Wie (oder warum) führte das Äquivalenzprinzip zu den Einsteinschen Feldgleichungen?

1921 hielt Einstein in Princeton eine Vortragsreihe, die Sie heute unter dem Titel „The Meaning of Relativity“ nachlesen können . Es ist eine frühe und sehr spezielle Beschreibung der Allgemeinen Relativitätstheorie, in der er die Konzepte und Überlegungen, die ihn zu der Theorie führten, stark betont.

Niemand kann wissen, was wirklich in Einsteins Kopf vorging, aber in diesen Vorträgen tut er so, als hätte er die Allgemeine Relativitätstheorie durch eine Art heuristischen Prozess erfunden, der auf dem Äquivalenzprinzip basiert. Ob er das in diesen Vorlesungen getan hat, damit andere ihn besser verstehen, oder ob er wirklich das Äquivalenzprinzip als Ursprung der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendet hat, ist schwer zu sagen, aber ich würde wetten, dass es der zweite Fall ist. Andere Ideen wie das Machsche Prinzip (das ist eine andere Frage, die übrigens immer noch ungelöst bleibt) sind in diesen Vorlesungen ebenfalls vorhanden.

Es ist ein sehr schönes Buch, das ein wenig zeigt, wie das Einstein-Denken funktionierte (zumindest gibt es diese Illusion). Es ist jedoch keine populäre Beschreibung (auf jeden Fall ist es einfacher zu lesen als das Papier von 1916). Ich werde versuchen, hier eine kurze Zusammenfassung zu geben, wie diese Vorlesungen vom Äquivalenzprinzip zur Allgemeinen Relativitätstheorie führen, obwohl dieser Versuch fast eine Blasphemie ist und Sie versuchen sollten, einen Blick auf den Einstein-Text zu werfen (es gibt nichts Besseres). Beachten Sie, dass ich einige Absätze des Buches zitieren werde. Das kann ich tun, weil das Urheberrecht dieser Vorträge abgelaufen ist, sie werden zum Beispiel auf der Seite des Gutenberg-Projekts kostenlos angeboten . Ich werde auch kurze Erklärungen zu grundlegenden Dingen, die Sie wahrscheinlich wissen, für andere Leser einfügen.

Laut diesem Buch sind dies also mehr oder weniger die Schritte, die das Äquivalenzprinzip und die Feldgleichungen verbinden:

1: Invarianz des infinitesimalen Intervalls, erweitert auf nicht-träge Beobachter

Die Spezielle Relativitätstheorie hatte sich bereits gut mit Phänomenen in Abwesenheit der Schwerkraft befasst. In dieser Theorie ist die Entfernung, die zwischen zwei unendlich nahen Ereignissen in der Raumzeit gemessen wird, für zwei Beobachter gleich$O$und$O'$die sich mit konstanter Geschwindigkeit gegeneinander bewegen:

$$cdt^2-dx^2-dy^2-dz^2 =cdt'^2-dx'^2-dy'^2-dz'^2$$ Sie können sich ein „Ereignis“ als einen Funken vorstellen: etwas, das augenblicklich an einem Punkt in Raum und Zeit passiert.

Die von unseren Maßstäben und -uhren direkt messbare Größe,

$${dX_{1}}^{2} + {dX_{2}}^{2} + {dX_{3}}^{2} - {dX_{4}}^{2}$$ ist also eine eindeutig bestimmte Invariante für zwei benachbarte Ereignisse

Der folgende Ausdruck kann in kürzerer Form geschrieben werden, wie in Gleichung (55) des Buches:

$$ds^2=g_{\mu \nu}dx^{\mu \nu}$$

Und somit,$ds^2=ds'^2$messen beide Beobachter dasselbe Intervall

Was betrifft$(t,x,y,z)$und$(t',x',y,',z')$ist eine Lorentz-Transformation . Mittels einer Lorentz-Transformation können Sie beispielsweise die Längenunterschiede eines Stabes berechnen, die zwei unterschiedlich bewegte (Trägheits-)Beobachter messen und somit unterschiedlich sind$dx^{\mu}$. Aber die Menge der Koeffizienten$g_{\mu\nu}$ist für beide Beobachter in der Speziellen Relativitätstheorie gleich , einfach eine Menge von vier Zahlen$+1,-1,-1$und$-1$

