Erklärung, dass der Luftwiderstand proportional zur Geschwindigkeit oder Quadratgeschwindigkeit ist?

Ein fallendes Objekt ohne Anfangsgeschwindigkeit mit Masse m wird durch eine Gravitationskraft beeinflusst g und der Luftwiderstand (Luftwiderstand), der proportional zur Geschwindigkeit des Objekts ist. Nach den Newtonschen Gesetzen kann dies geschrieben werden als:

  1. m g − k v = m a (für niedrige Drehzahlen)
  2. m g − k v 2 = m a (für hohe Geschwindigkeiten).

Ich nehme das an k ist eine positive Konstante, die von der Geometrie des Objekts und der Viskosität abhängt. Aber wie kann man erklären, dass der Luftwiderstand proportional zur Geschwindigkeit ist? Und zum Quadrat der Geschwindigkeit in der zweiten Gleichung?

Es gibt eine anständige Behandlung, wie Drag modelliert wird hier en.wikipedia.org/wiki/Drag_equation
Wir hatten sicherlich viele andere Fragen, die sich darauf bezogen haben. Dieser kam mir für den turbulenten Fall physics.stackexchange.com/questions/14052/… in den Sinn, es sollte nicht allzu schwierig sein, eine umfassende Antwort für beide Fälle zu erhalten.

Antworten (4)

Die naive Erwartung wäre, dass das Objekt, wenn es sich durch das Medium bewegt, mit einer Geschwindigkeit proportional zu Molekülen kollidiert v . Das Volumen wurde mit der Zeit überschwemmt t ist EIN v t , wo EIN ist die Querschnittsfläche, also die Masse, mit der sie kollidiert ρ EIN v t . Der Impuls bei jeder Kollision ist proportional zu v , und daher sollte die Widerstandskraft proportional zu sein ρ EIN v 2 , mit einer Proportionalitätskonstante C D (der Luftwiderstandsbeiwert) der Ordnungseinheit.

In Wirklichkeit gilt dies nur für einen bestimmten Bereich von Reynolds-Zahlen, und selbst in dem Bereich von Reynolds-Zahlen, für den dies gilt, ist das obige Bild der unabhängigen Kollision nicht das, was wirklich passiert. Bei niedrigen Reynolds-Zahlen erhalten Sie eine laminare Strömung und C D ∝ 1 / v , während es bei höheren Reynolds-Zahlen Turbulenzen gibt, und Sie bekommen C D ungefähr konstant.

Wenn R e ≪ 1 , sind die Trägheitsterme im Verhältnis zu den Spannungen und Körperkräften in den Navier-Stokes-Gleichungen sehr klein. Wenn dies der Fall ist, wird der Fluss als Stokes -Fluss bezeichnet . Nur ein Stich im Dunkeln: Vielleicht ist der Grund, zu dem der Luftwiderstand proportional ist v in diesem Strömungsregime liegt an der Linearität der Gleichungen ohne Trägheitsterme?
Faszinierend ... (+1) Zwei Fragen: 1) Wenn k in beiden Fällen gleich ist, wie erklären Sie den Unterschied in den Einheiten? Denn im v 2 Fall fügen Sie Kraft zu Kraft hinzu , aber im v 1 In diesem Fall fügen Sie dem Massenfluss Kraft hinzu , was meiner Meinung nach nicht viel Sinn ergibt ... Und wenn k sollte irgendwie anders sein, dann ... wie? 2) Können Sie uns auf eine gute Ressource verweisen, die die Abhängigkeit von quantifiziert C D an R e genauer als der Wiki-Artikel, für ein paar (einfache) Objekte?
@RodyOldenhuis: (1) Die k definiert durch das OP in Gleichung 1 ist nicht dasselbe wie das k in Gleichung 2 definiert. (2) Es gibt einen Graphen in den Feynman Lectures.

Vereinfacht ausgedrückt ist der Widerstand bei langsamer Geschwindigkeit nur auf die Viskosität der Flüssigkeit zurückzuführen.

