Beliebige exakte analytische Lösungen für nicht-keplersche Bahnen; die um nichtradialsymmetrische Massenverteilungen (zB J₂≠0)?

Keplersche Bahnen, also jene um kugelsymmetrische Massenverteilungen ( Newtons Shell-Theorem kollabiert sie zu einem Punkt ) haben analytische Lösungen, die man schreiben kann T ( θ ) als einfache Gleichung. Natürlich umgekehrt θ ( T ) kann nicht geschrieben werden und muss noch numerisch gelöst werden.

Aber ich vermute , dass es für alles andere als die eigentlichen Kepler-Bahnen keine einfache Bahngleichung gibt. Es gibt viele Gleichungen da draußen, die das Ergebnis verschiedener Störungsberechnungen oder anderer Annäherungen sind.

Siehe zum Beispiel

Diese beziehen sich auf eine Kelperian-ähnliche Orbitalparametrisierung von Umlaufbahnen um ein abgeflachtes / gestrecktes Sphäroid, das durch gekennzeichnet ist J 2 . Zum Beispiel die Gleichung für die Knotenperiode einschließlich der Auswirkungen von Exzentrizität und J 2 wurde in @Chris' Antwort getippt :

T = T 0 [ 1 − 3 J 2 ( 4 − 5 Sünde 2 ⁡ ich ) 4 ( A R ) 2 1 − e 2 ( 1 + e cos ⁡ ω ) 2 − 3 J 2 ( 1 − e cos ⁡ ω ) 3 2 ( A R ) 2 ( 1 − e 2 ) 3 ]

Hier, nach der Antwort, ω ist das Argument des Perigäums, und e Und ich sind Exzentrizität und Neigung.

Wir können vermuten, dass dies eine Annäherung sein könnte, da eine reale Umlaufbahn um einen Körper ungleich Null ist J 2 Kepler-Elemente nicht leicht zu erkennen sein werden (die Umlaufbahn wird nicht einmal planar sein!), müssten sie neu definiert werden. Aber vielleicht kann die nicht-elliptische Umlaufbahn im Zusammenhang mit dieser Gleichung immer noch irgendwie eine wohldefinierte Exzentrizität haben.

Frage: Letzten Endes alle exakten analytischen Lösungen für nicht-keplersche Umlaufbahnen; die um nichtradialsymmetrische Massenverteilungen (zB J₂≠0)? Oder einmal J 2 von Null abweicht oder die zentrale Masse in irgendeiner Weise von kugelsymmetrisch abweicht, werden die Bewegungsgleichungen immer Näherungen?

Für die Zwecke dieser Frage könnten "exakte analytische Lösungen" unendliche Reihen umfassen, solange sie als solche geschrieben werden können und wurden.

Hinweis: Das Schreiben dieser Frage ist kompliziert; Ich bin offen für Kommentare, die Anpassungen des Wortlauts oder des Geltungsbereichs empfehlen.