2: Der neue Rollen- und Tensorcharakter des$g_{\mu \nu}$Koeffizienten

Das Problem war, dass die Lorentz-Transformation nur für nicht beschleunigende Beobachter funktioniert. Aber das Äquivalenzprinzip besagt, dass ein beschleunigter Beobachter auf jeden Fall äquivalent zu einem nicht beschleunigten Beobachter sein sollte, der in ein Gravitationsfeld eingebettet ist, und dann bestand die brillante Einsicht von Einstein darin, die spezielle Relativitätstheorie zu „reparieren“, NICHT indem er versuchte, die Lorentz-Transformation neu zu erfinden , sondern durch Einbringen der neuen Information des Gravitationsfeldes/Beschleunigung in die$g_{\mu\nu}$Größen, die bisher nur eine vom Beobachter unabhängige Menge passiver konstanter Zahlen waren.

Aber warum in der$g_{\mu\nu}$? Nun, es war bekannt, dass die Relativgeschwindigkeit die Längenmaße zwischen Beobachtern verändert. Das ist gleichbedeutend damit, den Abstand zwischen den Achsenstrichen eines der Beobachter zu ändern. Wenn es eine Möglichkeit gab, diese Art der Verkürzung auf eine raffiniertere Weise durchzuführen, um Beschleunigungen zu berücksichtigen, dann war dies die Änderung der Koeffizienten$g_{\mu \nu}$die multiplizieren die$dx^{\mu}$auf beobachterabhängige Weise, so dass der endgültige Ausdruck von$ds^2$unabhängig vom Beobachter blieb. Das mag jetzt leicht verständlich erscheinen, aber um diese brillante Idee zu haben, müssen Sie zuerst ... na ja, Einstein sein!

Daher begann er, nach einer Möglichkeit zu suchen, diese Änderung des zu bewerkstelligen$g_{\mu \nu}$um Beschleunigungen einzubeziehen, und so begann er, nach ihren mathematischen Eigenschaften zu suchen. Und Ausgangspunkt war die Forderung, dass das Äquivalenzprinzip auch in der neuen Situation gilt:

Es folgt aus der Invarianz$ds^{2}$für eine willkürliche Wahl der$dx_{\nu}$, in Verbindung mit der mit Gl. (55) konsistenten Symmetriebedingung, dass die$g_{\mu\nu}$sind Bestandteile eines symmetrischen kovarianten Tensors (Fundamental-Tensor).

3: Geodätisches Postulat, das die verbindet$g_{\mu \nu}$und Schwerkraft

Seit$ds^2$eine kurze Verschiebung in der Raumzeit berücksichtigt, bestand der nächste Schritt darin, zu sehen, was passiert, wenn eine kurze Verschiebung nach der anderen immer vorwärts geht, ohne irgendeine Abweichung von der geraden Linie zuzulassen, bis eine endliche "gerade" Bahn entsteht. Dies ist wichtig, weil es Ihnen sagt, wie der Raum (die Zeit) ist, in dem Sie sich bewegen. Wenn Sie zum Beispiel beginnen, in einer geraden Linie auf den Nordpol zuzugehen, egal wie gerade Sie gegangen sind, wenn Sie den Nordpol erreichen, stellen Sie fest, dass Ihre Flugbahn im 3D-Raum einen riesigen Bogen gemacht hat, und Sie wissen es dass Sie auf der gekrümmten Oberfläche der Erde gelaufen sind.