Bei hoher Geschwindigkeit ist der Impuls, den Sie jedem Luftpaket verleihen, proportional zur Geschwindigkeit, und die Anzahl der Luftpakete pro Sekunde, mit denen Sie es tun, ist ebenfalls proportional zur Geschwindigkeit.

Da Kraft Impuls/Sekunde ist, ist sie proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit.

Die Newtonschen Bewegungsgesetze liefern eine einfache Erklärung dafür, warum der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit eines sich bewegenden Objekts ist. Verwenden Sie das Beispiel eines fallenden Fallschirmspringers, der durch die Schwerkraft nach unten gezogen wird; aber diese Erklärung gilt auch für Autos, Züge, Flugzeuge, etc .... die durch die Luft geschoben werden.

Der Fallschirmspringer fällt durch eine Masse statischer Luft ('m'), die er aus dem Weg schiebt und beschleunigt ('a'). Dies erzeugt gemäß Newtons 2. Bewegungsgesetz eine nach unten gerichtete Kraft (Kraft = ma) durch den Fallschirmspringer in der Luft. Die „gleiche und entgegengesetzte“ Aufwärtskraft wird Widerstand genannt (Newtons 3. Bewegungsgesetz). Der Widerstand entspricht der nach unten gerichteten Kraft, die der fallende Fallschirmspringer ausübt, um die Luft aus dem Weg zu schieben.

OK. Wenn also (vor der Endgeschwindigkeit) der Fallschirmspringer seine Abwärtsgeschwindigkeit verdoppeln sollte. Dann: (i) Die durch jede Sekunde fallende Luftmasse verdoppelt sich (m x2). (ii) Der Fallschirmspringer trifft jedes Luftmolekül mit dem doppelten Impuls wie zuvor und verdoppelt somit die Beschleunigung jedes getroffenen Luftmoleküls (a x2). Die kombinierte Wirkung dieser beiden besteht darin, die nach unten gerichtete Kraft zu vervierfachen (Kraft x4 = 2m x 2a). Folglich vervierfacht sich der „gleiche und entgegengesetzte“ Widerstand des Fallschirmspringers (Widerstand x4). Einfach. Wenn sich die Geschwindigkeit des Fallschirmspringers verdoppelt, vervierfacht sich der Luftwiderstand. Diese Erklärung steht in keinem Lehrbuch.

Dabei werden Energie und Impuls vom Fallschirmspringer auf die Luft übertragen. Also kein Nettoverlust oder -gewinn an Masse, Impuls oder Energie in diesem Prozess.

Der Fallschirmspringer erreicht die Endgeschwindigkeit, wenn die Schwerkraft (die auf den Fallschirmspringer wirkende Kraft) den Fallschirmspringer nicht mehr auf eine höhere Geschwindigkeit beschleunigen kann. Aber lassen Sie sich nicht von der Schwerkraft oder der Endgeschwindigkeit verwirren, sie sind nicht entscheidend, um die Beziehung zwischen Luftwiderstand und der Geschwindigkeit des Fallschirmspringers zu erklären.

Diese Erklärung kann auf jedes Objekt angewendet werden, das durch eine Flüssigkeit fällt; Wie ein Stein, der durch Wasser oder Luft fällt.

Das ist im Grunde falsch, weil Sie es so ausdrücken, als wäre es ein rigoroser Beweis für etwas, das immer wahr ist. Tatsächlich ist es bestenfalls eine anständige Annäherung über einen Bereich von Reynolds-Zahlen. Diese Erklärung steht in keinem Lehrbuch. Nicht wahr. Viele Lehrbücher geben diese Erklärung.

Ich denke, der einfachste Weg, es auszudrücken, ist zu denken, dass, wenn etwas schneller geht, mehr Flüssigkeitsmoleküle mit der Oberfläche interagieren und somit den Luftwiderstand erhöhen. Dies ist definitiv die mit Abstand einfachste Erklärung. Wenn Sie eine visuelle Erklärung wünschen, sehen Sie sich dieses Veritasium-Video an, in dem er in einem Pool voller Schattenbälle schwimmt.

Erklärung, dass der Luftwiderstand proportional zur Geschwindigkeit oder Quadratgeschwindigkeit ist?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v