Sehr gute Frage, darüber habe ich auch schon nachgedacht. Aber „umkreist ein abgeflachtes/prolates Sphäroid, das gekennzeichnet ist durch J 2 " scheint eine Fehlinterpretation zu enthalten: IMO, die J N kann nur Abplattung modellieren. Übrigens, als ersten Schritt würde ich den Umfang auf das Gravitationspotential beschränken, das nur a beinhaltet J 2 > 0 (ich glaube nicht, dass es negativ sein kann).
@NgPh Es gibt keine solche mathematische Vorzeichenbeschränkung. J 2 Und J 22 sind einfach die beiden Terme niedrigster Ordnung in einer unendlichen Multipolerweiterung eines Geopotentialmodells . Es ist wahr, dass ein großer, aber langsam rotierender Planet im hydrostatischen Gleichgewicht abgeflacht ist, die Dinge werden kompliziert und er kann dreiachsig werden, wenn er schneller rotiert. Andererseits muss ein kleiner Gesteinskörper nicht im hydrostatischen Gleichgewicht sein und kann eines haben J 2 es will, positiv oder negativ.
@NgPh Wenn sich ein Asteroid zufällig um seine Längsachse dreht, hat er wahrscheinlich ein Negativ J 2 , während, wenn sich derselbe Asteroid zufällig um seine kurze Achse (Achse des größten Trägheitsmoments) dreht, sein J 2 wird jetzt (wahrscheinlich) positiv sein. Es hängt einfach davon ab, in welche Richtung Sie sich entscheiden, das Objekt zu nennen z -axis, und traditionell ist das die aktuelle Rotationsachse des Objekts.
können Sie mir die Definition von zeigen J 22 im Wikipedia-Geopotenzialmodell?
@NgPh sieht so aus, als würden sie nicht so weit gehen, aber J 22 wäre der zonale harmonische Koeffizient für die P 2 2 Begriff ( J 2 wird assoziiert mit P 2 0 ) in dem Zeug zwischen den Gleichungen 9 und 10. Diese Antwort ist mit dem Gravitationsfeld des Längengrads der Erde verknüpft, wie es durch die Drift von drei synchronen Satelliten erfasst wird
Nach dem, was ich gelesen habe, scheint der Begriff "zonal" für den Fall m = 0 reserviert zu sein, dh keine Variation in Längsrichtung (Phi-Winkel in Wiki-Notation). Außerdem kann ich deine negativen Erklärungen nicht nachvollziehen J 2 mit Trägheitsmomenten. Ich würde denken, dass die sphärischen Harmonischen nur mit der geometrischen Form zusammenhängen (homogene Massenverteilung innerhalb dieser Form).
@NgPh Anstatt zu versuchen, in Kommentaren eine Multithread-Diskussion zu führen, stellen Sie eine neue Frage, vielleicht "Can J 2 hast du eithwr Zeichen?"
Enthält diese Frage nichtphysikalische Lösungen? Das heißt, Formen, die in der Natur unmöglich oder höchst unwahrscheinlich vorkommen. Ich glaube, mir fallen einige Beispiele ein, die ihren Ursprung in elektrischen Feldern haben, dem Cousin der Schwerkraft. Aber Sie werden keine Asteroiden mit einer lustig genug Form finden.
@SE-stopfiringthegoodguys Ich bin hin und her gerissen, weil nein, außer dass dir wahrscheinlich etwas wirklich Interessantes einfällt, also ja ... :-) Da ist das: Könntest du einen quadratischen (kubischen) Körper stabil umkreisen? Würde sich die Umlaufbahn automatisch destabilisieren, wenn sie nicht durch Eingaben korrigiert würde? Zum Beispiel
Sie sollten in der Lage sein, die Lagrange-/Hamilton-Mechanik auf jedes weitgehend gesunde Gravitationsfeld anzuwenden und Bewegungsgleichungen zu entwickeln, bei denen es sich um Differentialgleichungen handelt, normalerweise 2. Grades. Ob nun diese Gleichungen analytische Lösungen haben, das ist eine andere Sache; Sicherlich einige , aber Sie benötigen möglicherweise bestimmte, spezifische Layouts der Massen.
Die Bewegung eines Satelliten unter der J 2 Störung wird durch ein dynamisches System beschrieben, das nicht integrierbar ist, was impliziert, dass es keine exakten analytischen Lösungen in geschlossener Form gibt. Quelle: 1, p. 5 , die die Beweise 2 , 3 zitiert . Sie könnten die Lösung immer noch als unendliche Taylor-Reihe über die Anfangsbedingungen schreiben, aber ich bin mir nicht sicher, ob es einige Konvergenzprobleme geben könnte.
@LeWavite, das ist so informativ und einschränkend, dass ich es wirklich als Teilantwort begrüßen würde, bitte zögern Sie nicht, dies zu tun!
@LeWavite beantwortete die Frage der Integrierbarkeit . Sie haben die Begriffe exakt analytisch verwendet . Während es offensichtlich erscheint, dass eine „integrierbare“ ODE zu einer „exakten analytischen“ Lösung führt, ist das Gegenteil wahr? Glauben Sie, dass es nicht unbedingt wahr ist, dass die beiden Begriffe ("integrierbar" und "mit exakter analytischer Lösung" nicht synonym sind)?

Antworten (2)

Die Bewegung eines Satelliten unter der 𝐽2-Störung wird durch ein dynamisches System beschrieben, das nicht integrierbar ist, was bedeutet, dass es keine exakten analytischen Lösungen in geschlossener Form gibt. Quelle: [1, p. 5] , die Beweise [ 2 ], [ 3 ] zitiert.

Sie könnten die Lösung immer noch als unendliche Taylor-Reihe über die Anfangsbedingungen schreiben, aber ich bin mir nicht sicher, ob es einige Konvergenzprobleme geben könnte.