Diese Art von "gerader" Bahn wird als geodätische Linie bezeichnet und war mathematisch bereits für die "gewöhnliche" Geometrie gekrümmter Oberflächen bekannt:

Eine Linie kann so konstruiert werden, dass ihre aufeinanderfolgenden Elemente durch parallele Verschiebungen voneinander entstehen. Dies ist die natürliche Verallgemeinerung der geraden Linie der euklidischen Geometrie. Für eine solche Linie haben wir

$$\delta \left(\frac{dx_{\mu}}{ds}\right) = -\Gamma_{\alpha\beta}^{\mu} \frac{dx_{\alpha}}{ds}\, dx_{\beta}$$ Die linke Seite soll durch ersetzt werden $\dfrac{d^{2} x_{\mu}}{ds^{2}}$

Die gleiche Gerade erhalten wir, wenn wir die Gerade finden, die dem Integral einen stationären Wert gibt

$$\int ds\quad\text{or}\quad \int \sqrt{g_{\mu\nu}\, dx_{\mu}\, dx_{\nu}}$$ zwischen zwei Punkten (geodätische Linie).

Jetzt siehst du das, wenn du das wissen könntest$g_{\mu \nu}$ein Beobachter an jedem Punkt der Raumzeit "fühlt", könnte man die Form der geodätischen Linie zwischen zwei beliebigen Ereignissen ableiten. Umgekehrt (aber nicht vollständig im allgemeinen Fall) hätten wir die Verbindung zwischen, wenn uns ein physikalisches Prinzip die Form der geodätischen Linie mitteilen könnte$g_{\mu \nu}$und Schwerkraft für jeden Beobachter. Das benötigte physikalische Prinzip war eine weitere brillante Erkenntnis, das Geodätische Postulat:

Ein materielles Teilchen, auf das keine Kraft wirkt, bewegt sich nach dem Trägheitsprinzip gleichmäßig geradlinig. Im vierdimensionalen Kontinuum der speziellen Relativitätstheorie (mit Echtzeitkoordinate) ist dies eine reelle Gerade. Die natürliche, dh einfachste Verallgemeinerung der geraden Linie, die im Begriffssystem der allgemeinen Invariantentheorie Riemanns plausibel ist, ist die der geradesten oder geodätischen Linie. Wir müssen demnach im Sinne des Äquivalenzprinzips davon ausgehen, dass die Bewegung eines materiellen Teilchens nur unter Einwirkung von Trägheit und Gravitation beschrieben wird durch die Gleichung

$$\frac{d^{2} x_{\mu}}{ds^{2}} + \Gamma_{\alpha\beta}^{\mu} \frac{dx_{\alpha}}{ds}\, \frac{dx_{\beta}}{ds} = 0$$

Tatsächlich reduziert sich diese Gleichung auf die einer geraden Linie, wenn alle Komponenten$\Gamma_{\alpha\beta}^{\mu}$, des Gravitationsfeldes verschwinden.

Sie sehen, dass er an dieser Stelle des Buches bereits "Gravitationsfeld" zu diesen Koeffizienten (Christoffel-Symbolen) nennt, die für die Art und Weise des "Schrumpfens" der Beobachterachse verantwortlich sind.

Fazit bis jetzt:

• Ohne Schwerkraft bewegt sich ein freies Teilchen gemäß der galileischen Trägheit geradlinig.
• Dieses freie Teilchen wird von allen Trägheitsbeobachtern gesehen, wie es sich in einer geraden Linie bewegt (eingeschränkte Version des Äquivalenzprinzips der Speziellen Relativitätstheorie).
• Dies wird auf die Raumzeit mit Schwerkraft oder beschleunigten Beobachtern ausgedehnt, indem postuliert wird, dass freie Teilchen in der Raumzeit entlang geodätischer Linien von allen Beobachtern, ob träge oder nicht, "gesehen" werden.

