Theorie mit einer Massenlücke ist eines der Millennium-Probleme.

In der algebraischen QFT werden Felder mit Operatorwertverteilungen identifiziert, und das Fock-Raum-Bild ist eine duale Darstellung davon. Diese Dualität ähnelt den Bildern von Schrödinger vs. Heisenberg in der Quantenmechanik. Die Idee ist, dass der Hilbert-Raum von Quantenfeldern als Verteilungen, die mit lokalisierten Regionen der Raumzeit verbunden sind, einheitlich dem Fock-Raum entspricht, in dem Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren definiert sind und der in der Praxis viel häufiger verwendet wird. Das ist der Fock-Raum der zweiten Quantisierung, also sind diese Operatoren nicht dieselben wie die Feldoperatoren, die quantisierte Versionen klassischer Felder sind (intuitiv sind die Fock-Raumoperatoren "global", während die Feldoperatoren "lokalisiert" sind):

" Glücklicherweise enthalten die Operatoren auf einem QFT-Hilbert-Raum einen Satz von Feldoperatoren. Wenn eine bestimmte Wellengleichung durch ein klassisches Feld erfüllt wird$\phi(x)$, wird sie auch in Form einer Operatorgleichung durch eine Reihe von Operatoren erfüllt$\widehat{\phi}(x)$auf dem Zustandsraum der quantisierten Version der Feldtheorie. Etwas ungenau gesprochen,$\widehat{\phi}(x)$verhält sich wie ein Operatorfeld, das jedem Punkt x einen Operator mit Erwartungswert zuweist$(\psi,\widehat{\phi}(x)\psi)$. Da sich der Staat dynamisch entwickelt, werden sich diese Erwartungswerte wie die Werte eines klassischen Feldes entwickeln. Die Menge der Feldoperatoren wird manchmal als operatorwertiges Quantenfeld bezeichnet . Eine Einschränkung, die später wichtig wird: Streng genommen können wir kein nichttriviales Feld von Operatoren konstruieren$\widehat{\phi}(x)$an Punkten definiert. Aber es ist möglich, ein „verschmiertes“ Quantenfeld durch Faltung mit Testfunktionen zu definieren.

[...] Wir brauchen eine Interpretation feldtheoretischer Zustände, um festzustellen, welche physikalisch kontingenten Tatsachen sie darstellen. In der Einzelteilchen-QM ist ein Zustand eine Überlagerung von Zuständen mit bestimmten Werten für die Observablen der Theorie (z. B. Ort und Impuls) ... in Feldtheorien interessieren wir uns für Systeme, die Werte für ein bestimmtes Feld annehmen$\phi(x)$und sein konjugierter Impuls$\pi(x)$. Wenn wir also eine Feldtheorie quantifizieren, sollten wir mit dem Feld genau das machen, was wir mit dem mechanischen System gemacht haben, um QM zu erzeugen. Vertauschungsbeziehungen auferlegen$\phi(x)$und$\pi(x)$, und verschieben unsere Zustände in den Hilbert-Raum der Wellenfunktionale ($\Psi(\phi)$), die Überlagerungen verschiedener klassischer Feldkonfigurationen beschreiben.

Die Äquivalenz zum Fock-Raum-Bild kann für freie QFT bewiesen werden, aber axiomatische QFT hat Schwierigkeiten, Wechselwirkungen einzubeziehen oder Positionsoperatoren zu definieren. Aus diesem Grund argumentieren einige, dass weder Quantenfeld- noch Fockraum/Teilchen-Interpretationen in einer mathematisch ausgereiften QFT überleben können, siehe zB Baker's Against Field Interpretations of Quantum Field Theory , aus dem das obige Zitat stammt.

Wallace hat eine nette Rezension zur Verteidigung der Naivität: Der konzeptionelle Status der Lagrange-QFT , die die mathematische Struktur der QFT analysiert, wie sie praktiziert wird, und argumentiert im Gegenteil, dass sie als eine gültige Annäherung dessen angesehen werden kann, was die algebraische QFT eines Tages ergeben könnte . Wenn dies der Fall ist, dann sind Operator-bewertete Verteilungen und Fock-Raum-Zustände, interpretiert als Teilchenzustände, effektive Realisierungen dessen, was Quantenfelder auf niedrigen Energieniveaus „sind“:

„ Wir haben argumentiert, dass solche QFTs zu perfekt definierten Quantentheorien gemacht werden können, vorausgesetzt, wir nehmen die Hochenergie-Grenze absolut ernst; dass die verschiedenen Möglichkeiten, dies zu tun, nicht im Widerspruch stehen, vorausgesetzt, wir verstehen sie als Annäherungen an die Struktur von eine tiefergehende, noch unbekannte Theorie; dass die Existenz inäquivalenter Repräsentationen kein Problem ist; dass für solche Theorien ein Begriff der Lokalisierung definiert werden kann, der geeignet ist, zumindest einige der praktischen Probleme zu analysieren, mit denen wir konfrontiert sind; und so weiter Die diesem Konzept innewohnende Ungenauigkeit ist weder einzigartig in der relativistischen Quantenmechanik noch in irgendeiner Weise problematisch.