Das ist toll! Obwohl dies noch keine vollständige Antwort ist, bietet dies hilfreiche Einblicke und Einschränkungen. Klingt so, wenn es Lösungen gibt, sind sie wahrscheinlich Kuriositäten; Sonderfälle.
Ich stimme zu. Auf jeden Fall, selbst wenn man eine analytische Lösung nicht in geschlossener Form (wie etwa eine unendliche Taylor-Reihe) aufschreiben könnte, wäre der Rechenaufwand für eine solche Lösung wahrscheinlich höher als der einer hochgenauen numerischen Lösung ...
@LeWavite, dennoch bietet eine Lösung, die auf "Brute-Force" -Integration basiert, nicht die Einsicht, die eine unendliche Reihe geben kann, z. B. durch Abschneiden der Reihe und Analysieren der Annäherung in geschlossener Form.

Dies ist, um den Hinweis von OP zu adressieren:

Das Schreiben dieser Frage ist kompliziert; Ich bin offen für Kommentare, die Anpassungen des Wortlauts oder des Geltungsbereichs empfehlen.

Wenn das Kraftpotentialfeld eines 2-Körper-Systems gestört wird, ist die Newtonsche Bewegung des nicht-zentralen Körpers nicht länger eine Ellipse um den zentralen Körper. Die zeitlich begrenzte Bahn der Bewegung kann jedoch als verzerrte Ellipse angesehen werden, deren Verformung sich mit der Zeit ändert. Die Position und Geschwindigkeit des Satelliten zu einem bestimmten Zeitpunkt, auch Zustandsvektoren genannt, können verwendet werden, um eindeutig eine Ellipse im Sinne von Kepler zu definieren, die die Trajektorie des Satelliten wäre, wenn alle Störungen entfernt würden. Diese eindeutig definierte elliptische Umlaufbahn hat entsprechende keplersche Umlaufbahnelemente: a, e, I, Ω, ω und τ (große Halbachse, Exzentrizität, Neigung, RAAN, Argument des Perigäums, wahre Anomalie). Sie wird üblicherweise als (Keplersche) Schmiegbahn zum jeweiligen Zeitpunkt bezeichnet.

Bei einer gestörten Bewegung werden in den meisten praktischen Fällen (z. B. wenn die Störkräfte klein sind) die Schmiegeelemente a(t), e(t), I(t), Ω(t), ω(t) und τ( Es kann angenommen werden, dass t) sich langsam ändert (in Bezug auf die "Periode" aller oszillierenden Orbitalelemente).

Ich werde an dieser Stelle abschweifen und eine implizite Frage in der Frage des OP ansprechen: Wie können wir definieren, was eine "exakte analytische Lösung" ist?

Nehmen wir an, wir befinden uns im Mittelpunkt eines Kreises und beobachten ein fahrendes Auto, dessen Bahn dem Kreis folgt. Angenommen, wir haben sehr weit entfernt einen Baum, den wir als Bezugspunkt verwenden können.

  • Die Frage an uns lautet: Wann haben wir eine „exakte analytische Lösung“ für die Position des Autos?

Wir können das "lose Ende" der Definition von "exakt analytisch" lösen, indem wir umformulieren: Wenn Sie wissen, dass das Auto zum Zeitpunkt T0 vor dem Baum steht, können Sie die Position des Autos zu jedem Zeitpunkt T angeben, also dass die Genauigkeit Ihrer Vorhersage unabhängig davon ist, wie weit T von T0 entfernt ist und ohne Kenntnis der Positionen zu Zwischenzeiten?

Wenn die Winkelgeschwindigkeit des Autos konstant und bekannt ist, können wir natürlich unsere Augen schließen und sagen: "Geben Sie mir irgendein T, ich kann die Position genau vorhersagen ". Das heißt, die Genauigkeit unserer Vorhersage hängt nur von der Genauigkeit unserer Kenntnis der Winkelgeschwindigkeit ab (und natürlich von der Genauigkeit unserer Zeitmessfunktion).

Dies gilt nun auch dann, wenn sich das Auto nicht mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegt. Zum Beispiel kann es sich für die Hälfte des Kreises mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegen, dann für die zweite Hälfte mit der doppelten Geschwindigkeit usw. ... Solange wir wissen, wie sich die Winkelgeschwindigkeit mit der Zeit ändert, können wir die Position analytisch vorhersagen ohne Berechnung der Zwischenpositionen. Und das wäre unsere Definition von "exakter analytischer Lösung".

Würde das bedeuten, dass die Bewegung unseres Autos mathematisch gesprochen eine integrierbare Lösung der Bewegungsgleichung ist? Das geht weit über mein mathematisches Denkvermögen hinaus. Und außerdem würde ich sagen, dass es für praktische Anwendungen möglicherweise nicht von großem Interesse ist, die Antwort auf diese theoretische Frage zu kennen.

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