4: Newtons$F=\dot p$aus der geodätischen Gleichung

Unmittelbar nach der Aufstellung des Geodätischen Postulats fordert er, dass sich die Bewegungsgleichungen in Abwesenheit der Schwerkraft auf die von Newton reduzieren müssen, und so findet er bereits Newtonsche Bewegungsgleichungen:

Wie hängen diese Gleichungen mit den Newtonschen Bewegungsgleichungen zusammen? Nach der speziellen Relativitätstheorie ist die$g_{\mu\nu}$ebenso wie$g^{\mu\nu}$, haben die Werte, bezogen auf ein Inertialsystem (mit Echtzeitkoordinate und geeigneter Wahl des Vorzeichens von$ds^{2}$),

$$\left. \begin{array}{*{4}{>{\quad}r}} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & +1 \end{array} \right\}$$

Die Bewegungsgleichungen werden dann

$$\frac{d^{2} x_{\mu}}{ds^{2}} = 0.$$ Wir nennen dies die „erste Annäherung“ an die $g_{\mu\nu}$-aufstellen.

Die "zweite Annäherung" besteht darin, eine kleine Störung hinzuzufügen$g_{\mu\nu}$Feld, das ihn zum zweiten Newtonschen Gesetz führt$F=\dot p$, was es erlaubt, diese kleine Störung zu identifizieren, die er mit dem klassischen Gravitationspotential (in der Kraft eingeschlossen, gleich dem Gradienten des Potentials) hinzugefügt hat. Er hat bereits eine Theorie, die der Newtonschen Schwerkraft ähnelt, aber nur, wenn das Gravitationspotential (oder die beteiligte Beschleunigung) klein ist.

5: Heuristische Suche nach der allgemeinen Form der Gravitationsgleichungen, nach Ähnlichkeiten mit der Poisson-Gleichung und der Notwendigkeit der lokalen Erhaltung des Energie-Impulses für alle Beobachter

Der letzte Teil des Weges besteht also darin, dies auf einen allgemeinen Fall auszudehnen. Er möchte, dass seine Gleichungen denen der Newtonschen Gravitation ähneln, wenn sie à la Poisson geschrieben werden, wo Sie auf der einen Seite ein positionsabhängiges Dichtefeld sehen können, als Quelle der "sinnvollen" Effekte (das Gravitationspotential), die auf der anderen Seite liegen Seite des Gleichheitszeichens. Er versucht das, weil er bereits ein Objekt hat, das er an die Stelle der Masse setzen kann, ein Objekt, das er aus der speziellen Relativitätstheorie nimmt, das Masse und Energie beschreibt, den Energie-Impuls-Tensor:

Als nächstes müssen wir versuchen, die Gesetze des Gravitationsfeldes zu finden. Zu diesem Zweck wird die Poisson-Gleichung,

$$\Delta\phi = 4\pi K\rho$$ der Newtonschen Theorie als Modell dienen muss. Diese Gleichung hat ihre Grundlage in der Vorstellung, dass das Gravitationsfeld aus der Dichte entsteht $\rho$von ponderabler Materie. So muss es auch in der allgemeinen Relativitätstheorie sein. Aber unsere Untersuchungen der speziellen Relativitätstheorie haben gezeigt, dass wir anstelle der skalaren Materiedichte den Energietensor pro Volumeneinheit haben. In letzterem ist nicht nur der Tensor der Energie der ponderablen Materie enthalten, sondern auch der der elektromagnetischen Energie.

Und jetzt kommt der letzte Teil: etwas Analoges zur linken Seite der Poisson-Gleichung. Wenn es rechts der Energie-Impuls-Tensor sein muss, dann muss die linke Seite auch ein Tensor sein. Er hat lange gekämpft, um ihn (den sogenannten Einstein-Tensor) zu finden, und selbst er hat 1915 zunächst eine eingeschränkte Version veröffentlicht, die sich schnell als nicht in allen Situationen gültig herausstellte.

Um die Analogie zur Poisson-Gleichung aufrechtzuerhalten, musste der Einstein-Tensor bestimmte Eigenschaften haben:

Wenn es in der allgemeinen Relativitätstheorie ein Analogon zur Poisson-Gleichung gibt, dann muss diese Gleichung eine Tensorgleichung für den Tensor sein$g_{\mu\nu}$des Gravitationspotentials; der Energietensor der Materie muss auf der rechten Seite dieser Gleichung erscheinen. Auf der linken Seite der Gleichung muss es einen Differentialtensor in geben$g_{\mu\nu}$. Wir müssen diesen Differentialtensor finden. Es wird vollständig durch die folgenden drei Bedingungen bestimmt:

1.Es dürfen keine Differentialkoeffizienten der enthalten sein$g_{\mu\nu}$höher als die zweite.

2. Es muss in diesen zweiten Differentialkoeffizienten linear und homogen sein.

3.Seine Divergenz muss identisch verschwinden.

Die ersten beiden dieser Bedingungen werden natürlich aus der Poisson-Gleichung entnommen.

Die dritte Bedingung kommt von etwas Analogem zur klassischen Erhaltung von Energie und Impuls, was sich in die Aussage übersetzt, dass die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors wieder für alle Beobachter verschwinden muss:

Nach unseren bisherigen Ergebnissen werden die Prinzipien von Impuls und Energie durch die Aussage ausgedrückt, dass die Divergenz dieses Tensors verschwindet. In der allgemeinen Relativitätstheorie müssen wir die entsprechende allgemeine Kovariantengleichung als gültig annehmen.

(Beachten Sie jedoch, dass dies nur eine lokale Erhaltung ist, aber das ist eine andere Frage).

Es gibt andere Formen, die der Einstein-Tensor haben könnte, um diese Bedingungen zu erfüllen, und es ist interessant festzustellen, dass er bei der Wahl der endgültigen Form angeblich einen ästhetischen Sinn für Einfachheit hatte. Nun, hier ist der letzte Schritt:

Da mathematisch bewiesen werden kann, dass alle solchen Differentialtensoren algebraisch (dh ohne Differentiation) aus dem Riemannschen Tensor gebildet werden können, muss unser Tensor von der Form sein

$$R_{\mu\nu} + a R g_{\mu\nu}$$ in welchem $R_{\mu\nu}$und $R$sind durch Gl. (...) definiert. Ferner kann bewiesen werden, dass die dritte Bedingung erfordert $a$den Wert zu haben $-\frac{1}{2}$. Für das Gravitationsfeldgesetz erhalten wir also die Gleichung $$R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}g_{\mu\nu} R = - \kappa T_{\mu\nu}$$

Die Konstante$\kappa$ist proportional zum Newtonschen$G$ein paar Seiten später durch Identifikation mit der Newtonschen Gravitation im Grenzbereich kleiner Energien.

Das Äquivalenzprinzip ist nicht der Ursprung der Allgemeinen Relativitätstheorie in dem Sinne, dass Sie mit dem Äquivalenzprinzip beginnen und mehrere Seiten Mathematik später bei der Allgemeinen Relativitätstheorie landen. Es ist eher ein Leitbild. Wenn Sie akzeptieren, dass das Äquivalenzprinzip wahr ist, schränkt es die Art von Theorie ein, die die Schwerkraft beschreiben könnte.

Niemand außer Einstein kann genau sagen, wie er zu GR gekommen ist. Aus der Lektüre verschiedener Zeitgeschichten scheint mir, dass Einstein, nachdem er das Äquivalenzprinzip entwickelt hatte, anfing, sich nach Theorien umzusehen, die es verkörperten. Es gab bereits Vorschläge, dass die Schwerkraft eine geometrische Eigenschaft sein könnte, aber bis Einstein und Grossmann auf die Idee kamen, die Riemannsche Geometrie zu verwenden, hatte niemand die Idee zum Laufen gebracht. Einstein muss sehr schnell erkannt haben, dass eine geometrische Theorie eine natürliche Möglichkeit bietet, das Äquivalenzprinzip zu integrieren.

Mehr dazu im Abschnitt Entwicklung der Gravitationstheorie im Wikipedia-Artikel zum Äquivalenzprinzip. Wenn Sie sich für die Geschichte der Relativitätstheorie im Detail interessieren, empfehle ich das Buch Subtle is the Lord von Abraham Pais .